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在[[模型論]]中，'''型'''是[[一階邏輯]]中的一個相容的公式集合。一個'''完備型'''是這類集合中的一個極大元素。

==嚴格定義==
首先固定以下對象：
# <math>\mathcal{L}</math> ：一個一階語言
# <math>T</math> ：一個<math>\mathcal{L}</math>-理論
# <math>\mathcal{M}</math> 為 <math>T</math> 的一個[[模型論|模型]]，<math>A \subset \mathcal{M}</math>

記 <math>\mathcal{L}(A) = \mathcal{L} \cup \{c_a : a \in A \}</math>（即：將 A 「加入」語言的常量符號）。於是 <math>\mathcal{M}</math> 自然地成為 <math>\mathcal{L}(A)</math> 的一個[[结构 (数理逻辑)|結構]]，記 <math>\mathrm{Th}_A(\mathcal{M})</math> 為相應的完備理論。

設 <math>n \in \mathbb{N}</math>，<math>\Sigma(\vec v) = \Sigma(v_1, \ldots, v_n)</math> 為一個 <math>\mathcal{L}(A)</math> 的子集，使其元素均為帶 n 個自由變元 <math>(v_1, \ldots, v_n)</math> 的公式。

* 若 <math>\Sigma(\vec v)</math> 與 <math>\mathrm{Th}_A(\mathcal{M})</math> 相容，則稱之為 <math>\mathrm{Th}_A(\mathcal{M})</math> 上的 '''n-型'''。
* 此外，若 <math>\Sigma(\vec v)</math> 對集合包含關係是極大的，則稱之'''完備型'''；一個型 <math>\Sigma(\vec v)</math> 是完備型的充要條件是
: <math>\forall \phi \in \mathcal{L}(A) \quad \phi \in \Sigma(\vec v) \vee \neg\phi \in \Sigma(\vec v)</math>
: 由[[佐恩引理]]與圖法可推出每個型都包含於一個完備型。
* 通常也將型與完備型分別稱作'''部份型'''與'''型'''，以下將採此稱呼。

以 <math>S^\mathcal{M}_n(A)</math> 表示所有<math>\mathrm{Th}_A(\mathcal{M})</math> 上 n 個變元的型，集合 A 也稱作參數集。設結構 <math>\mathcal{N}</math> 為 <math>\mathcal{M}</math> 的一個[[基本子結構|基本擴展]]，<math>\vec b = (b_1, \ldots, b_n) \in \mathcal{N}</math>，則容易驗證以下集合是個型，稱之為 <math>\vec b \in \mathcal{N}</math> 在 A 上的型：

: <math>\mathrm{tp}^\mathcal{N}(\vec b|A) := \{\phi(\vec b) \in \mathcal{L}(A) : \mathcal{N} \models \psi(\vec b) \}</math>

根據[[緊緻性定理]]可推出：對所有型 <math>p \in S^\mathcal{M}_n(A)</math>，都存在一個 <math>\mathcal{M}</math>  的基本擴展 <math>\mathcal{N}</math> 及 <math>\vec b \in \mathcal{N}</math> 使得 <math>p = \mathrm{tp}^\mathcal{N}(\vec b|A)</math>，此時稱 <math>\vec b</math> '''實現''' 了 p；如果該模型中不存在這樣的 <math>\vec b</math>，則稱此模型'''省略'''了 p。

==例子==
以下取一階語言 <math>\mathcal{L} = \langle < \rangle</math>，並設 DLO 為稠密全序（或稱稠密線性序）理論。此時有 <math>\mathbb{Q} \models \mathrm{DLO}</math>。不妨取 <math>A = \mathbb{Q}</math>，此時 <math>p = \mathrm{tp}^\mathbb{Q}_1(2|A)</math> 是一個型，它代表所有代入 ''x=2'' 時在 <math>\mathbb{Q}</math> 中成立的公式 <math>\phi(x) \in \mathcal{L}(A)</math>，例如 <math>x \neq 3</math>、<math>x < 5</math>、<math>\exists y \; y < x</math>……。

p 在 <math>\mathbb{Q}</math> 裡已經實現。此外也可以考慮基本擴展 <math>\mathbb{Q} < \mathbb{R}</math> 及型 <math>q := \mathrm{tp}^\mathbb{R}_1(\sqrt{2}|A)</math>。q 無法在 <math>\mathbb{Q}</math> 中實現，因為 q 包含下述所有公式
: <math> \phi_\alpha(x) := 2-\alpha < x < 2+\alpha, \quad (\alpha \in \mathbb{Q})</math>
而這些公式在 <math>\mathbb{Q}</math> 定義出的子集交集為空；在這個例子裡，一個型無法被實現的原因可歸於參數集 A「太大」，事實上 <math>\mathbb{Q}</math> 能實現所有帶有限參數的型。一般來說，無理數給出了無法在 <math>\mathbb{Q}</math> 中實現的型，在 <math>\mathbb{Q}</math> 中描述這些「數」的一套經典辦法是[[戴德金切割]]。

現在考慮另一個例子：取一階語言 <math>\mathcal{L} = \langle +, -, \cdot, 0, 1, < \rangle</math>，OR 為有序環的理論，<math>A = \emptyset</math>。此時 <math>\mathbb{R} \models \mathrm{OR}</math>。考慮下述公式：
: <math>\phi_n(x) := x > \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n}</math>
: <math> \Sigma := \{\phi_n : n \in \mathbb{N} \}</math>

