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{{NoteTA
| G1 = Math
}}

'''-{迴}-文数'''或'''-{回}-文數'''是指像14641这样“对称”的[[数 (数学)|数]]，即：将这数的[[数字|位数]]反轉排列得到的「倒序數」<ref name="xu05">{{cite book|url = https://www.google.co.uk/books/edition/C%E8%AF%AD%E8%A8%80%E7%A8%8B%E5%BA%8F%E8%AE%BE%E8%AE%A1/86ftwMjWvE0C?gbpv=1 |title = C语言程序设计|author = 徐连信|year = 2005|publisher = 清华大学出版社}}</ref>{{rp|94}}或「反序數」<ref name="xu05" />{{rp|59}}和原数一样。这裡，“[[回文]]”是指像“妈妈爱我，我爱妈妈”这样，正读反读都相同的单词或句子。

回文数在[[休闲数学]]领域备受关注，典型的问题就是寻找那些有某种特性且符合回文特征的数，如
* [[回文素数]]：2、3、5、7、11、101、131、151、…{{oeis|id=A002385}}
* 回文[[完全平方]]数：0、1、4、9、121、484、676、10201、12321、…{{oeis|id=A002779}}

[[巴克敏斯特·富勒|巴克敏斯特·福乐]]的著作《[[协同学]]》（''{{lang|en|Synergetics}}''）把回文数也叫做'''沙拉扎数'''（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《[[一千零一夜]]》中那位讲故事的王妃、即宰相女儿之名。

任何[[進位制]]都有[[无限集合|无限]]个回文数；101、1001、10001、…（一个1后接''n''个0再后接一个1）等各项在任何進制都是回文数，可组成有无限项的[[序列]]，这進制的回文数有无限（其中包括但不限于该序列中的无限项）。

==正式定义==
虽然通常考虑[[十进制]]回文数，但'''回文性'''质可延伸到任何[[记数系统]]的[[自然数]]。以''b''（''b''≥2）为[[基 (数学)|底]]的数''n''（''n''＞0）可按标准方式表示为''k''＋1个[[数字|数]]<math>a_i</math>，即
:<math>n=\sum_{i=0}^ka_ib^i</math>
其中，如惯例，对所有''i'' 都要求<math>0 \leq a_i \leq b</math>，且<math>a_k \ne 0</math>。则''n''称为回文数，当且仅当对所有''i'' 都有<math>a_i = a_{k-i}</math>。[[零]]在任何基均写作0并由定义认为它也是回文数。

另一种等价定义如下：在任何基''b''，当且仅当：
* ''n''是一位数，或
* ''n''为两位相同数字，或
* ''n''由三位或更多数字组成，其首位和末位数字相同，且从''n''中去掉该首位和末尾数字后的数也是回文
的数''n''称为回文。

==十进制==
[[十进制|10]][[数字系统|基数]]中所有单位[[数字|数]]｛[[0]]、[[1]]、[[2]]、[[3]]、[[4]]、[[5]]、[[6]]、[[7]]、[[8]]、[[9]]｝都是回文数。

两位回文数有9个：
:｛11、22、33、44、55、66、77、88、99｝
三位回文数有90个：
:｛101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999｝
四位回文数也有90个：
:｛1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999｝
小于10<sup>4</sup>的回文数共199个，小于10<sup>5</sup>的回文数有1099个，对其它的10的整数幂10<sup>n</sup>来说，分别有：1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…{{OEIS|id=A070199}}个回文数。下表列出了一些常见类型的回文数在这些10的幂为界限下的个数（其中包括将0也作为回文数）：

