查看“︁圆”︁的源代码

{{For|其他意义}}
{{Not|零邊形|無限邊形}}
{{Infobox polygon
|name      = 圓
|image     = Circle-withsegments.svg
|caption   = {{legend-line|black solid 3px|圆周''C''}}
{{legend-line|blue solid 2px|直徑''D''}}
{{legend-line|red solid 2px|半徑''R''}}
{{legend-line|green solid 2px|原點''O''}}
|symmetry  = [[正交群|{{math|O(2)}}]]
|area      = {{math|πR<sup>2</sup>}}
|perimeter = {{math|1=C = 2πR}}
|type      = [[圓錐曲線]]
}}

'''圆''' （{{lang-en|circle}}）的第一个定义是：根據[[歐幾里得]]的《[[几何原本]]》，在同一[[平面 (數學)|平面]]内到定点 <math>O</math> 的距离等于定长 <math>R</math> 的点的集合<ref name="几何原本">{{cite book |author=欧几里得[原著]/燕晓东（译） |title=几何原本 |year=2014 |publisher=江苏人民出版社 |location=南京 |isbn=9787214067593  |url=|quote=圆是一个在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点就是圆心。}}</ref>。此定点 <math>O</math> 称为圆心（center of a circle），此定长 <math>R</math> 称为半径（radius）。

圆的第二个定义是：平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆<ref name="高中数学必修1">{{cite book |author= |title=高中数学必修1 |year=2014 |publisher=人民教育出版社 |location=北京 |isbn=9787107177057 |url=http://www.pep.com.cn |pages= |access-date=2020-10-04 |archive-date=2017-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170613074807/http://www.pep.com.cn/ |dead-url=no }}</ref>；此圆属于一种{{le|阿波罗尼奥斯圆|Circles of Apollonius}}（circles of Apollonius）。

==历史==
{{further|几何原本|墨子}}
古代人最早是从[[太阳]]、阴历十五的[[月亮]]得到圆的概念的。在一万八千年前的[[山顶洞人]]曾经在[[牙齒|兽牙]]、[[砾石]]和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。<ref name="历史">{{cite book |author= |title=历史 |year=2014 |publisher=人民教育出版社 |location=北京 |isbn=9787107155598 |url=http://www.pep.com.cn |pages= |access-date=2020-10-04 |archive-date=2017-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170613074807/http://www.pep.com.cn/ |dead-url=no }}</ref>到了[[陶器时代]]，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。<ref name="圆的历史" />当人们开始纺线，又制出了圆形的[[石纺锤]]或[[陶纺锤]]。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。<ref>{{Cite web |url=http://www.cnposts.com/Translation/6404.aspx |title=古代人是如何搬运重物的？ |access-date=2015-08-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304142718/http://www.cnposts.com/Translation/6404.aspx |archive-date=2016-03-04 |dead-url=yes }}</ref>

约在6000年前，[[美索不达米亚]]人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。<ref name="圆的历史">{{cite book |author= |title=圆的历史 |year= |publisher= |location= |isbn= |url=http://wenku.baidu.com/link?url=uA8UNKJKwViV0tguKcf3EuIR-rF48sNP0d1m9bJORQr6Sk7erhfn2IAO2xhgp16nyaeAjxIAt-7IK9EWbsAj5t45IF6J6g9U6bxz0hDJeUy |pages= |access-date=2015-08-25 |archive-date=2021-11-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211121223914/https://wenku.baidu.com/link?url=uA8UNKJKwViV0tguKcf3EuIR-rF48sNP0d1m9bJORQr6Sk7erhfn2IAO2xhgp16nyaeAjxIAt-7IK9EWbsAj5t45IF6J6g9U6bxz0hDJeUy }}</ref>大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
古代[[埃及]]人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的[[墨子]]给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个[[圆心]]，圆心到[[圆周]]上各点的距离（即[[半径]]）都相等。<ref name="圆的历史" />

==性质==

=== 解析几何 ===
* [[直角坐标系]]中的定义：<math>(x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2</math>，其中r是半径，<math>(x_m,y_m)</math>是圆心坐标。
* [[參數方程|参数方程]]的定义：<math>x = x_m + a \cos \theta</math>，<math>y = y_m + a \sin \theta</math>。
* [[极坐标]][[方程]]的定义（圆心在原点）：<math>r = a</math>。

