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'''埃奇沃斯級數'''（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣，是把一個[[隨機變數]]的[[機率密度函數]]展成級數，級數中的每一項是用該隨機變數的[[累积量]]來表達。對同一個分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯級數展出來是同樣的級數，只是項的排列不同。（也因此只取前幾項作為逼近時的誤差會有所不同）

==Gram-Charlier A series==
Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以''F'' 為它的密度函數）的特徵方程，寫成另一個已知分布的特徵方程的展式，再經過傅立葉變換的逆變換，就可以求得''F'' 的展式。

假設''f'' 是待逼近分布的特徵方程，<math>\kappa_r</math>是這個分布的 累积量。現在將它展成和另一個已知分布相關的級數。該已知分布的密度函數為 <math>\Psi</math>，特徵函数為 <math>\psi</math>，累积量 為 <math>\gamma_r</math>。常見的作法是選用正态分布作為已知分布，但事實上選用其它的分布函數也是可行的。由累积量的定義，下列這個等式是恆成立的：

:<math>f(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r-\gamma_r)\frac{(it)^r}{r!}\right]\psi(t)\,.</math>

由傅立葉變換的性質，(''it'')<sup>''r''</sup>ψ(''t'') 是 (&minus;1)<sup>''r''</sup> ''D''<sup>''r''</sup> <math>\Psi</math>(''x'') 的傅立葉變換，其中 ''D'' 代對 ''x'' 的微分算子。這樣我們就得到 ''F'' 的一個級數

:<math>F(x) = \exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r - \gamma_r)\frac{(-D)^r}{r!}\right]\Psi(x)\,.</math>

如果令 <math>\Psi</math> 為正态分布的密度函數且其期望值和方差与分布 ''F''相同，也就是說，期望值 μ = κ<sub>1</sub>，變異數 σ<sup>2</sup> = κ<sub>2</sub>，則此展式變成

:<math> F(x) = \exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right]\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right]\,.</math>

再將指數函數展開並按微分階數逐項列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，選用正態分布做為已知分布，展到前兩項就可以得到

:<math> F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\left[1+\frac{\kappa_3}{3!\sigma^3} H_3\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{\kappa_4}{4!\sigma^4}H_4\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\,,</math>

其中 ''H''<sub>3</sub>(''x'') = ''x''<sup>3</sup> &minus; 3''x''；''H''<sub>4</sub>(''x'') = ''x''<sup>4</sup> &minus; 6''x''<sup>2</sup> + 3 （即埃爾米特多項式）

注意到以上的 series 並不保證函数值恆正，所以事实上並不一定是一個密度函數。在許多情況下，Gram-Charlier A series 會發散—仅當 ''x'' 趨近無限大時 ''F''(''x'') 遞降的比 exp(&minus;''x''<sup>2</sup>/4) 快時它才會收斂 (Cramér 1957)。當它不收斂時，這不是一個真正的漸近展式，因為要估計這個展式的誤差是不可能的。因此，一般的情況埃奇沃斯級數（見下一節）比 Gram-Charlier A series 更常用。

==延伸阅读==
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* [[Harald Cramér|H. Cramér]] (1957). ''Mathematical Methods of Statistics''. Princeton University Press, Princeton.
* D. L. Wallace (1958). "Asymptotic approximations to distributions". ''Annals of Mathematical Statistics'' 29:635–654.
* M. Kendall & A. Stuart (1977), ''The advanced theory of statistics'', Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York
* [[Peter McCullagh|P. McCullagh]] (1987). ''Tensor Methods in Statistics''.  Chapman and Hall, London.
* [[David Cox (statistician)|D. R. Cox]] and [[Ole Barndorff-Nielsen|O. E. Barndorff-Nielsen]] (1989). ''Asymptotic Techniques for Use in Statistics''.  Chapman and Hall, London.
* P. Hall (1992).  ''The Bootstrap and Edgeworth Expansion''.  Springer, New York.
* S. Blinnikov and R. Moessner (1998). [http://aas.aanda.org/articles/aas/pdf/1998/10/h0596.pdf ''Expansions for nearly Gaussian distributions'']{{Wayback|url=http://aas.aanda.org/articles/aas/pdf/1998/10/h0596.pdf |date=20150920190822 }}. ''Astron. Astrophys. Suppl. Ser.'' 130:193–205.
* J. E. Kolassa (2006).  ''Series Approximation Methods in Statistics, 3rd Edition''. (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.
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[[Category:级数]]
[[Category:统计学]]