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{{NoteTA
|G1 = 物理学
}}

{{redirect-distinguish|徑向運動|徑向速度|轉速}}

在[[物理學]]中，'''圓周運動'''（{{lang-en|Circular motion}}）是指运动轨迹为[[圆]]或[[弧|圆的一部分]]的一种[[運動 (物理學)|运动]]。

圓周運動的例子有：一個轨道为圆的[[人造衛星]]的运动、一个[[電子]]垂直地進入一個均勻的[[磁場]]时所做的运动等等。

一个[[质点]]的圆周运动可以按轨道的切線和垂直轨道的法線这两个方向来分解。

质点的[[加速度]]在切向的分量称为切線加速度。切線加速度改变质点沿轨道运动的[[线速度]]的大小，不改变方向。加速度在法線的分量成为法線加速度。由于在圆周运动中，法線加速度始终指向圆心，所以此加速度又称[[向心加速度]]。向心加速度改变质点速度的方向，不改变大小。

切線加速度大小为零的运动称为'''[[匀速圆周运动]]'''。<ref>{{cite book|title=中学奥林匹克竞赛物理教程. 力学篇|url=https://archive.org/details/zhongxueaolinpik0000unse|author=程稼夫|ISBN=978-7-312-03193-9|publisher=中国科技大学出版社|page=P30|date=2013年6月}}</ref>

对于匀速圆周运动，符合以下方程和分量方程：

===常用公式===
*<math> \theta = \omega t \ </math>
*<math> a = r\omega^2 \ </math>
*<math> \omega}= {2\pi \over \ T  \ </math>

其中<math>v</math>为速度，<math>a</math>为[[向心加速度]], <math>T</math>为周期，<math>\omega</math>为[[角速度]]（单位：rad/s）。

===分量方程===
在运动平面中建立[[平面直角坐标系]]，并以圆心为原点，初位置的[[位置矢量]]<math>\vec{r}</math>的方向为<math>x</math>轴正方向。
====位移====
*<math>\left|\vec{x} \right| = r \cos \theta  = r \cos \omega t </math>
*<math>\left|\vec{y} \right|= r \sin \theta = r \sin \omega t</math>

====速度====
*<math> \left|\vec{V}_x \right|= \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{dr \cos \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = -r \omega \sin \omega t </math>
*<math> \left|\vec{V}_y \right|= \frac{d\vec{y}}{dt} = \frac{dr \sin \theta}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = r \omega \cos \omega t </math>
*<math> \omega = \frac{d \theta}{dt}  </math>

====加速度====
*<math> \vec{a}_x = \frac{d\vec{V}_x}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \cos \omega t </math>
*<math> \vec{a}_y = \frac{d\vec{V}_y}{dt} = -\vec{r} \omega^{2} \sin \omega t </math>
*<math> \left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^{2} + a_y^{2}} = r \omega^{2} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{4 \pi^{2} r}{T^{2}}</math>
*<math> \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}= \frac{2 \pi \vec{r}}{T}</math>

==动力学分析==
将做圆周运动的质点受到的合力<math>F</math>分解为切向力<math>F_\tau</math>和法向力<math>F_n</math>。

切向力产生切向加速度：
<math>F_\tau=ma_\tau</math>

法向力产生法向加速度:
<math>F_n=ma_n</math>

当质点做匀速圆周运动时，质点受到的合外力<math>F=F_n</math>，此时<math>F</math>又称[[向心力]]。
<ref>{{cite book|title=高中物理竞赛教程*拓展篇|author=赵志敏|publisher=复旦大学出版社|ISBN=978-7-309-08250-0|page=P78~P79}}</ref>

== 物理量==
假设一个1千克的物体，以角速度1 rad·s<sup>&minus;1</sup>沿半径为1 m的匀速圆周运动。
*该物体的速率为1 m·s<sup>&minus;1</sup>
*向心加速度为1 m·s<sup>&minus;2</sup>
*该物体受到的向心力为1 kg·m·s<sup>&minus;2</sup>，即1[[牛顿 (单位)|牛顿]]
*该物体的[[动量]]为1 kg·m·s<sup>&minus;1</sup>
*[[转动惯量]]为1 kg·m<sup>2</sup>
*[[角动量]]为1 kg·m<sup>2</sup>·s<sup>&minus;1</sup>
*[[动能]]为<math>\frac{1}{2}</math>[[焦耳]]
*[[轨道 (力学)|轨道]]的[[周长]]为<math>2\pi</math> (≈6.283)米
*运动的[[周期]]为<math>2\pi</math>秒
*[[頻率 (物理學)|频率]]为<math>\frac{1}{2\pi}</math>[[赫兹]]
*從[[量子力學]]的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48&times;10<sup>35</sup>。