=== 圆心 ===
圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用<math>O</math>表示）。<ref name="数学" />

=== 弦 ===
圆周上任何两点相连的[[线段]]称为圆的[[弦 (幾何)|弦]]（{{lang-en|chord}}）。如图2，<math>A</math>、<math>B</math>分别为圆上任意两点，那么<math>\overline{AB}</math>就是圆的[[弦 (幾何)|弦]]。

=== 弧 ===
圆周上任意两[[点]]间的部分叫做[[弧]]（{{lang-en|arc}}），通常用符号<math>\frown</math>表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。<ref name="数学">{{cite book |author= |title=数学 |year=2014 |publisher=北京师范大学出版社 |location=北京 |isbn=9787303136933 |url=http://www.pep.com.cn |pages= |access-date=2020-10-04 |archive-date=2017-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170613074807/http://www.pep.com.cn/ |dead-url=no }}</ref>

=== 直径、半径 ===
*直径（{{lang-en|diameter}}）：经过圆心的[[弦 (幾何)|弦]]稱作直径（用<math>d</math>表示）。<ref name="高中数学必修1"/>
*半径（{{lang-en|radius}}）：在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，半径用字母<math>r</math>表示。
: <math>k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}</math>

=== 切线 ===
{{main|切线}}
假如一条直线与圆相交僅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的[[切线]]，与圆相交的[[点]]叫做切点。<ref name="高中数学必修1" />如下图，[[直线]]<math>\overline{QP}</math>与圆只有一个交点<math>P</math>，那么<math>\overline{QP}</math>就是圆的[[切线]]。过圆上一点的切线：设该点为<math>P(x_o,y_o)</math>，圆的方程为<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>，则圆在该点的切线方程为：<math>(x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2</math>
*性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
*推论1：经过圆心且垂直于[[切线]]的[[直线]]必经过切点。
*推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

=== 割线 ===
一条[[直线]]与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线（{{lang-en|Secant Theorem}}）。<ref name="高中数学必修1" />如图，直线<math>\overline{QO}</math>与圆有两个公共点，那么[[直线]]<math>\overline{QO}</math>就是圆的割线。
[[File:Secant-unit-circle.svg|thumb|300px|θ 的正割是从O到Q的距离。]]

=== 周长 ===
圆的一周的长度称为圆的[[周长]]（记作<math>C</math>）。圆的周长与半径的关系是：

: <math>C= \pi d</math>  或  <math>C= 2 \pi r </math>，
其中<math>\pi</math>是[[圆周率]]。

=== 面积 ===
[[圆的面积]]与半径的关系是：<math>A= \pi r^2</math>。

=== 对称性 ===
圆既是[[轴对称图形]]又是[[中心对称图形]]，圆的对称轴为经过圆心<math>O</math>的任意[[直线]]，圆的对称中心为圆心<math>O</math>。<ref name="数学" />

== 圓心角、圆周角 ==
{{further|扇形}}
[[圖像:Sehnentangentenwinkel.png|250px|right|thumb|图2：弦、圆周角、圆心角]]
* 圆心角：[[頂點 (幾何)|顶点]]在圆心的[[角]]叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，公式表示为<math>\theta = \frac{L}{2\pi r}\cdot 2\pi=\frac{L}{r} </math>。{{efn|L为[[扇形]][[弧]]长，变形公式<math>L=r\cdot \theta</math>}}<ref name="高中数学必修1"/>如右图，<math>M</math>为圆的圆心，那么<math>\angle AMB</math>为圆心角。
* 圆周角：[[頂點 (幾何)|顶点]]在圆周上，[[角]]两边和圆相交的角叫圆周角。如右图，<math>\angle ACB</math>的顶点<math>C</math>在圆周上，<math>\angle ACB</math>的两边<math>\overline{AC}</math>、<math>\overline{BC}</math>分别交在圆周上，那么<math>\angle ACB</math>就是圆周角。

