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{{Translating|||time=2021-09-29T15:09:12+00:00}}

在微分几何中，四维梯度（或4-梯度，4-gradient） <math>{\displaystyle \mathbf {\partial } }</math>是向量微积分中的梯度<math>{\displaystyle {\vec {\mathbf {\nabla } }}}</math> 在四维矢量中的推广。

在狭义相对论和量子力学中，4-梯度用于定义各种4-向量和张量形式的物理量之间的性质和关系。

== 记号说明 ==
使用四维梯度时应注明[[度量张量|度规]]。下文使用的度规号差是 (+,-,-,-)。
缩写 SR 和 GR 分别代表[[狭义相对论]]和[[广义相对论]]。
''c''表示真空中的[[光速]]。
<math>{\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}</math>
是 SR 的平坦时空度规。
物理学中表记含有4-矢量的表达式，通常有下列两种写法：
* 4-矢量样式：<math>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }</math>。通常更紧凑，可以使用一般的向量记号（例如内积“点”），始终使用粗体大写字母表示4-矢量量，用粗体小写字母表示三维空间矢量，如<math>{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}</math> 。多数三维空间矢量的规则在四矢量数学中都有其对应。
* 里奇代数的样式：<math>{\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}</math>。它使用张量的抽象指标记号，便于书写更复杂的表达式，尤其是对于涉及多个指标维度的张量表达式，如<math>{\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}</math> .
这里，用带拉丁字母张量指标的字母表示三维空间向量，指标取值范围是{1, 2, 3}, 如
<math>{\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}</math> .
用带希腊字母的张量指标的字母表示4-矢量，指标取值范围在{0, 1, 2, 3}, 如
<math>{\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }</math> .

在 SR 中，为了简洁，通常会混用以上两种样式，如写作<math>{\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}</math> ， 用
<math>{\displaystyle a^{0}}</math>表示时间分量，却用<math>{\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}</math>表示空间的三维分量。

SR 中的张量通常是4维 (m,n)-张量，具有 m 个上指标和 n 个下指标，每个指标的取值范围有四个值。

Minkowski度规中使用的张量缩并可以写在任意一边（参见爱因斯坦求和约定）： :<ref>{{cite book
 |title=Introduction to Special Relativity
 |edition=2nd
 |first1=Wolfgang
 |last1=Rindler
 |publisher=Oxford Science Publications
 |year=1991
 |isbn=0-19-853952-5
 |pages=56,151–152,158–161
 |url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |access-date=2021-09-29
 |archive-date=2021-09-29
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210929151011/https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |dead-url=no
 }}</ref>
<math>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}</math>

== 定义 ==

4-梯度的协变分量用4-矢量和里奇代数表示法中的简略写法有：  <ref name="#1">The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-57507-2}}</ref><ref>{{cite book
 |title=Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces
 |edition=Updated
 |first1=Gordon
 |last1=Kane
 |publisher=Addison-Wesley Publishing Co.
 |year=1994
 |isbn=0-201-62460-5
 |page=16
}}</ref>

<math>{\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }} </math>

上式最后一部分中，逗号<math>{\displaystyle {}_{,\mu }}</math>指的是关于 4-位置<math>{\displaystyle X^{\mu }}</math>的偏微分 .

它的逆变分量是：  <ref name="#1"/><ref>
{{cite book
 |title=Modern Elementary Particle Physics: The Fundamental Particles and Forces
 |edition=Updated
 |first1=Gordon
 |last1=Kane
 |publisher=Addison-Wesley Publishing Co.
 |year=1994
 |isbn=0-201-62460-5
 |page=16
}}</ref>

<math>{\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}</math>

<math>{\displaystyle \partial _{\alpha }}</math>也写作<math>{\displaystyle \Box }</math>或者D （不过<math>{\displaystyle \Box }</math>也有可能表示达朗贝尔算子<math>{\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}</math>）。