{| class="wikitable"
|-----
| bgcolor="#CCCC00" | || bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>1</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>2</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>3</sup> || bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>4</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>5</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>6</sup> || bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>7</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>8</sup>
| bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>9</sup> || bgcolor="#CCCC00" | 10<sup>10</sup>
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[自然数]] || 10
| 19 || 109 || 199 || 1099 || 1999 || 10999 || 19999
| 109999 || 199999
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[偶数]] || 5
| 9 || 49 || 89 || 489 || 889 || 4889 || 8889
| 48889 || 88889
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[奇数]] || 5
| 10 || 60 || 110 || 610 || 1110 || 6110 || 11110
| 61110 || 111110
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[完全平方|完全平方数]]
| colspan="2" | 3 || colspan="2" | 6 || 13
| 14 || colspan="2" | 19 || ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[素数]] || 4
| 5
| colspan="2" | 20 || colspan="2" | 113
| colspan="2" | 781 || colspan="2" | 5953
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[无平方数因数的数|因数中不含平方数的数]]
| 6 || 12 || 67 || 120 || 675 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为可被某平方数整除的数（即[[默比乌斯函数|μ(''n'')]]＝0）
| 3 || 6 || 41 || 78 || 423 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为素数的平方数 || colspan="2" | 2
| colspan="2" | 3 || colspan="6" | 5
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''有偶数个相异的[[质因子|素因子]]（即μ(''n'')＝1）
| 2 || 6 || 35 || 56 || 324 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''有奇数个相异的素因子（即μ(''n'')＝－1）
| 5 || 7 || 33 || 65 || 352 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为偶数并有奇数个素因子
| || || || ||
| || || || ||
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为偶数并有奇数个相异的素因子
| 1 || 2 || 9 || 21 || 100 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为奇数并有奇数个素因子
| 0 || 1 || 12 || 37 || 204 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为奇数并有奇数个相异的素因子
| 0 || 0 || 4 || 24 || 139 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为偶数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子
| 1 || 2 || 11 || 15 || 98 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''本身为奇数且因子中无平方数、有偶数个相异素因子
| 1 || 4 || 24 || 41 || 226 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为奇数并有正好两个素因子
| 1 || 4 || 25 || 39 || 205 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为偶数并有正好两个素因子
| 2 || 3 || colspan="2" | 11 || 64 || ＋
| ＋ || ＋ || ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为偶数并有正好三个素因子
| 1 || 3 || 14 || 24 || 122 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为偶数并有正好三个相异的素因子
| || || || ||
| || || || ||
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为奇数并有正好三个素因子
| 0 || 1 || 12 || 34 || 173 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为[[卡迈克尔数]]
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|-----
| bgcolor="#FFCC99" | ''n''为满足[[积性函数|σ(''n'')]]是回文数的数
| 6 || 10 || 47 || 114 || 688 || ＋ || ＋ || ＋
| ＋ || ＋
|}

==其它基数==
[[十进制]]以外的[[数字系统|数系]]也有回文数，如[[二进制]]回文数有：
:0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…
以上这些数在十进制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…{{OEIS|id=A006995}}。[[梅森素数]]是二进制回文素数的子集。

某基数的回文数在另一基数通常不是回文数，像16461<sub><small>10</small></sub>＝404D<sub><small>16</small></sub>（下标数字表示[[基 (数学)|基数]]，''n''<sub><small>16</small></sub>表示以[[十六进制]]写出的''n''）。然而，有些数字在几套進制都是回文数（称为“协回文”，copalindromic），如105<sub><small>10</small></sub>在五套不同進制都是回文数：1221<sub><small>4</small></sub>＝151<sub><small>8</small></sub>＝77<sub><small>14</small></sub>＝55<sub><small>20</small></sub>＝33<sub><small>34</small></sub>；十进制数1991在十六进制为7C7，也是回文。

7的一些幂在18進制是回文：

* 7<sup>3</sup>＝    111
* 7<sup>4</sup>＝    777
* 7<sup>6</sup>＝  12321
* 7<sup>9</sup>＝1367631

任何数''n''在所有''b''≥''n''＋1的基数''b''都是回文（这时''n''是单位数）；在基为''n''－1时同样也是回文数（这时''n''就成了11<sub><small>''n''－1</small></sub>）。如果對於2≤''b''≤''n''－2，某数在基''b''都是非回文数，则称其是'''严格非回文数'''（Strictly non-palindromic number）。如6在[[二進制]]是110，[[三進制]]是20，[[四進制]]是12，都不是回文數，是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是[[質數]]，首幾項：1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… {{OEIS|id=A016038}}。

==参见==
* [[利克瑞尔数]]（{{lang|en|Lychrel number}}）
* [[回文]]
* [[回文素数]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

==外部链接==
*[http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html Jason Doucette－196回文数探索 / 最终产生回文数中迭代次数最多的]{{Wayback|url=http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html |date=20200630210324 }}
*[http://www.p196.org 196及其它利克瑞尔数]{{Wayback|url=http://www.p196.org/ |date=20061104023524 }}
*[http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html 10萬以下的回文数]{{Wayback|url=http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html |date=20070202042333 }}来自Ask Dr. Math

[[Category:数字相关的数列]]

[[pl:Palindrom#Palindromy liczbowe]]