=== 圆心角定理 ===
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的[[弦 (幾何)|弦]]相等，所对的[[弧]]相等，弦心距{{efn|弦心距指的是[[圆心]]到[[弦 (幾何)|弦]]的距离}}相等，此定理也称“一推三定理”。<ref name="数学"/>
=== 圆周角定理 ===
圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的[[角]]的一半。<ref name="数学"/>
<br />如上图，<math>M</math>为圆心，<math>A,B,C</math>分别为圆周上的[[点]]，那麼：<math>\angle AMB=2\; \angle ACB</math>
:证明：<math>\because BM=CM,AM=CM</math>
:::<math>\because \angle BCM=\angle CBM,\angle ACM=\angle CAM</math>
:::<math>\therefore \angle BMS=\angle BCM+\angle CBM</math>
:::<math>\because \angle AMS=\angle ACM+\angle CAM</math>
:::<math>\therefore \angle BMS+\angle AMS=2(\angle BCM+\angle ACM)</math>
:::即：<math>\angle AMB=2\; \angle ACB</math>
圆周角定理的推论：
#同弧或等[[弧]]所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周[[角]]所对的弧是等弧。
#半圆或直径所对的圆周角是[[直角]]；圆周角是[[直角]]所对的弧的半圆，所对的弦是直径。
#若[[三角形]]一边上的[[中线]]等于这边的一半，那么这个三角形是[[直角三角形]]。

== 垂径定理 ==
{{main|垂径定理}}
[[File:垂径定理.jpg|300px|thumb|垂径定理示意图]]
垂径定理是一种常用的'''[[几何学]]'''的[[定理]]。

定理定义：垂直于弦的[[直径]]平分这条弦，并且平分弦所对的两条[[弧]]。<ref>{{Cite book|title=几何原本|last=欧几里得|first=|publisher=|year=|isbn=|location=|pages=|authorlink=欧几里得|chapter=第I卷第12个命题}}</ref>

=== 知二推三 ===
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论。称为“知二推三”。
* 平分弦所对的优弧
* 平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是平分弦所对的两条弧）
* 平分弦（不是直径）
* 垂直于弦
* 经过圆心

=== 推论 ===

#BE过[[圓心|圆心]]O，AD=DC，则BE垂直AC并平分AC、AEC两条弧。即“平分'''非直径'''的弦的直径垂直于弦并平分弦所对的两弧。”
#AD=DC且BE垂直AC，则BE过圆心O且平分AC、AEC两条弧。即“弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的两弧。”
#BE是[[直径]]，<math>\overset{\frown} {AB}</math>（<math>\overset{\frown} {AE}</math>）＝<math>\overset{\frown} {BC}</math>（<math>\overset{\frown} {CE}</math>），则BE过圆心O，<math>\overset{\frown} {AE}</math>（<math>\overset{\frown} {AB}</math>）＝<math>\overset{\frown} {CE}</math>（<math>\overset{\frown} {BC}</math>）。即“平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧。”

==兩圓位置關係==
[[圖像:Two circles.png|center]]

兩個不同大小的圓（半徑分別為<math>r</math>及<math>R</math>，圓心距為<math>d</math>，其中<math>r < R</math>）之間的關係如下：<ref name="高中数学必修1" />

#<math>d = 0</math>：兩圓不相交（內含），互為[[同心圓]]。
#<math>0 < d < R - r</math>：兩圓不相交（內含，亦稱「內離」）。
#<math>d = R - r</math>：兩圓相交於一點（內切），有1條共同切線。
#<math>d = R + r</math>：兩圓相交於一點（外切），有3條共同切線。
#<math>R - r < d < R + r</math>：兩圓相交於兩點，有2條共同切線。
#<math>d > R + r</math>：兩圓不相交（外離），有4條共同切線。

=== 圆系方程 ===
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。<ref name="高中数学必修1" />
<br />在方程<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>中，若圆心<math>(a,b)</math>为定点，<math>r</math>为参变数，则它表示[[同心圆]]的圆系[[方程]]。若<math>r</math>是常量，<math>a</math>（或<math>b</math>）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于<math>x</math>轴或<math>y</math>轴）的圆系方程。

