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{{NoteTA |G1=Math}}
[[File:Factorisatie.svg|thumb|right|多项式<math>x^2+cx+d</math>可因式分解成<math>\left(x+a\right)\left(x+b\right)</math>，其中：<math>ab=d, a+b=c</math>。]]

'''因式分解'''，在这里是指'''多項式因式分解'''（{{lang-en|Polynomial Factorization}}{{notetag|也有{{lang|en|polynomial factorisation}}或{{lang|en|factoring}}的用法}}），在數學中一般理解為把一個[[多項式]]分解為兩個或多個的因式{{NoteTag|因式即多項式。|name=因式=多項式}}的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如单元多項式<math>x^2 - 1^2</math>可被因式分解為<math>\left( x+1 \right) \left( x-1 \right)</math>。又如二元多項式<math>x^2 - y^2</math>因式分解為<math>\left( x+y \right) \left( x-y \right)</math>。如果我们允许多項式系数从整数扩大到[[複整數]]，那么<math>x^2 + 1^2</math>可被因式分解為<math>\left( x+i \right) \left( x-i \right)</math>。通常分解获得的每个因式要是'''不可约多项式'''（{{lang|en|irreducible}}）。也就是不能再分解了。

== 定义 ==
数域<math>P</math>上每个高于一次的多项式<math>f(x)</math>都可以分解为该数域P上的多个不可约多项式<math>p_i(x)</math>的乘积，为因式分解。

在复数域上，每个不可约多项式都是一次的，因此高于一次的复系数多项式，都可以唯一地分解为多个一次式之积。

在实数域上，不可约的多项式都是一次或二次的，因此高于一次的实系数多项式，都可以唯一地分解为一次、二次多项式之积。

在有理数域上，不可约多项式可以有任何次。例如，在有理数范围内，当<math>n</math>为正整数时，关于<math>x</math>的多项式<math>x^n + 2</math>无法再分解<ref>{{cite web|title=多 项 式|url=https://www.tup.tsinghua.edu.cn/upload/books/yz/050866-01.pdf|website=清华大学出版社|accessdate=2025-01-04}}</ref>。

== 因式分解定理 ==
数域F上每个次数<math>\ge 1</math>的多项式<math>f(x)</math>都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并是唯一的，即如果有两个分解式<br />

<math>f(x)=p_1(x)p_2(x)p_3(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_t(x)</math><br />

其中<math>p_i(x)(i=1,2,\cdots,s)</math>和<math>q_j(x)(j=1,2,\cdots,t)</math>都是数域F上的不可约多项式，那么必有<math>s=t</math>，而且可以适当排列因式的次序，使得<br />

<math>p_i(x)=c_iq_i(x)(i=1,2,\cdots,s)</math>,其中<math>c_i(i=1,2,\cdots,s)</math>是一些非零常数

== 分解方法 ==
===公因式分解(抽)===
原则：

# 分解'''必須'''要彻底（即分解後之因式均不能再做分解）
# 結果最後只留下小括號
# 結果的多項式首項為正。
在一個公式內把其公因子抽出，例子：
*<math>7a+98ab</math>
**其中，<math>7a</math>是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：<math>7a(1+14b)</math>
*<math>51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5</math>
**其中，<math>3a^3b^2</math>是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：<math>3a^3b^2(17ab^5+25a^2b^3+8)</math>

=== 公式法 ===
'''兩個立方數之和'''
<math display=block> a^3 + b^3 = (a +b)(a^2 - ab + b^2)</math>

'''兩個立方數之差'''
<math display=block> a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)</math>

'''兩個n次方數之差'''
<math display=block>a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ...... + b^{n-1})</math>

'''兩個奇數次方數之和'''
<math display=block>a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2} b + ...... + b^{n-1})</math>

===分组分解法===
透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

<math>\begin{align}
&3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby\\
=& (3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)\\
=& 3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)\\
=& (1+4ab)(3a^2b-5y)
\end{align}
</math>

<math>
\begin{align}
&15n^2+2m-3n-10mn \\
=&(15n^2-3n)+(2m-10mn) \\
=&3n(5n-1)+2m(1-5n) \\
=&3n(5n-1)-2m(5n-1)
=&(5n-1)(3n-2m)
\end{align}</math>

=== 拆添项法===
透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子：

<math>\begin{align}
&x^4+x^2+1 \\
=&x^4+x^2+x^2-x^2+1 \\
=&x^4+2x^2-x^2+1 \\
=&x^4+2x^2+1-x^2 \\
=&\left(x^2+1\right)^2-x^2 \\
=&\left(x^2+1-x\right)\left(x^2+1+x\right) \\
=&\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)\end{align}</math>

或者透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子：

<math>x^3-7x+6</math>

其中，<math>-7x</math>可以被拆成<math>-x</math>和<math>-6x</math>。所以，<math>x^3-7x+6</math>可以被寫成<math>x^3-x-6x+6</math>。因此，

<math>\begin{align}
&x^3-7x+6 \\
=&x^3-x-6x+6 \\
=&\left(x^3-x\right)-\left(6x-6\right) \\
=&x\left(x^2-1\right)-6\left(x-1\right) \\
=&x\left(x+1\right)\left(x-1\right)-6\left(x-1\right) \\
=&\left[x\left(x+1\right)-6\right]\left(x-1\right) \\
=&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right)
\end{align}</math>

其中，<math>+x</math>可以被拆成<math>+3x</math>和<math>-2x</math>。所以，<math>x^2+x-6</math>可以被寫成<math>x^2+3x-2x-6</math>。因此，

<math>\begin{align}
&\left(x^2+x-6\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x^2+3x-2x-6\right)\left(x-1\right) \\
=&\left[\left(x^2+3x\right)-\left(2x+6\right)\right]\left(x-1\right) \\
=&\left(x\left(x+3\right)-2\left(x+3\right)\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right) \\
=&\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)
\end{align}</math>

=== 十字交乘法 ===
{{main|十字交乘法}}

十字交乘法（cross method），也叫做十字相乘法。它实際上是[[拆項法]]的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

== 一次因式檢驗法 ==
一個整係數的一元多項式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>，假如它有整係數因式<math>p x + q</math>，''且p,q互質''，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）
*<math>p | a_n</math>
*<math>q | a_0</math>

不過反過來說，即使當<math>p | a_n</math>和<math>q | a_0</math>都成立時，整係數多項式<math>p x + q</math>也不一定是整係數多項式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0</math>，若<math>p x - q</math>是f(x)之因式，''且p,q互質''，則：（逆敘述並不真）
*<math>p - q | f(1)</math>
*<math>p + q | f(-1)</math>

== 参见 ==
* [[因数分解]]
* [[高斯整數分解]]
* [[多項式]]
* [[根 (数学)|根]]
* [[十字相乘]]
* [[乘法公式]]

==注释==
{{notefoot}}
[[Category:多項式]]
[[Category:初等代数|Y]]

== 延伸閱讀 ==
*Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
*Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
*Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
*Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
*Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co