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[[File:Podaria.png|180px|right|thumb|垂足曲线]]

在[[曲线微分几何]]中，'''踩踏板曲綫'''是從給定曲綫所創造的曲綫，構造方法像自行車用腳踩踏在原有曲綫上，故稱為踩踏板曲綫，又譯作'''垂足曲线'''。给定一个曲线和一个定点''P''（称为'''垂足点'''或'''踩踏點(Pedal Point)'''）。在曲线的任何一条切线''T''上，都存在唯一的一个点''X''，要么是''P''本身，要么与''P''形成的直线与''T''[[垂直]]。'''垂足曲线'''是符合这种性质的所有点''X''所组成的集合。

垂足曲线不一定是连通的，例如对于[[多边形]]来说，它仅仅是一些孤立的点。

如果''P''是垂足点，''c''是曲线的一个[[参数方程]]，则垂足曲线的参数方程为：

:<math>t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle\over|c'(t)|^2} c'(t)</math>

如果垂足点是原点，则垂足曲线为：

:<math>X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}</math><br><br><math>Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}</math>

==一些例子==
[[File:PedalCuive.gif|缩略图|右|椭圆的垂足曲线]]

<table border=1><tr><th>给定的曲线<th>垂足点<th>垂足曲线
<tr><td>[[直线]]<td>任意<td>[[点]]
<tr><td>[[圆]]<td>圆周上<td>[[心脏线]]
<tr><td>[[抛物线]]<td>焦点<td>直线
<tr><td>其它[[圆锥曲线]]<td>焦点<td>圆
<tr><td>[[对数螺线]]<td>极点<td>相等的对数螺线
<tr><td>[[外摆线]]或[[内摆线]]<td>中心<td>[[玫瑰线]]
<tr><td>圆的[[渐伸线]]<td>圆心<td>[[阿基米德螺线]]
</table>


==参考文献==
*Gray, A. "Pedal Curves." §5.8 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 117-125, 1997. 
*Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 46-49 and 204, 1972. 
*Lockwood, E. H. "Pedal Curves." Ch. 18 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 152-155, 1967. 
*Yates, R. C. "Pedal Curves." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 160-165, 1952. 

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/PedalCurve.html Mathworld]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PedalCurve.html |date=20080430084231 }}
{{Differential transforms of plane curves}}
[[Category:微分几何|C]]
[[Category:曲线]]