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[[File:Perpendicular-coloured.svg|right|thumb|250px|圖一　直线AB与直线CD垂直，因为它们相交所构成的两个角（分别以橙色和蓝色表示）相等。]]

'''垂直'''是一个[[几何]]术语。在[[平面几何]]中，如果一条[[直线]]与另一条直线[[相交]]，且它们构成的任意相邻两个[[角]][[相等]]，那么这两条[[直线]]相互垂直。术语“垂直”（符號：'''⊥'''）衍生一个[[形容词]]（垂直）或者[[名词]]（垂线）。因此，根据圖一，直线AB通过B点与直线CD相互垂直。像图一这样，如果一条直线与另一条直线垂直，那么它们构成的两个[[角]]称为'''[[直角]]'''，或者'''90°角'''。

'''[[垂足]]'''指两条互相垂直的线相交的点。

垂直的概念对[[线段]]和射线也通用，只需看一者所在的直线是否与另一者所在的直线垂直就可以了。如图一中，线段AB和线段CD相互垂直。甚至线段AB的一端不一定要在线段CD上（即可定向伸缩），它们仍被认为是垂直的。

空间几何中，有直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系。垂直可以看做是[[欧几里得空间]]（或[[内积空间]]）中的[[正交]]关系在二维和[[三维空间]]中的特例。

== 解析几何中的垂直 ==
在[[笛卡儿坐标系]]中，两条被如下等式所表示的直线<math>L</math>和<math>M</math>
:<math>(\mathcal{D}_1) : y = ax + b</math>
:<math>(\mathcal{D}_2) : y = cx + d</math>

那么垂直的情况有两种：
# 只要没有一条是[[竖直]]（[[斜率]]=[[∞]]）的，那么<math>a</math>和<math>c</math>就是这两条直线的[[斜率]]。[[当且仅当]]直线<math>(\mathcal{D}_1)</math>和<math>(\mathcal{D}_2)</math>的[[斜率]]的[[积]]为'''-1'''时，即<math>ac=-1</math>时，这两条直线在这个平面垂直。
# 除此之外，若有一条直线是竖直的，那么另一条直线与它垂直当且仅当其斜率为'''0'''。

如果两条直线的表达式为：
:<math>(\mathcal{D}_1) : a_1 x + b_1 y +c_1 = 0</math>
:<math>(\mathcal{D}_2) : a_2 x + b_2 y +c_2 = 0</math>

那么只有一种情况：两条直线在这个平面相互垂直当且仅当<math>a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0</math>

假如用<math>V_1 =(a_1, b_1)</math>和<math>V_2 =(a_2, b_2)</math>来表示两条直线的方向[[向量]]，那么上面垂直的充分必要条件就是两个方向向量[[正交]]的充分必要条件。这说明了垂直实际上是正交关系（在二维和三维空间）的一个特例。

== 空间几何中的垂直 ==
三维空间中不仅有直线与直线的垂直，也有直线与[[平面 (数学)|平面]]、平面与平面的垂直。

* '''直线与直线的垂直'''：在三维空间中，判断两条直线之间的垂直关系比在平面上要困难。过其中一条直线作平行于另一条直线的平面，将另一条直线投影到这个平面上。如果这个投影与第一条直线垂直，那么就说两条直线垂直。

* '''直线与平面的垂直'''：一条直线与一个平面垂直当且仅当它与平面中的每一条直线都垂直。一个等价的说法是两者垂直当且仅当直线平行于平面的法向量。

* '''平面与平面的垂直'''：两个平面相互垂直当且仅当它们的法向量相互垂直。一个更几何的方法是看两个平面的交线（如果没有说明两平面平行）。选择一个平面，过两平面交线上的一点作一条垂直于交线并在平面中的直线，如果这条直线与另一个平面垂直，那么两平面垂直。

== 垂线的作图 ==
[[File:Perpendicular-construction.svg|left|thumb|200px|圖二　过点P与直线AB相互垂直的构造过程]]
用[[尺规作图|尺规]]作一条过点P与直线AB相互垂直的直线，过程如下（见圖二）：

* 步骤一（红色）：以点P为圆心作一个[[圆]]交直线AB于点A'和B'，点A'和B'与点P[[等距]]。
* 步骤二（绿色）：以点A'和B'为圆心，以PA'和PB'为半径作圆。令两圆的另一交点为Q。
* 步骤三（蓝色）：连接PQ以作出所求垂线。

为证明直线PQ与直线AB垂直，使用[[全等#判定|三角形SSS全等定理]]证明三角形QPA'和QPB'全等以求得三角形OPA'和OPB'也全等。然后使用[[全等#判定|三角形SAS全等定理]]证明角POA和POB相等。

== 参看 ==
* [[平行]]
* [[投影]]
* [[正交]]

== 参考来源 ==
* {{cite book | title = 近代欧氏几何学|author =R.A.约翰逊 著，单壿 译 | publisher =上海教育出版社 |year = 1999 |isbn = 9787532063925 }}
* {{cite book | title = 解析几何学|author =盛为民 | publisher =浙江大学出版社 |year = 2008 |isbn = 9787308061490 }}

{{几何术语}}

[[Category:方位]]
[[Category:定向 (几何)]]