在 GR 中，必须使用更通用的度规张量<math>{\displaystyle g^{\alpha \beta }}</math> ，以及张量协变导数<math>{\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}</math> （不要与矢量的3-梯度 <math>{\displaystyle {\vec {\nabla }}}</math> 混淆）。这里，协变导数<math>{\displaystyle \nabla _{\nu }}</math>是4-梯度<math>{\displaystyle \partial _{\nu }}</math>加上时空曲率效应（用Christoffel 符号<math>{\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}</math>表出）。

强等效原理可以表述为： <ref>{{cite book
 |title=A first course in general relativity
 |edition=1st
 |first1=Bernard F.
 |last1=Shultz
 |publisher=Cambridge University Press
 |year=1985
 |isbn=0-521-27703-5
 |pages=184
}}</ref>

“SR 中任意可用张量记号表示的物理定律，在弯曲时空的局部惯性系中，都具有完全相同的形式。” 其中需要把 SR 中的 4-梯度逗号 (,) 替换成 GR 中的协变导数分号 (;)，这两格微分算符之间可以通过Christoffel 符号相互变换。在相对论物理学中称之为“逗号换成分号规则”。

所以，例如，如果在 SR 中有<math>{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}</math>，那么在 GR 中有<math>{\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}</math>。

对于 (1,0)-张量或 4-矢量，此规则化简为： <ref>{{cite book
 |title=A first course in general relativity
 |edition=1st
 |first1=Bernard F.
 |last1=Shultz
 |publisher=Cambridge University Press
 |year=1985
 |isbn=0-521-27703-5
 |pages=136–139
}}</ref>

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}</math>

对于 (2,0)-张量，该规则化简为：

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}</math>

== 用途 ==
4-梯度在狭义相对论（SR）中有多处应用：

下面的公式都是针对SR的平直时空[[閔考斯基時空|闵氏时空坐标]]所写，对于广义相对论GR中推广了的弯曲时空坐标，需要加以调整修改。

=== 用作 4-散度以及守恒律中的源 ===
[[散度]]这个[[向量算子|矢量算符]]作用在[[矢量场]]上时就给出一个区分正负号的标量场，大小是矢量场在空间个点上的流的源或者汇。

[[四維矢量|4-位置]] <math>X^\mu = \left(ct, \vec{\mathbf{x}}\right)</math> 的4-散度给出了[[时空]]的[[维度]]：
<math>\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{X} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} X^\nu = \partial_\nu X^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot (ct,\vec{x}) = \frac{\partial_t}{c}(ct) + \vec{\nabla}\cdot \vec{x} = (\partial_t t) + (\partial_x x + \partial_y y + \partial_z z) = (1) + (3) = 4</math>

[[四維電流密度|4-电流密度]] <math>J^\mu = \left(\rho c, \vec{\mathbf{j}}\right) = \rho_o U^\mu = \rho_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(\rho c, \rho \vec{\mathbf{u}}\right)</math> 的4-散度给出一个[[守恒律]]，即[[电荷守恒定律|电荷守恒律]]： <ref>{{cite book
 |title=Introduction to Special Relativity
 |edition=2nd
 |first1=Wolfgang
 |last1=Rindler
 |publisher=Oxford Science Publications
 |year=1991
 |isbn=0-19-853952-5
 |pages=103–107
 |url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |access-date=2021-09-29
 |archive-date=2021-09-29
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210929151011/https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |dead-url=no
 }}</ref>

:<math>\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{J} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} J^\nu = \partial_\nu J^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c},-\vec{\nabla}\right)\cdot (\rho c,\vec{j}) = \frac{\partial_t}{c}(\rho c) + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = \partial_t \rho + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = 0</math>

这就是说，电荷密度的时间变化率必定等于负的电流密度的空间散度： <math>\partial_t \rho = -\vec{\nabla}\cdot \vec{j}</math>.

