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[[File:Cylindrical_with_grid.svg|thumb|200px|用圓柱坐標 <math>(\rho,\ \phi,\ z)</math> 來表示一個點的位置]]

'''圓柱坐標系'''（{{lang-en|cylindrical coordinate system}}）是一種三維[[坐標系統]]。它是二維[[极坐标系|極坐標系]]往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 <math>z</math> 專門用來表示<math>P</math>點離 xy-平面的高低。按照[[國際標準化組織]]建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為  <math>(\rho,\ \phi,\ z)</math> 。

==定義==
[[File:Cylindrical_coordinate_surfaces.png|thumb|200px|right|圓柱坐標  <math>(\rho,\ \phi,\ z)</math> 的[[坐標曲面]]。紅色圓柱面的  <math>\rho=2</math> 。藍色平面的  <math>z=1</math> 。黃色半平面的  <math>\phi= - 60^{\circ}</math> 。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點<math>P</math>（以黑球表示）。點<math>P</math>的[[直角坐標]]大約為  <math>(1.0,\  - 1.732,\ 1.0)</math> 。]]
如圖右，<math>P</math>點的圓柱坐標是 <math>(\rho,\ \phi,\ z)</math> 。
*<math>\rho</math> 是<math>P</math>點與 z-軸的垂直距離。
*<math>\phi</math> 是線<math>OP</math>在 xy-面的[[投影|投影線]]與正 x-軸之間的夾角。
*<math>z </math> 與[[直角坐標]]的 <math>z</math> 等值。

==符號約定==
圓柱坐標系的記號並不統一。[[國際標準化組織|ISO]]標準[[ISO 31-11|31-11]]推薦<math>(\rho,\varphi,z)</math>，這裡的<math>\rho</math>是徑向距離，<math>\varphi</math>是[[方位角]]，而<math>z</math>是高度。但是，徑向距離也常表示為<math>r</math><ref>{{cite book|author=[[鄭鈞 (物理學家)|David K. Cheng]]|title=''Field and Wave Electromagnetics''|year=2014|publisher=|isbn=9781292026565|pages=第33頁}}</ref>或<math>s</math>，方位角也常表示為<math>\theta</math>或<math>t</math>，高度坐標也常表示為<math>h</math>或<math>x</math>（如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

==坐標系變換==
三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

===直角坐標系===
{{further|直角坐標系}}
使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：
:<math>{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 }</math> 、
:<math>{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)</math> 、
:<math>z=z</math> 。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 <math>(x,\ y)</math> 所處的[[象限]]來計算正確的[[反正切]]值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：
:<math>x=\rho \cos\phi</math> 、
:<math>y=\rho \sin\phi</math> 、
:<math>z=z</math> 。

===球坐標系===
[[File:Spherical_with_grid.svg|thumb|right|200px|用球坐標 <math>(r,\ \theta,\ \phi)</math> 來表示一個點的位置]]
{{further|球坐標系}}
使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：
:<math>\rho=r\sin\theta</math>、
:<math>\phi=\phi</math> 、
:<math>z=r\cos\theta</math> 。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：
:<math>r=\sqrt{\rho^2+z^2}</math> 、
:<math>\theta=\arctan\frac{\rho}{z}</math> 、
:<math>\phi=\phi</math> 。

==圆柱坐标系下的微积分公式==
圓柱坐標系的坐標因子分別為
:<math>h_{\rho} =1</math> 、
:<math>h_{\phi} =\rho</math> 、
:<math>h_{z} =1</math> 。
[[File:Nabla cylindrical2.svg|thumb|250px|right]]
在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是
:<math>\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z}</math> 。

面積元素是
:<math>\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz</math> 。

體積元素是
:<math>\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz</math> 。

[[劈形算符]]表示為
:<math>\nabla = \boldsymbol{\hat \rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \boldsymbol{\hat \varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} + \mathbf{\hat z}\frac{\partial}{\partial z}</math> 。
[[拉普拉斯算子]]是
:<math>\nabla^2 \Phi={1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho{\partial \Phi \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2} 
  + {\partial^2 \Phi \over \partial z^2}</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> ， <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\rho,\ \phi,\ z)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

==應用==
圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 <math>x^2+y^2=c^2</math>；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 <math>\rho=c</math>。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

==参见==
*[[在圆柱和球坐标系中的del]]

==參考資料==
<references />

==參閱==
{{正交坐標系}}

[[Category:坐标系|Y]]

[[de:Polarkoordinaten#Zylinderkoordinaten]]
[[fi:Koordinaatisto#Sylinterikoordinaatisto]]
[[ro:Coordonate polare#Coordonate cilindrice]]