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[[拓扑学]]和[[微积分]]中，'''圆形函数'''（round function）是[[流形]]''M''上的标量函数<math>M\to{\mathbb{R}}</math>，其[[临界点 (数学)|临界点]]形成[[连通空间|连通分量]]，每个都[[同胚]]于[[圆]]<math>S^1</math>，因此也叫临界环。圆形函数是[[莫尔斯理论#莫尔斯–博特理论|莫尔斯–博特函数]]的特例。

[[Image:Critical-loop.PNG|right|thumb|300px|黑色圆圈就是其中一个临界环。]]

==例子==
例如，令''M''为[[环面]]；

:<math>K=(0,2\pi)\times(0,2\pi).\,</math>

则知映射<math>X\colon K\to \mathbb{R}^3</math>

:<math>X(\theta,\phi)=((2+\cos\theta)\cos\phi,(2+\cos\theta)\sin\phi,\sin\theta)\,</math>

是几乎所有''M''的参数化。现在，将函数<math>\pi_3\colon{\mathbb{R}}^3\to{\mathbb{R}}</math>限制在''M''上

:<math>G=\pi_3|_M\colon M\to{\mathbb{R}},  (\theta,\phi) \mapsto \sin \theta \,</math>

<math>G=G(\theta,\phi)=\sin\theta</math>是临界集定义为
:<math>{\rm grad}\ G(\theta,\phi)=
\left({{\partial}G\over {\partial}\theta},{{\partial}G\over {\partial}\phi}\right)\!\left(\theta,\phi\right)=(0,0)</math>

的函数，当且仅当<math>\theta={\pi\over 2},\ {3\pi\over 2}</math>。

<math>\theta</math>这两个值给出临界集

:<math>X({\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,1)\,</math>
:<math>X({3\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,-1)\,</math>

代表环面''M''上的两个极值圆。 注意此函数的[[黑塞矩阵]]是

:<math>{\rm hess}(G)=
\begin{bmatrix} 
-\sin\theta & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
</math>

这清楚地表明，在标记圆处<math>{\rm rank}({\rm hess}(G))=1</math>、使临界点退化；也就是说，这表明临界点不是孤点。

==圆复杂度==
模仿[[LS范畴]]论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的'''圆复杂度'''。

==参考文献==
* Siersma and Khimshiasvili, ''On minimal round functions'', Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp.&nbsp;18.[http://citeseer.ist.psu.edu/287481.html] {{Wayback|url=http://citeseer.ist.psu.edu/287481.html |date=20070311042339 }}. An update at [http://igitur-archive.library.uu.nl/math/2001-0628-161022/1118.pdf]

[[Category:微分几何]]
[[Category:几何拓扑]]
[[Category:各类函数]]