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{{noteTA
|T=zh-hans:量纲分析; zh-hant:因次分析;
|1=zh:量綱; zh-hans:量纲; zh-hant:因次
}}
'''量綱分析'''（{{lang-en|dimensional analysis}}）是指[[数学]]或[[物理学]]中[[物理量]]的[[量綱]]可以用來分析或檢核幾個物理量之間的關係。

通常，一個物理量的量綱是由像[[質量]]、[[長度]]、[[時間]]、[[電荷量]]、[[溫度]]一類的基礎物理量綱結合而成。{{notetag|例如，速度的量綱為長度每單位時間，而計量單位為公尺每秒、英里每小時或其它單位。量綱分析所根據的重要原理是，物理定律必需跟其計量物理量的單位無關。任何有意義的方程式，其左手邊與右手邊的量綱必需相同。檢查有否遵循這規則是做量綱分析最基本的步驟。}}

{{fact|推導獲得的方程式或計算結果是否基本上合理，慣常可以用量綱分析來檢察。對於較複雜的物理狀況，量綱分析也可以用來構築合理假定（參見[[關聯模型]]），然後，做嚴格的實驗加以測試，或用已發展成功的理論仔細檢試。量綱分析能夠按照各種物理量的量綱，將它們詳細分類。}}

==牛頓相似性原理==
早在十七世紀，[[艾薩克·牛頓]]就已經提出量綱分析的基本原理，現在知名為「牛頓相似性原理」<ref>{{Citation
  | last = Price
  | first = Bartholomew
  | title = A treatise on infinitesimal calculus, containing differential and integral calculus, calculus of variations, applications to algebra and geometry, and analytical mechanics, Volume 4
  | publisher = University Press
  | year = 1862
  | pages =pp. 119ff}}</ref><ref name="stahl">{{Citation |author=Stahl, Walter R |title=Dimensional Analysis In Mathematical Biology |journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |volume=23 |year=1961 |page=355 }}</ref>。在建立量綱分析的現代用法上，[[詹姆斯·麦克斯韦]]也扮演了重要的角色，他區分質量、長度、時間的計量單位為「基礎單位」，又將其它單位分類為「衍生單位」<ref name="maxwell">{{Citation |author=Roche, John J |title=The Mathematics of Measurement: A Critical History |publisher=Springer |year=1998 |location=London |page=203 |isbn=978-0387915814 |quote=[http://books.google.com/books?id=eiQOqS-Q6EkC&lpg=PP1&dq=isbn%3A978-0387915814&pg=PA203#v=onepage&q&f=false Beginning apparently with Maxwell, mass, length and time began to be interpreted as having a privileged fundamental character and all other quantities as derivative, not merely with respect to measurement, but with respect to their physical status as well.]}}</ref>。十九世紀法國數學家[[約瑟夫·傅立葉]]也做出巨大貢獻。他表明，類似[[牛頓第二定律]]<math>\mathbf{F}=m\mathbf{a}</math>的物理定律，其方程式應該與計量物理量的單位無關<ref>{{Citation |author=Mason, Stephen Finney |title=A history of the sciences |publisher=Collier Books |location=New York |year=1962 |page=169 |isbn=0-02-093400-9 }}</ref>。這引致出重要結論：有意義的定律，對於其方程式的每一個計量單位，這方程式都必需是[[齊次函數|齊次方程式]]。這結果最終形式化成為[[白金漢π定理]]（{{lang|en|Buckingham π theorem}}）。假設一個有物理意義的方程式具有<math>n</math>個變數與<math>m</math>個基礎量綱，白金漢π定理描述怎樣將這方程式等價地重寫為具有<math>n-m</math>個無量綱參數的方程式。更重要的是，從設定的變數，這定理給出了一種能夠計算這些無量綱參數的方法。

通過[[無量綱化]]（{{lang|en|nondimensionalization}}）技法，一個具有量綱的方程式可以降低或消除其量綱。這技法首先使用量綱分析，這技法使用系統的基礎單位或大自然的[[自然單位]]來按比例改變物理量的數值。這技法可以使得物理學者更了解系統的基礎性質。稍後，會有更詳細說明。

===定義===
一個物理量的量綱是質量、長度、時間、電荷量、溫度的結合，分別由符號'''M'''、'''L'''、'''T'''、'''Q'''、'''Θ'''代表，每一個都提升至[[有理數]][[冪]]。

注意到術語「量綱」比尺度「單位」更抽象：質量是一種量綱，而公斤是量綱為質量的一種尺度單位。對於每一種量綱，不同的標準制會規定不同的單位。

例如，物理量[[速度]]的量綱是長度／時間（'''L'''/'''T'''或'''LT'''<sup> −1</sup>），物理量[[作用力]]的量綱是質量×長度／（時間的平方）（'''ML'''/'''T'''<sup>2</sup> or '''MLT'''<sup> −2</sup>）。原則而言，其它種物理量的量綱也可以定義為基礎量綱，可以替換上述幾個量綱。例如，動量、能量或電流都可以選為基礎量綱。

有些物理學者不認為[[溫度]]是基礎量綱，因為溫度表達為粒子的[[能量]]每[[自由度]]，這可以以能量（或質量、長度、時間）來表達。有些物理學者不認為[[電荷量]]是基礎量綱；在[[厘米-克-秒制]]內，電荷量可以以質量、長度、時間共同結合在一起來表達。另外，還有一些物理學者懷疑，大自然存在著具有不相容基礎量綱的物理量<ref name="duff">M. J. Duff, L. B. Okun and G. Veneziano, ''Trialogue on the number of fundamental constants'', JHEP '''0203''', 023 (2002) [http://arxiv.org/abs/physics/0110060 preprint] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/physics/0110060 |date=20150415033331 }}.</ref>。