任何 <math>\Sigma</math> 的有限子集都與 <math>\mathrm{Th}_A(\mathbb{R})</math> 相容，所以由[[緊緻性定理]]可證 <math>\Sigma</math> 包含於一個型；<math>\Sigma</math> 無法在 <math>\mathbb{R}</math> 中實現，卻能在 <math>\mathbb{R}</math> 的某個基本擴展——超實數中實現。一個能實現所有滿足 <math>A \subset \mathcal{M}, |A| < |\mathcal{M}|</math> 的型的模型稱作[[飽和模型]]。

==Stone空間==
固定 <math>n > 0</math>，所有 n-型構成的空間 <math>S^\mathcal{M}_n(A)</math> 具備一個自然的[[拓撲空間|拓撲結構]]，其開集由形如 <math>\langle \phi(\vec v) \rangle := \{ p \in S^\mathcal{M}_n(A) : \phi(\vec v) \in p \}</math> 的子集經過聯集與有限交集形成。它滿足下述性質：
* 每個 <math>\langle \phi(\vec v) \rangle</math> 都是既開且閉的；因此 <math>S^\mathcal{M}_n(A)</math> 是[[連通空間|全不連通空間]]。
* <math>S^\mathcal{M}_n(A)</math> 是[[緊空間]]，這是緊緻性定理的直接推論。
* p 是'''孤立點'''的充要條件是存在 <math>\phi(\vec v) </math> 使得 <math> p = \langle \phi(\vec v) \rangle</math>，此時對任何公式 <math>\psi(\vec v)</math> ，&psi; 屬於 p 的充要條件是：
: <math>\mathrm{Th}_A(\mathcal{M}) \vdash \forall \vec v \; \phi(\vec v) \leftrightarrow \psi(\vec v)</math>

事實上，<math>\mathcal{L}(A)</math> 裡所有帶 n 個自由變元的公式構成一個[[布爾代數]]，而根據定義，n-型正是其中的[[濾子|極大濾子]]；可以證明拓撲空間 <math>S^\mathcal{M}_n(A)</math> 等同於布爾代數理論中考慮的 Stone 空間。

==個案研討==
===稠密全序===
先前關於 <math>(\mathbb{Q}, <)</math> 的評註適用於任何稠密全序集。設 <math> T \models \mathrm{DLO}</math>，而 A 是其中的子集，則 <math>S^T_1(A)</math> 的元素一一對應到 A 所定義的[[戴德金切割]] <math>(L, U)</math>：
: <math> A = L \cup U</math>
: <math> \forall x \; \forall y \quad x \in L \wedge y \in U \Rightarrow x < y</math>
: 註：為了使結論簡潔，在此容許 L 含最大元素（或 U 含最小元素），而且 L 或 U 可以是空集合。

此外，<math>S^T_1(A)</math> 的非孤立點對應到沒有最大/最小元素的切割。證明關鍵在運用 DLO 的[[量詞消去]]。

===代數封閉域===
取定一個[[代數封閉域]] <math>K</math> 及其子集 <math>A \subset K</math>。令 <math>K_0</math> 為 <math>A</math> 生成的子域，則可定義下述映到[[交換環譜]]的[[連續]]映射：
: <math> i: S_n(A) \longrightarrow \mathrm{Spec}(K_0[X_1, \ldots, X_n])</math>
: <math>p \mapsto I_p := \{f \in K_0[X] : (f(\vec v)=0) \in p\}</math>

同用利用[[量詞消去]]性質，可以證明 i 給出集合的[[雙射]]，由此在 <math>\mathrm{Spec}(K_0[X_1, \ldots, X_n])</math> 引出的拓撲較扎里斯基拓撲細，而扎里斯基拓撲裡的閉集拉回後正好是 Stone 空間中由
: <math>\phi(\vec v) := f_1(\vec v)=0 \wedge \cdots \wedge f_m(\vec v)=0</math>
定義的開/閉集，其中 <math>f_1, \ldots, f_m \in K_0[X_1, \ldots, X_n]</math>。扎里斯基拓撲中對應到不可約子簇的一般點則拉回到在某個[[超越擴張]]上實現的型。

==省略型定理==
給定一個 n-型 p，一個自然的問題是研究省略 p 的模型。當 p 是孤立點時，所有模型都實現 p；反過來說，'''省略型定理'''則斷言：設 <math>\mathcal{L}</math> 是[[可數集|可數]]語言，若 p 非孤立點，則有一個省略 p 的可數模型。

舉例來說，在特徵為零的代數封閉域理論中，取 p 為由一個相對於<math>\mathbb{Q}</math>的超越元素給出的型，任兩個這樣的超越元素都在一個基本擴展中同構，所以 p 的定義與選取無關。這是 Stone 空間中唯一的非孤立點。[[代數數]]是個省略 p 的可數模型，而任何<math>\mathbb{Q}</math>的超越擴張都實現 p。其餘的型都由某個代數數給出，而且被所有模型實現。

==文獻==
* Wilfrid Hodges, ''A shorter model theory'' (1997), Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
* C. C. Chang, H. J. Keisler ''Model theory'' ISBN 0-7204-0692-7
* David Marker ''Model Theory: An Introduction'' ISBN 0-387-98760-6
* [http://www.maths.ox.ac.uk/~zilber/lect.pdf Boris Zilber 在牛津的模型論講義]{{Wayback|url=http://www.maths.ox.ac.uk/~zilber/lect.pdf |date=20070418075152 }}

[[Category:模型論]]