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[[File:5-gon cyclic 01.svg|thumb|300px|一個圓內接五邊形]]
在[[幾何學]]中，'''圓內接多邊形'''是指存在[[外接圓]]的[[多邊形]]，且該外接圓能使多邊形的所有[[頂點 (幾何)|頂點]]都位於該[[圓]]的[[邊界]]上，換句話說若這個多邊形的所有頂點都[[共圆]]，則可稱其為圓內接多邊形。所有的[[三角形]]都是圓內接多邊形，而[[四邊形]]以上的多邊形則不一定。若一四邊形的四個頂點都在同一個圓上則稱為[[圆内接四边形]]。

圓內接多邊形的[[對偶多邊形]]為[[圓外切多邊形]]。此外，所有[[正多邊形]]都是圓內接多邊形。

== 性質 ==
若一個奇數邊數的圓內接多邊形，若其所有[[角度]]都相等時，則其為[[正多邊形]]，反之亦然。而若圓內接多邊形的邊數為偶數，且其所有[[角度]]都相等時，則其稜會交錯相等，反之亦然<ref>De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, March 2011, 102-107.</ref>。

== 圓內接五邊形 ==
[[Image:Robbins pentagon2.svg|thumb|一個面積為7392的{{link-en|羅賓斯五邊形|Robbins pentagon}}。]]
若一圓內接五邊形的邊長和面積皆為有理數，該五邊形稱為{{link-en|羅賓斯五邊形|Robbins pentagon}}。目前已知的所有羅賓斯五邊形對角線長也皆為有理數<ref>{{citation
 | last1 = Buchholz
 | first1 = Ralph H.
 | last2 = MacDougall
 | first2 = James A.
 | doi = 10.1016/j.jnt.2007.05.005
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | mr = 2382768
 | pages = 17–48
 | title = Cyclic polygons with rational sides and area
 | url = http://docserver.carma.newcastle.edu.au/785/
 | volume = 128
 | year = 2008
 | access-date = 2018-11-18
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20181112042813/http://docserver.carma.newcastle.edu.au/785/
 | archive-date = 2018-11-12
 | dead-url = yes
 }}.</ref>。

== 圓內接四邊形 ==
{{Main|圓內接四邊形}}
在一个圆内接四边形中，相对的两内角是[[补角|互补]]的，它们度数之和为180[[角度|度]]<ref>欧几里得，《[[几何原本]]》第三章，[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html 命题22] {{Wayback|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html |date=20091017003046 }}</ref>。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角[[补角|互补]]是圓內接四邊形的[[充分必要條件]]，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

== 點到頂點頂點距離 ==
設<math>A</math>為圓內接多邊形，其為一個n邊形，而其[[頂點 (幾何)|頂點]]分別為<math>A_1,\cdots,A_n</math>，並位於單位圓上，則對位於弧<math>A_1 A_n</math>上的任意點<math>M</math>，從頂點到<math>M</math>的距離滿足<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf] {{Wayback|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|date=20170830032311}}.</ref>{{rp|p.190,#332.10}}：
:<math>\begin{cases}
  MA_1 + MA_3 + \dots + MA_{n-2} + MA_n < \frac{n}{\sqrt{2}} \quad \text{if} \,n \, \text{is odd}; \\
  MA_1 + MA_3 + \dots + MA_{n-3} + MA_{n-1} \leq \frac{n}{\sqrt{2}} \quad \text{if} \, n \, \text{is even}.
\end{cases}</math>

== 參見 ==
*[[圆内接四边形]]
*[[雙心多邊形]]
*[[圓外切多邊形]]

==參考文獻==
{{refbegin|2}}
{{Reflist}}
{{refend}}

==外部連結==
*{{MathWorld |title=Cyclic Polygon |urlname=CyclicPolygon}}

{{多邊形}}

[[Category:多邊形]]
[[Category:多邊形類型]]