查看“︁因數”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{not|因式}}

'''因数'''<ref>https://terms.naer.edu.tw/detail/885376fd9209b23a19cac9205e8e9024/?seq=1</ref>（{{lang-en|factor}}）也称 '''约数'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/87147/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-04-10 |archive-date=2023-04-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230410033211/https://www.termonline.cn/word/87147/1#s1 |dead-url=no }}</ref>、'''因子'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/90905/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-04-10 |archive-date=2023-04-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230410033215/https://www.termonline.cn/word/90905/1#s1 |dead-url=no }}</ref>、'''除子'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/88219/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-04-10 |archive-date=2023-04-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230410033211/https://www.termonline.cn/word/88219/1#s1 |dead-url=no }}</ref>、'''除數'''（divisor），是一个常见的[[数学]]名词，用于描述[[自然数]] <math>a</math> 和自然数 <math>b</math> 之间存在的[[整除]]关系，即 <math>b</math> 可以被 <math>a</math> 整除。这里我们称 <math>b</math> 是 <math>a</math> 的[[倍数]]，<math>a</math> 是 <math>b</math> 的因数或因子。

== 定义 ==
设 <math>a,b</math> 满足  <math>a\in \mathbb{N}^*,b\in \mathbb{N}</math>. 若存在  <math>q\in \mathbb{N}</math> 使得  <math>b=aq</math>, 那么就说  <math>b</math> 是  <math>a</math> 的[[倍数]]， <math>a</math> 是 <math>b</math> 的约数。这种关系记作  <math>a|b</math>,读作“<math>a</math> [[整除]] <math>b</math>”.

例如 <math>24=3\times 8,\;1150=25\times 46</math>. 所以  <math>3|24,\;25|1150</math>，同时 <math>3</math> 是 <math>24</math> 的因数；<math>25</math> 是 <math>1150</math> 的因数。

{{Anchor|真因數}}除了自己本身外的因數，稱為 '''真因數''' 或 '''真因子'''<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/87809/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-04-10 |archive-date=2023-04-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230410033212/https://www.termonline.cn/word/87809/1#s1 |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=https://terms.naer.edu.tw/detail/a8c8afb4f0821bcb6d137ccb21fe4d75/?seq=3 |title=存档副本 |access-date=2023-04-10 |archive-date=2023-04-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230410033215/https://terms.naer.edu.tw/detail/a8c8afb4f0821bcb6d137ccb21fe4d75/?seq=3 |dead-url=no }}</ref>（proper divisor）<ref>{{cite web | url = http://www.mathsgreat.com/perfectnum/perfectnum_001.pdf | title = 完全數(1):因數、因數函數、完全數 | website = mathsgreat.com | access-date = 2022-09-21 | archive-date = 2023-03-09 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230309070739/http://www.mathsgreat.com/perfectnum/perfectnum_001.pdf | dead-url = no }}</ref><ref>{{cite mathworld | urlname=ProperDivisor | title=Proper Divisor}}</ref>。

== 性质 ==
*若 <math>a|b,\;b|c</math> 那么 <math>a|c</math>.

*若 <math>a|b,\;a|c</math> 且 <math>x,y\in\mathbb{Z}</math>, 有 <math>a|(bx+cy)</math>.

*若 <math>a|b</math>, 设 <math>t\not= 0</math>, 那么 <math>(ta)|(tb)</math>.

*若 <math>b=qd+c</math>, 那么 <math>d|b</math> 的[[充要条件]]是 <math>d|c</math>

*若 <math>x,y\in\mathbb{Z}</math> 满足 <math>ax+by=1,\;a|n.\;b|n</math> 那么 <math>ab|n</math>.

这里对最后一条性质进行证明:

<math>\because a|n,\;b|n\quad\therefore ab|bn,\;ab|an\quad\therefore ab|(anx+bny)</math>

<math>\because ax+by=1\quad\therefore ab|n</math> 

证毕。

== 相关定理 ==
=== 整数的[[唯一分解定理]] ===

任何一个[[正整数]]都有且仅有一种方式写出它所有[[素数]]因子的乘积表达式。这个过程称为[[质因数分解]]

如果 <math>A\in\mathbb{N}^{+}</math>, 那么 

<math>A=\prod_{i=1}^n p_i^{a_i}</math>, 其中 <math>p_i</math> 是一个[[素数]].

这种表示方法是唯一的。

=== 因数个数 ===
[[自然数]] <math>N</math> 的因数个数以 <math>d(n)</math> 表示。

若 <math>N</math> 唯一分解为 <math>N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times\cdots\times p_n^{a_n}=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}</math>, 则 <math>d(N)=(a_1+1)\times (a_2+1)\times (a_3+1)\times\cdots\times (a_n+1)=\prod_{i=1}^n\left (a_i+1\right )</math>.

例如 <math>2646=2 \times 3^3 \times 7^2</math>，则其正因数个数 <math>d(2646)=(1+1)\times(3+1)\times(2+1)=24</math>。

=== 因数和 ===
[[自然数]]{{mvar|N}}的正因数和，以因数函数 <math>\sigma (N)</math> 表示。由质因数分解而得。

若 <math>N</math> 唯一分解为 <math>N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times\cdots\times p_n^{a_n}=\prod_{i=1}^n p_i^{k_i}</math>, 则 <math>\sigma (N)=\prod_{i=1}^n\left (\sum_{j=0}^{a_i} p_i^j\right )</math>.

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

<math>\begin{align}
\sigma (N) &=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \times \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \times \cdots \times \frac{p_n^{a_n+1}-1}{p_n-1}
&\end{align}</math>

例如<math>2646=2 \times 3^3 \times 7^2</math>，则其正因数之和

<math>\begin{align}\sigma(2646)
&=(1+2)\times(1+3+9+27)\times(1+7+49)\\
&=\frac{2^2-1}{2-1} \times \frac{3^4-1}{3-1} \times \frac{7^3-1}{7-1}\\
&=3 \times 40 \times 57\\
&=6840
\end{align}</math>。

==其他==
*所有''n''的正因數都是n的[[質因子|質因數]]的[[積]]的一些[[冪]]。這是[[算術基本定理]]的結果。

*1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為<math>x=1x=-1\times(-x)</math>
由上式同樣可證明，一個整數及其[[相反數]]必然為自身的因數，叫做 '''明顯因數'''。

*''n''的正因數數目是[[積性函數]]''d(n)''，正因數之和則是另一個積性函數''σ(n)''。詳見[[除數函數]]

*質數<math>p</math>只有2個正因數：1, <math>p</math>。<math>p</math> 的[[平方數]]只有三個正因數：1, <math>p</math>, <math>p^2</math>。

==参考==
<references/>

==相關條目==
*因數判別法可參照[[整除規則]]。
*[[質數]]
*[[同余]]
*[[質因子|質因數]]
*[[公倍數]]、[[最小公倍數]]
*[[公因數]]、[[最大公因數]]

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{{Fractions and ratios}}

[[Category:初等数论]]
[[Category:除法]]