計量單位與量綱密切相關，但內含的概念大不相同。物理量的單位是由常規定義，與標準制有關。例如，長度的單位可以是公尺、英呎、英哩或微米；但是，任何長度的量綱必定是'''L'''，這與單位無關。同一個物理量的兩種不同的單位之間，是靠著[[轉換因子]]（{{lang|en|conversion factor}}）從一個單位轉換到另一個單位。例如，1 [[英吋|in]] = 2.54 [[公分|cm]]，注意到在這裡「2.54 cm/in」是轉換因子，不具有量綱，其數值等於1。因此，假若將任何物理量乘以轉換因子，得到的結果數值不變。量綱符號與量綱符號之間，沒有轉換因子。

===數學性質===
{{Main|白金漢π定理}}

量綱符號，像'''L'''，形成一個[[群]]：
#這群的運算方法是乘法，'''L'''<sup>''n''</sup>×'''L'''<sup>''m''</sup> = '''L'''<sup>''n''+''m''</sup>。因此，這種運算方法符合[[閉包 (數學)|閉包律]]
#[[單位元]]是'''L'''<sup>0</sup> = 1。量綱為'''L'''<sup>0</sup>的物理量是無量綱物理量。
#[[逆元]]是1/'''L''' or '''L'''<sup>−1</sup>。
#'''L'''提升至任意有理數冪''p''，'''L'''<sup>''p''</sup>也是群的元素。其逆元是'''L'''<sup>−''p''</sup>或1/'''L'''<sup>p</sup>。

量綱符號形成一個有理數的向量空間。例如，量綱符號'''M'''<sup>''i''</sup>'''L'''<sup>''j''</sup>'''T'''<sup>''k''</sup>對應於向量(''i,j,k'')。當兩個物理量（不論其量綱是否相同）相乘或相除，它們的量綱也同樣的相乘或相除，這對應於相加或相減於向量空間。當物理量提升至有理數冪，其量綱也會提升至同樣的有理數冪，這對應於純量乘法於向量空間。

給定量綱符號的向量空間，其[[基底]]是以基礎量綱為元素的集合，所有其它向量稱為衍生量綱。如同在任何向量空間，有不同的基底可供自由選擇，這會造成不同的單位制。例如，選擇電荷量單位是衍生於電流單位，或反之亦可。

無量綱物理量對應於向量空間的[[原點]]。

白金汉π定理（{{lang|en|Buckingham π theorem}}）闡明，对于某个物理问题，如果存在n个变量，
其中有m个基本量，则存在n-m个独立的无量纲参数，即可以将n个变量组合成n-m个无量纲π数。

以简单摆运动为例，这个物理问题存在5个变量：摆球的质量<math>m</math>、
摆线的长度<math>l</math>、摆角<math>\theta</math>、时间<math>t</math>和重力加速度<math>g</math>，其中有3个基本量：质量、长度和时间，则存在2个独立的无量纲π数，如<math>\Pi_1 = \sqrt{l/gt^2}</math>和<math>\Pi_2 = \theta</math>。

==例子==
[[力]]可以透過[[艾薩克·牛頓]]著名的公式
:<math>F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} = m \frac{d}{dt} \frac{dx}{dt}</math>
做因次分析，[M]代表質量因次，[L]代表長度因次，[T]代表時間因次，則為：
:<math>[F] = [M][L][T^{-2}] \,</math>
相應地，力的國際單位[[牛頓 (單位)|牛頓]]（N）的定義是：
:<math>N = kg \cdot \frac{m}{s^2}</math>，即[[公斤]]（kg）·[[公尺|米]]（m）·秒（s）[[-2#負二次冪|負二次方]]。

若力沿著一定路徑作[[功]]：
:<math>W = \int_{x_0}^{x_1} F dx</math>
可以看出因次上：
:<math>[W] = [F][L] = [M][L^2][T^{-2}] \,</math>

另外，非[[相對論]]（即[[古典力學]]裡）[[動能]]的定義：
:<math>E_k = \frac{1}{2} m \left(\frac{dx}{dt}\right)^2</math>
其因次為：
:<math>[E_k] = [M]([L][T^{-1}])^2 = [M][L^2][T^{-2}] \,</math>

因次和功相同。這也和[[功能定理]]相應。

==應用==
透過因次分析可以對物理推導過程進行檢驗，確認前後是否一致無誤。

此外，一些物理學上的演繹是透過因次分析而生的，例如[[普朗克長度]]、[[普朗克時間]]與[[普朗克質量]]。它們的出現最先是透過將[[普朗克常數]]、[[光速]]、[[重力常數]]三項常數組合出長度因次、時間因次、質量因次而衍生得到它們應該具有的數值。

==注释==
{{notefoot}}
==参见==
*[[因次]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

==外部連結==
* [http://episte.math.ntu.edu.tw/reviews/rev_a_tsao/index.html 阿草的葫蘆--文化活動中的數學]{{Wayback|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/reviews/rev_a_tsao/index.html |date=20061011160521 }}

{{Authority control}}
[[Category:物理量]]
[[Category:因次分析]]
[[Category:度量]]
[[Category:化学工程]]
[[Category:机械工程]]
[[Category:環境工程]]