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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh:鷂形;zh-cn:筝形;zh-hk:鳶形;zh-tw:鳶形;
}}
{{Infobox polygon
| name        = 四邊形
| image       = Six Quadrilaterals.svg
| caption     = 十種四邊形，分別為[[正方形]]、[[菱形]]、矩形、梯形、平行四邊形和凹四邊形
| edges       = 1
| schläfli    = <math>\left\{4\right\}</math> （[[正方形]]時)
| area        = 不同的四邊形有不同的[[算法]]<br/>[[#面積公式|見下文]]
| angle       = 90 （[[正方形]]和[[長方形]]時)}}
在[[幾何學]]中，'''四邊形'''是指有四條[[邊 (幾何)|邊]]和四個[[頂點 (幾何)|頂點]]的[[多邊形]]，其內角和為360[[度 (角)|度]]。四邊形有很多種，其中對稱性最高的是[[正方形]]，其次是[[長方形]]或[[菱形]]，較低[[對稱性]]的四邊形如[[等腰梯形]]和[[鷂形]]，對稱軸只有一條。其他的四邊形依照其類角的性質可以分成凸四邊形和非凸四邊形，其中凸四邊形代表所有內角角度皆小於[[平角|180度]]。非凸四邊形可以再進一步分成凹四邊形和複雜四邊形，其中複雜四邊形表示邊自我[[相交]]的四邊形。

