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[[File:Hypercube.svg|缩略图|[[超立方体]]是6个四维凸正多胞体之一]]
在[[数学]]中，'''四维凸正多胞体'''（{{Lang-en|convex regular polychoron}}）是指一类既是[[凹凸性 (幾何)|凸]]的又是[[正圖形|正]]的的[[四维多胞体]]（4-[[多胞形]]）。它们是[[柏拉圖立體|正多面体]]（[[三維]]）和[[正多边形]]（[[二维]]）的[[四维]]类比。它们最先在19世纪被数学家[[路德维希·施莱夫利]]所发现，其中五个与五个柏拉图立体一一对应，另外一个（[[正二十四胞体]]）没有好的三维类比。

每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体[[胞 (幾何)|胞]]面面相接构成，并且每个[[頂點 (幾何)|顶点]]周围必须有相同数量的胞。

== 特性 ==
下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性，表格的最后一列给出了它们所属的[[考克斯特群]]，形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群；及这个群的[[階 (群論)|阶]]。
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;"
!  名称 || 家族 || [[施莱夫利符号|施莱夫利<br />符号]] || [[頂點 (幾何)|顶点]] || [[邊 (幾何)|边]] || [[面 (幾何)|面]] || [[胞 (幾何)|胞]] || [[顶点图]] || [[对偶 (数学)|对偶]]
!colspan=2 | [[考斯特群|对称群]]
|-
| [[正五胞体]]<br />超棱锥<br />超正四面体<br />四维单纯形 || [[单纯形]]<br />（n-单纯形） || {3,3,3} || 5 || 10 || 10<br />[[正三角形]] || 5<br />[[正四面体]] || [[正四面体]] || （自身对偶） || ''A''<sub>4</sub> || 120
|-
| [[正八胞体]]<br />超正方体<br />超立方体<br />四维立方体 || [[立方形]]<br />（n-立方形） || {4,3,3} || 16 || 32 || 24<br />[[正四边形]] || 8<br />[[正六面体]] || [[正四面体]] || 正十六胞体 || ''B''<sub>4</sub> || 384
|-
| [[正十六胞体]]<br />超正八面体<br />四维正轴形 || [[正轴形]]<br />（n-正轴形） || {3,3,4} || 8 || 24 || 32<br />[[正三角形]] || 16<br />[[正四面体]] || [[正八面体]] || 正八胞体 || ''B''<sub>4</sub> || 384
|-
| [[正二十四胞体]]<br />截半正十六胞体<br />重正八面体 || （沒有好的其他維度類比） || {3,4,3} || 24 || 96 || 96<br />[[正三角形]] || 24<br />[[正八面体]] || [[正六面体]] || （自身对偶） || ''F''<sub>4</sub> || 1152
|-
| [[正一百二十胞体]]<br />超正十二面体<br />重正十二面体<br /> || 正十二面体形<br />[[类五边形形]]<br />（n-类五边形形） || {5,3,3} || 600 || 1200 || 720<br />[[正五边形]] || 120<br />[[正十二面体]] || [[正四面体]] || 正六百胞体 || ''H''<sub>4</sub> || 14400
|-
| [[正六百胞体]]<br />重正四面体<br />超正二十面体<br /> || 正二十面体形<br />[[类二十面体形]]<br />（n-类二十面体形） || {3,3,5} || 120 || 720 || 1200<br />[[正三角形]] || 600<br />[[正四面体]] || [[正二十面体]] || 正一百二十胞体 || ''H''<sub>4</sub> || 14400
|}
这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面（'''S<sup>3</sup>'''）[[同胚]]的单连通多胞体，所以它们的[[欧拉示性数]]都为0，因此我们有以下[[欧拉公式]]的四维类比：
:<math>V - E + F - C = 0</math>

其中<math>V</math>代表零维顶点数，<math>E</math>代表一维棱数，<math>F</math>代表二维面数，<math>C</math>代表三维胞数。

== 可视化 ==
以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影（更多图像可以在各自的页面里找到）。表头给出了多胞体的[[施莱夫利符号]]和{{link-en|考克斯特-迪肯符號|Coxeter-Dynkin digram|考克斯特符號}}。
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;" width=630
|-
! [[正五胞体]] || [[正八胞体]] || [[正十六胞体]] || [[正二十四胞体]] || [[正一百二十胞体]] || [[正六百胞体]]
|-
! {3,3,3} || {4,3,3} || {3,3,4} || {3,4,3} || {5,3,3} || {3,3,5}
|-
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}
!{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}}
|-
|colspan=6|[[皮特里多边形]]正对的[[正交投影|正交线架投影]].
|- valign=top
| [[Image:4-simplex_t0.svg|105px]]
| [[Image:4-cube_t0.svg|105px]]
| [[Image:4-cube_t3.svg|105px]]
| [[Image:24-cell_t0_F4.svg|105px]]
| [[Image:120-cell_graph_H4.svg|105px]]
| [[Image:600-cell_graph_H4.svg|105px]]
|-
|colspan=6|三维固体填充[[正交投影]]
|- valign=top
| [[Image:Tetrahedron.png|105px]]<br />[[正四面体|正四面体<br />凸包]]<br />（胞在前／顶点在前）
| [[Image:Hexahedron.png|105px]]<br />[[立方体|立方体凸包]]<br />（胞在前）
| [[File:16-cell ortho cell-centered.png|105px]]<br />[[立方体|立方体凸包]]<br />（胞在前）
| [[Image:Ortho solid 24-cell.png|105px]]<br />[[截半立方体|截半立方体<br />凸包]]<br />（胞在前）
| [[Image:Ortho solid 120-cell.png|105px]]<br />[[截角菱形三十面体|截角菱形<br />三十面体<br />凸包]]<br />（胞在前）
| [[Image:Ortho solid 600-cell.png|105px]]<br />[[五角化截半二十面体|五角化截半<br />十二面体<br />凸包]]<br />（顶点在前）
|-
|colspan=6|线架{{tsl|en|Schlegel diagram|施莱格尔投影}}（[[透视投影]]）
|- valign=top
| [[Image:Schlegel wireframe 5-cell.png|105px]]<br />（胞在前）
| [[Image:Schlegel wireframe 8-cell.png|105px]]<br />（胞在前）
| [[Image:Schlegel wireframe 16-cell.png|105px]]<br />（胞在前）
| [[Image:Schlegel wireframe 24-cell.png|105px]]<br />（胞在前）
| [[Image:Schlegel wireframe 120-cell.png|105px]]<br />（胞在前）
| [[Image:Schlegel_wireframe_600-cell_vertex-centered.png|105px]]<br />（顶点在前）
|-
|colspan=6| 线架[[球极投影]]（四维超球球极投影）
|- valign=top
| [[Image:Stereographic polytope 5cell.png|105px]]
| [[Image:Stereographic_polytope_8cell.png|105px]]
| [[Image:Stereographic_polytope_16cell.png|105px]]
| [[Image:Stereographic_polytope_24cell.png|105px]]
| [[Image:Stereographic_polytope_120cell.png|105px]]
| [[Image:Stereographic_polytope_600cell.png|105px]]
|}

== 参考 ==
* [[H. S. M. Coxeter]], ''Introduction to Geometry, 2nd ed.'', John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
* H. S. M. Coxeter, ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
* [[Duncan MacLaren Young Sommerville|D. M. Y. Sommerville]], ''An Introduction to the Geometry of '''n''' Dimensions.'' New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

== 外部链接 ==
*{{Mathworld|urlname=RegularPolychoron|title=四维凸正多胞体}}

{{四维正多胞体}}

{{模板:维度}}

[[Category:多胞体]]