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{{Unreferenced|time=2022-12-04T10:13:29+00:00}}
[[File:CroppedCone.svg|thumb|一个圆台]]
[[File:Truncated_cone.svg|thumb|一个圆台]]
'''圓台'''，又稱'''截頂圓錐'''、'''圓亭'''，是[[几何学]]中研究的一类三维形体，指一个[[圆锥]]被[[平行]]于它的底面的一个[[平面 (数学)|平面]]所截後，截面与底面之间的几何形体。截面也称为圆台的上底面，原来圆锥的底面称为下底面。随着圆锥形状不同，圆台的称呼也不相同。一般说到圆台都是指正圆台，也就是指正圆锥截出的圆台。正圆台和圆形有相同的对称结构。以下除非另作注明，“圆台”都指正圆台。

== 性质 ==
=== 体积 ===
圆台的体积取决于两底面之间的距离（圆台的高），以及原来圆锥的体积。设<math>h</math>為圆台的高，<math>r</math>和<math>R</math>為棱台的上下底面半径，<math>V</math> 為圆台的[[体积]]。由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积，再减去和它相似的小圆锥的体积。圆锥被平行于底面的平面所截时，截面圆的半径与底面半径的比，等于小圆锥和原圆锥的高的比。假设原圆锥的高是<math>H</math>，那么小圆锥的高是<math>H - h</math>。也就是说：
<center><math>\frac{H-h}{H} =  \frac{r}{R} .</math></center>
所以：
<center><math>H = \frac{h R}{R - r}</math></center>
圆台的体积等于原圆锥体积减去小圆锥的体积：
:<math>V = \frac{\pi R^2 H}{3} - \frac{\pi r^2 (H - h)}{3} = \frac{\pi(R^2 - r^2)Rh}{3(R - r)} + \frac{\pi h r^2}{3}  = \frac{\pi h}{3} \left(R^2 + r^2 + R r\right) </math> 
 
《[[九章算術]]》記載的圓台體積公式：「上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。」这是将圆周率的值取为3得到的。

===表面积===
圆台的侧面展开图是一个“扇面形”，也就是两个同心扇形的差。展开图的面积，就是两个扇形的面积差，其中<math>l</math>是圆台的母线长度：
:<math>S_c =\pi RL - \pi r (L - l) = \pi (R+r) l</math>
圆台的表面积{{math|S<sub>t</sub>}}等于圆台的侧面积{{math|S<sub>c</sub>}}加上两底的面积{{math|S<sub>u</sub>}}、{{math|S<sub>d</sub>}}。
:<math>S_t = S_c + S_u + S_d = \pi \left[ R^2 + r^2 + (R+r) l \right].</math>

== 参看 == 
* [[棱台]]：平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分；
* [[圆锥]]：圆的各个切线和圆外一点所成的平面包围得到的立体。
* [[平截头体]]：平行于锥体底面的平面截去锥体顶部后得到的几何体，分为棱台和圆台。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

{{几何术语}}

[[Category:立體幾何]]
[[Category:几何形状]]