== 簡單四邊形 ==
四邊形可以分成簡單四邊形和複雜四邊形兩大類，簡單四邊形表示邊沒有交錯的四邊形，複雜四邊形表示邊有交錯的四邊形。
=== 凸四邊形 ===
凸四邊形是指所有角都比[[平角]]小的四邊形，且兩條[[對角線]]都落在其內部。
* '''不規則凸四邊形'''：是凸四邊形中最大的[[子集]]，包含了所有的凸四邊形，一般會用任意凸四邊形稱呼之。
* '''不平行四邊形'''：沒有任何邊互相[[平行]]的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼，[[英國英語|英式英文]]將之稱為「{{lang|en|irregular quadrilateral}}」，而[[北美英語|北美英文]]則稱為「trapezium」。
* '''[[梯形]]'''：只有一雙對邊平行的四邊形。這個四邊形的名稱在英式英文與美式英文中有不同的稱呼，[[英國英語|英式英文]]將之稱為{{lang|en|Trapezium}}，而[[北美英語|北美英文]]則稱為trapezoid。
* '''[[等腰梯形]]'''：一雙對邊平行、另外兩邊等長但不[[平行]]，也称为'''圓內接梯形'''，是有一對平行邊的圓內接四邊形，一種擁有更高的對稱性的梯形。
* '''[[三等邊梯形]]'''：一雙對邊平行、另外兩邊和一底邊等長的梯形。
* '''[[平行四邊形]]'''：具有兩對[[平行]]邊的四邊形或兩對邊平行的四邊形。其等效條件是有兩對邊等長、兩對角等角，或者是對角線彼此平分。[[正方形]]、長方形、斜方形和菱形都是平行四邊形。
* '''[[菱形]]'''：主流文獻上有兩種定義。較粗疏的定義是四邊相等，在這定義下，正方形是菱形的一種。另外一種定義較嚴謹，菱形是四邊相等，但角不是直角<ref name="#1">{{Cite web|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html|title=Euclid's Elements, Book I|accessdate=2017-10-21|work=mathcs.clarku.edu|archive-date=2017-09-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20170918002359/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html|dead-url=no}}</ref>。在這定義下的正方形就不是菱形的一種。
* '''[[斜方形]]'''：對角相等且對邊相等，但邊不全相等且角不是直角的四邊形<ref name="#1"/>。換句話說，就是[[平行四邊形]]中不是菱形的形狀<ref>{{cite web | url = http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf | title = Archived copy | accessdate = 2013-06-20 | deadurl = yes | archiveurl = https://web.archive.org/web/20140514200449/http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf | archivedate = 2014-05-14 }}</ref>。其英語名稱為Rhomboid<ref name="Math_World">{{cite mathworld| urlname = Rhomboid | title = Rhomboid}}</ref>，容易與[[菱形]]（{{lang-en|Rhombus}}）<ref>{{cite mathworld| urlname = Rhombus | title = Rhombus}}</ref>混淆。
* '''[[矩形]]'''：四個角都是[[直角]]的四邊形。其等效條件是對角線互相平分且等長。正方形和長方形是矩形的一種。
* '''[[長方形]]'''：角是直角，但四邊不全相等的四邊形<ref name="#1"/>。
* '''[[正方形]]'''：四邊相等且四個角是直角的四邊形<ref name="#1"/>。由於其四個角都等角，又凸四邊形內角和為360度，因此其四個角都是直角。其等效條件是對邊平行且等長，對角線互相垂直平分且等長。
* '''[[鷂形]]'''，相鄰邊等長的四邊形。其中一條對角線可以將之分割成兩個全等的[[三角形]]，因此在這對角線兩側的對角會相等，這也意味著其對角線垂直。鷂-{}-形又稱鳶-{}-形或箏-{}-形。
[[File:Quadrilaterals.svg]]
* '''[[圓內接四邊形]]'''：含有外接圓的四邊形，換句話說，這個四邊形的四個頂點落在一個圓上。
* [[圓外切四邊形]]：含有內切圓的四邊形，換句話說，這個四邊形的四條邊與一個圓相切。
* [[圆外切梯形]]：有一對平行邊的圓外切四邊形。
* [[雙心四邊形]]：内切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直，含有外接圓和內切圓。這個四邊形的頂點落在一個圓上且對角和為180度。
* [[直角筝形]]：有一對直角的[[鷂形]]。正鷂形是一種雙心四邊形。
* [[正交四边形]]：兩對角線垂直的四邊形。
* [[等對角線四邊形]]：對角線等長的四邊形<ref>{{citation
 | last = Colebrooke | first = Henry-Thomas | authorlink = Henry Thomas Colebrooke
 | page = 58
 | publisher = John Murray
 | title = Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara
 | url = http://books.google.com/books?id{{=}}ebZIAAAAcAAJ&pg{{=}}PA58
 | year = 1817}}</ref>。
* [[平分对角线四边形]]：至少有一条對角線平分另一条對角線的四边形。
* [[旁心四邊形]]：四條邊向外延伸後能與一個圓心在四邊形外的圓相切的四邊形<ref name=Radic>Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", ''Mathematical Communications'', 12 (2007) pp. 33–52.</ref><ref>{{Cite web|author=Bogomolny, Alexander|title="Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals", ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles''|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pitot.shtml|accessdate=2011-08-18|archive-date=2011-09-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20110906030203/http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pitot.shtml|dead-url=no}}</ref>。
* [[Equilic四邊形]]：表示有一對邊長度相等，且兩者成60度角的四邊形。
* '''瓦特四邊形'''：一個對邊等長的四邊形<ref>G. Keady, P. Scales and S. Z. Németh, "Watt Linkages and Quadrilaterals", ''The Mathematical Gazette'' Vol. 88, No. 513 (Nov., 2004), pp. 475–492.</ref>。
* '''二次四邊形'''：是指四個頂點都落在正方形周界上的四邊形<ref>A. K. Jobbings, "Quadric Quadrilaterals", ''The Mathematical Gazette'' Vol. 81, No. 491 (Jul., 1997), pp. 220–224.</ref>。
* 直徑四邊形 ：是指有一條邊是[[外接圓]]圓心的[[圆内接四边形]]<ref>R. A. Beauregard, "Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides", ''College Mathematics Journal'' Vol. 40, No. 1 (Jan 2009), pp. 17-21.</ref>。

=== 非凸四邊形 ===
簡單四邊形中的非凸四邊形是指不是凸四邊形的其他四邊形。
* '''凹四邊形'''：是指有至少一個角大於[[平角|180度]]的四邊形。
* '''鏢形'''（或'''箭頭形'''、'''凹鷂形'''）：相鄰邊等長的凹四邊形。

== 複雜四邊形 ==
[[File:DU21 facets.png|thumb|upright=0.8|[[反平行四邊形]]是複雜四邊形的一個例子]]
邊自我相交的四邊形稱為複雜四邊形、折四邊形、交叉四邊形、蝴蝶四邊形或領結四邊形。交叉四邊形在兩個相交邊的四個[[內角]]（兩個銳角和兩個優角）內角和可達720度<ref>{{Cite Web|url=http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|title=Stars: A Second Look|accessdate=2016-08-25|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf|dead-url=yes}}</ref>。
* 星形四邊形（或四角星）：指邊自[[相交]]的一種四邊形，但只能是[[退化 (數學)|退化]]的多邊形，即兩個二角形的複合圖形。
* 折四邊形：兩對邊相交的四邊形。
* [[反平行四邊形]]：兩對邊等長的折四邊形。
* 交叉矩形：有一對邊平行且其對角線和平行的對邊可以形成一個矩形的[[反平行四邊形]]。
* 交叉正方形：有一對邊平行且交叉的對邊互相垂直<ref>{{Cite Web|url=http://www.technologyuk.net/mathematics/geometry/quadrilaterals.shtml|title=Quadrilaterals|publisher=technologyuk|accessdate=2016-08-25|archive-date=2017-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170706182742/https://www.technologyuk.net/mathematics/geometry/quadrilaterals.shtml|dead-url=no}}</ref>。