*过两圆<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0</math>与<math>x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0</math>交点的圆系方程为：
*:<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0\quad (\lambda\ne -1).</math>
*过直线<math>Ax+By+C=0</math>与圆<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0</math>交点的圆系方程为：
*:<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1+\lambda (Ax+By+C)=0.</math>
*过两圆<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1=0</math>与<math>x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2=0</math>交点的直线方程为：
*:<math>x_1^{2}+y_1^{2}+D_1x+E_1y+F_1-(x_2^{2}+y_2^{2}+D_2x+E_2y+F_2)=0.</math>

==其他定义==
{{further|椭圆|离心率}}
*[[椭圆]]是[[平面 (数学)|平面]]上到两个固定点的距离之和为[[常数]]的点之轨迹，椭圆的形状可以用[[离心率]]来表示；圆可以看作是一种特殊的椭圆，即当椭圆的两个[[焦点]]重合，[[离心率]]<math>\varepsilon =0</math>的情况。
{{main|球面}}{{further|立体几何|欧几里得}}
*在[[立體幾何|三維空間]]，球面被設定為是在<math>R^3</math>空間中與一個定點距離為<math>r</math>的所有[[點]]的集合，此處r是一個正的[[實數]]，稱為半徑，固定的點稱為球心或中心，並且不屬於球面的範圍。<math>r=1</math>是球的特例，稱為單位球。
*在測度[[空間]]中，圓的定義仍舊指距離一定點等距（在該測度下）的點的[[集合 (数学)|集合]]。

== 其它 ==
===相關的立体图形===
[[截面 (几何)|截面]]為圓的[[三維空間|三維]][[形狀]]有：
*[[球體]]
*[[扁球體]]
*[[圆锥体|圓錐體]]
*[[圆柱体|圓柱體]]
*[[圆台]]

===圓和其他平面形狀===
* [[外接圓]]
* [[內切圓]]
* [[旁切圓]]
{{main|等周定理}}
*當多邊形的每條邊固定，以有外接圓的圖形[[面积]]最大。<ref>J. Steiner, ''Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze'', J. reine angew Math.
'''18''', (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).</ref>

===圓的問題===
*[[化圓為方]]是指用[[尺规作图]]的方法畫出一個和已知圓面積相同的正方形。已经证明这是不可能的。<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期|publisher=|accessdate=2015-08-26|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>
*[[塔斯基分割圓問題]]要求用分割的方法來使已知圓變成正方形。
*[[高斯圓問題|高斯圆问题]]。

== 参考资料 ==
=== 注释 ===
{{notelist|iger=}}
=== 资料 ===
{{Reflist}}

== 参见 ==
{{Portal box|数学}}
* [[圆锥曲线]]
* [[球 (数学)]]

== 扩展阅读 ==
*{{cite book |author=Pedoe, Dan |title=Geometry: a comprehensive course |url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo |publisher=Dover |year=1988}}
*[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Circle.html "Circle" in The MacTutor History of Mathematics archive]{{Wayback|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Circle.html |date=20190407191943 }}
== 外部链接 ==
{{Commons and category}}
{{wikiquote|圓}}
{{EB1911 poster|Circle}}
* {{springer|title=Circle|id=p/c022260}}
*[[planetmath:4236|Circle (PlanetMath.org website)]]
*{{MathWorld |urlname=Circle |title=Circle}}
*[http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html Interactive Java applets]{{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html |date=20170606141014 }} for the properties of and elementary constructions involving circles.
*[http://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/interactive-circle-equation.php Interactive Standard Form Equation of Circle]{{Wayback|url=http://www.mathwarehouse.com/geometry/circle/interactive-circle-equation.php |date=20161215140155 }} Click and drag points to see standard form equation in action
*[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml Munching on Circles]{{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml |date=20190317024803 }} at [[cut-the-knot]]
{{-}}
{{几何术语}}
{{Authority control}}

[[Category:圆| ]]
[[Category:数学术语]]
[[Category:圆锥曲线|Y]]
[[Category:定宽曲线]]
[[Category:初等几何|Y]]
[[Category:数学概念]]