然后假设一个质量为<math>m</math>的物体，以角速度''<math>\omega</math>''沿半径为''r''的圆周运动。
*速度<math>v=r\omega</math>
*向心加速度<math>a=r\omega ^2 = \frac{v^2}{r}</math>
*向心力<math>F=ma=rm\omega ^2 = \frac{mv^2}{r}</math>
*物体的动量<math>p=mv=rm\omega</math>
*转动惯量<math>I=r^2 m</math>
*角动量<math>L=rmv=r^2m\omega=I\omega</math>
*动能<math>E=\frac{mv^2}{2}=\frac{r^2m \omega^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{I \omega^2}{2}=\frac{L^2}{2I}</math>
*轨道周长为<math>2\pi r</math>
*运动周期<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math>
*频率<math>f=\frac{1}{T}</math>. (常用希腊字母''[[ν]]''表示频率，但为了与表示速度的符号<math>v</math>区分，这里使用<math>f</math>表示频率)
*量子数<math>J=\frac{2\pi L}{h}</math>（<math>h</math>是[[普朗克常数]]）

==变速圆周运动==
[[Image:Nonuniform circular motion.svg|right|物体做变速圆周运动时，[[切向速度]]和[[角速度]]都在变化|300px|thumb]]
{{main|变速圆周运动}}
一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足[[牛顿第二定律]]。

向心力的大小：

<math>F_n=ma_n=m \frac{v^2}{r}</math>

<math>v</math>是物体的速度，<math>r</math>是运动[[轨迹]]的半径。<ref>{{cite book|title=更高更妙的物理|url=https://archive.org/details/genggaogengmiaod0000shen|author=沈晨|publisher=浙江大学出版社|date=2012年5月|edition=第5版|ISBN=978-7-308-04609-1|page=P63|language=zh-hans}}</ref>

==圆周运动的[[极坐标]]描述==
在圓周運動時，物體沿著一個[[曲率半徑]]固定的曲線運動。
:<math>\vec r</math> 徑向量為：
:<math>\vec r=R \vec e_R </math> 此處 <math>\vec e_R</math> 是平行於徑向量的單位向量。
在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:
:<math>\vec v=R\dot \varphi \cdot \vec e_{\varphi}</math>
:所以 <math>v_{\varphi}=R\omega</math>
物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：
:<math>\vec a = \dot {\vec v} = -R{\dot \varphi}^2 \vec e_R +R \ddot \varphi \vec e_{\varphi}</math>
我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：
:<math>a_R= R\dot \varphi ^2=R\omega ^2</math>
徑向分量可改變速度的大小:
:<math>a_{\varphi}=R\ddot \varphi = R\varepsilon</math>

==圆周运动的复数描述==
我們可以使用[[复数 (数学)|複數]]來描述圓周運動。令<math>x</math>軸表示實數，<math>y</math>軸表示虛數，則物體的位置可以表示成在<math>z</math>的複數''向量''：
:<math>z=x+iy=R(\cos \varphi +i \sin \varphi)=Re^{i\varphi}</math>
此處<math>i</math>是[[虛數單位]]。
:<math>\varphi =\varphi (t)</math>是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。
:因為半徑是常數（定值）<math>\dot R =\ddot R =0</math>
所以速度是：
:<math>v=\dot z = iR\dot \varphi e^{i\varphi} = i\omega \cdot Re^{i\varphi}= i\omega z</math>
而加速度則是：
:<math>a=i\dot \omega z +i \omega \dot z =(i\varepsilon -\omega^2)z</math>

==参考文献==
{{reflist}}

==参见==
{{portal|物理}}
* [[角动量]]
* [[向心力]]
* [[離心力]]
* [[慣性力]]
* [[简谐运动]]
* [[曲线运动]]
* [[运动方程]]
* [[时间导数]]
* [[簡諧運動]]
* [[地球靜止軌道]]
* [[地球同步轨道]]
* [[机弦]]
* [[擺 (數學)]]

==外部链接==
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/1np/ch09/ch09.html Circular Motion] {{Wayback|url=http://www.lightandmatter.com/html_books/1np/ch09/ch09.html |date=20101214150055 }} - 网上教科书（英文）

[[Category:力学|Y]]
[[Category:经典力学|Y]]
[[Category:圆周运动|Y]]