== 分類 ==
{| class=wikitable
! 分類依據
! 根據對稱的特性
! 根據四邊長度：
! 根據角度大小：
! 根據邊的情形：
! 根據頂點的情形：
|-
! 種類
|
* 一條對角線為[[對稱軸]]：
**'''鷂形'''
* 對角線均為對稱軸：
**'''菱形'''
* 一條對稱軸：
**'''等腰梯形'''、'''鹞形'''
* 兩條對稱軸：
**'''矩形'''、'''菱形'''
* 四條對稱軸：
** '''正方形'''
* 旋轉對稱重合兩次：
**'''平行四邊形'''
* 旋轉對稱重合四次：
**'''正方形'''
|
* 兩對對邊長度相等：
**'''平行四邊形'''
* 兩對鄰邊長度相等：
**'''鷂形'''
* 四邊長度相等：
**'''菱形'''、'''正方形'''
|
* 兩對對角相等：
**'''平行四邊形'''
* 兩對相鄰角相等：
**'''等腰梯形'''
* 四角相等：
**'''矩形'''
* 對角和等於<math>180^\circ</math>：
**'''圓內接四邊形'''
|
* 一對對邊平行：
**'''梯形'''
* 兩對對邊平行：
**'''平行四邊形'''
* 四邊可接圓形：
**'''圓外切四邊形'''
* 两对边长度和相等：
**'''圆外切四邊形'''
|
* 頂點都在一個圓上：
**'''圓內接四邊形'''
|}

== 面積 ==
任意凸<ref name="mathworld Quadrilateral"/>四邊形[[面積]]可以利用下列算式算出：<ref name="mathworld Quadrilateral">{{cite mathworld|urlname=Quadrilateral|title=Quadrilateral}}</ref>
:<math>K = \tfrac{1}{2} pq \cdot \sin \theta,</math>

其中<math>p</math>、<math>q</math>表示兩對角線的長度，<math>\theta</math>是對角線的夾角<ref>Harries, J. "Area of a quadrilateral," ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310–311.</ref> 在[[正交四边形]]（如菱形、正方形或鷂形等），這個式子可以化簡成：
:<math>K=\tfrac{1}{2}pq</math>

其中由於''<math>\theta</math>''是90°，因此修正項<math>\sin \theta</math>可以消掉。

若凸四邊形的四邊長度分別是<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，對角線長度為<math>e</math>、<math>f</math>，對角線相交的角度為''<math>\theta</math>''，其面積為：

:<math>\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}</math>
:<math>\frac{1}{2} e f \sin \theta</math>
:<math>\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta</math>

若對角線相交的角度為<math>\theta</math>，四邊形的對邊的關係：
<math>\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2</math>

底下是一些針對特殊四邊形的面積公式：
* [[圆内接四边形]]：[[婆羅摩笈多公式]]
* [[梯形]]：兩底邊之和×高÷2
* [[鷂形]]（箏-{}-形）：兩對角線之積÷2
* [[平行四邊形]]：底邊×高
* [[菱形]]：兩對角線之積÷2
* [[矩形]]：兩相鄰邊之積
* [[雙心四邊形]]：<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>為四邊邊長，其面積<math>A=\sqrt{abcd}</math>
* [[正方形]]：邊長平方
* [[反平行四邊形]]:計算其中一半[[三角形]]再×2，其面積為(長×闊÷2)×2/(長×闊)，因×2÷2可相互抵銷。

== 扭歪四邊形 ==
[[File:Face of petrial tetrahedron.gif|thumb|一種扭歪四邊形。]]
扭歪四邊形，又稱'''不共面四邊形'''，是指頂點並非完全共面的四邊形。因為扭歪四邊形不存在唯一確定的內部區域，故無法計算其面積。

== 參考文獻 ==
{{refbegin|2}}
{{reflist}}
{{refend}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20041209174444/http://mathsworld.ath.cx/theory/area.htm 任意四邊形面積求法]

{{几何术语}}
{{多邊形}}

[[Category:多邊形|4]]
[[Category:四邊形|*]]
[[Category:四]]