换言之，任取一个方盒区域，其中的电荷量的变化必须通过进出盒子的电流，而不能凭空变化。上述方程属于是[[连续性方程]]。

[[4-粒子数通量]]（4-number flux，4-dust） <math>N^\mu = \left(nc, \vec{\mathbf{n}}\right) = n_o U^\mu = n_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right)</math> 的4-散度可用于粒子数守恒： <ref>{{cite book
 |title=A first course in general relativity
 |edition=1st
 |first1=Bernard F.
 |last1=Shultz
 |publisher=Cambridge University Press
 |year=1985
 |isbn=0-521-27703-5
 |pages=90–110
 }}</ref>
:<math>\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} N^\nu = \partial_\nu N^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(nc\right) + \vec{\nabla} \cdot n\vec{\mathbf{u}} = \partial_t n + \vec{\nabla}\cdot n\vec{\mathbf{u}} = 0</math>

这是粒子数密度的[[守恒律]]，典型的比如[[重子数]]密度。

[[电磁四维势|电磁4-势]] <math>A^\mu = \left(\frac{\phi}{c},\vec{\mathbf{a}}\right)</math> 的4-散度则用于[[洛伦兹规范]]条件： <ref>{{cite book
 |title=Introduction to Special Relativity
 |edition=2nd
 |first1=Wolfgang
 |last1=Rindler
 |publisher=Oxford Science Publications
 |year=1991
 |isbn=0-19-853952-5
 |pages=105–107
 |url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |access-date=2021-09-29
 |archive-date=2021-09-29
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210929151011/https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ
 |dead-url=no
 }}</ref>
:<math>\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{A} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu = \partial_\nu A^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right)\cdot \left(\frac{\phi}{c}, \vec{a}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(\frac{\phi}{c}\right) + \vec{\nabla} \cdot \vec{a} = \frac{\partial_t \phi}{c^2} + \vec{\nabla}\cdot \vec{a} = 0</math>

这等价于电磁4-势对应的[[守恒律]]。

弱场极限（即，远离场源的自由传播条件）下的引力辐射可以表示为一个横向无迹的4D (2,0)-张量 <math>h^{\mu\nu}_{TT}</math> ，它的4-散度

: <math>\mathbf{\partial} \cdot h^{\mu\nu}_{TT} = \partial_\mu h^{\mu\nu}_{TT} = 0</math> ：横向条件

等价于自由传播的引力波的守恒方程。

[[应力-能量张量]] <math>T^{\mu \nu}</math> 的4-散度是与时空有关的守恒的诺特流，在SR中，它给出四条守恒律：
<ref>{{cite book
 |title=A first course in general relativity
 |edition=1st
 |first1=Bernard F.
 |last1=Shultz
 |publisher=Cambridge University Press
 |year=1985
 |isbn=0-521-27703-5
 |pages=101–106
}}</ref>

[[能量守恒]]（时间方向）和[[动量守恒定律|线性动量的守恒]]（三个独立的空间方向）：

<math>\mathbf{\partial} \cdot T^{\mu \nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0^\mu = (0,0,0,0)</math>

这通常写作：

<math>\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0</math>

当然，这里的0是指一个4-矢量 <math>0^\mu = (0,0,0,0)</math> 。

把[[理想流体]]的应力-能量张量守恒（<math>\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = 0^\mu </math>）与粒子数守恒（<math>\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = 0</math>）结合起来，可以推出{{link-en|相对论性欧拉方程|Relativistic_Euler_equations}}，用来研究[[流体力学]]和[[天体物理学]]中的[[狭义相对论]]效应。
在流体的三维空间速度远小于光速、压强远小于[[能量密度]]、能量密度主要由静止质量密度贡献的[[经典极限]]下，上述方程退化为[[欧拉方程_(流体动力学)|经典欧拉方程]]。

在平直时空下，用笛卡尔坐标，结合压强-能量张量的对称性，即可证明[[相對論角動量|相对论性角动量]]也是守恒的：
:<math>\partial_\nu\left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right) = \left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right)_{,\nu} = 0^{\alpha \mu}</math>

这里的零是(2,0)-张量的零。

== 参见 ==
* [[四維矢量]]
* [[四维速度]]

== 参考 ==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
* S. Hildebrandt, "Analysis II" (Calculus II), {{ISBN|3-540-43970-6}}, 2003
* L.C. Evans, "Partial differential equations", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988 
* J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Chapter 11, Wiley {{ISBN|0-471-30932-X}}