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{{NoteTA|G1=Math}} 在四維[[幾何學]]中，'''四維多胞體'''又稱'''4-多胞形'''是一種位於[[四維空間]]中的[[多胞形]]<ref>{{Cite book | last = Vialar | first = T. | title = Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance | publisher = Springer | year = 2009 | page = 674 | url = https://books.google.com/books?id=uf20taaf-VgC&q=polychoron&pg=PA674 | isbn = 978-3-540-85977-2 | access-date = 2022-12-19 | archive-date = 2023-01-09 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230109165913/https://books.google.com/books?id=uf20taaf-VgC&q=polychoron&pg=PA674 | dead-url = no }}</ref><ref>{{Cite book | last = Capecchi | first = V. | author2 = Contucci, P. | author3 = Buscema, M. | author4 = D'Amore, B. | title = Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts | publisher = Springer | year = 2010 | page = 598 | url = https://books.google.com/books?id=oNy5MxGXLEwC&q=polychoron&pg=PA598 | doi = 10.1007/978-90-481-8581-8 | isbn = 978-90-481-8580-1 | access-date = 2022-12-19 | archive-date = 2023-01-09 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230109165857/https://books.google.com/books?id=oNy5MxGXLEwC&q=polychoron&pg=PA598 | dead-url = no }}</ref>， 其為由多個[[多面體]]作為[[維面]]所構成的封閉幾何結構。 這些多胞體的組成元素可分為[[頂點 (幾何)|頂點]]、[[邊 (幾何)|邊]]、[[面 (幾何)|面]]（多邊形）、胞（[[多面體]]）。 每個面都與兩個胞相鄰。 四維多胞體最早由瑞士數學家[[路德维希·施莱夫利]]在1853之前發現。{{#tag:ref|Coxeter 1973<ref name="Coxeter 1973">{{cite book |first=H.S.M. |last=Coxeter | author-link=哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特 |title={{link-en|正多胞形 (書籍)|Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes}} |url=https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe_q0b5 |publisher=Dover | place=New York |edition=3rd |year=1973 |isbn=0-486-61480-8}}</ref>, p. 141, §7-x. Historical remarks.}} 四維多胞體在[[二維空間]]的類比是[[多邊形]]、在[[三維空間]]的類比是[[多面體]]。 從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維[[堆砌 (幾何)|堆砌體]]密切相關，如[[立方體堆砌]]，其為三維空間的空間填充；類似地，三維立方體也與二維的[[正方形鑲嵌]]有關。 凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的[[展開圖]]。 == 定義 == 四維多胞體是一個封閉的四維[[幾何圖形|幾何結構]]。其由[[頂點 (幾何)|頂點]]（角點）、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比，也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞，類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。<ref>{{cite web | url=https://www.math.harvard.edu/media/AllenLiuTheStarsAboveUsThesis.pdf | title=Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions | author=Allen Liu | website=www.math.harvard.edu | access-date=2022-12-23 | archive-date=2021-12-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20211201222429/https://www.math.harvard.edu/media/AllenLiuTheStarsAboveUsThesis.pdf | dead-url=no }}</ref>另外，也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣，四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件，也就是說，其不能為複合體。 == 幾何 == [[四维凸正多胞体]]是三維[[柏拉圖立體]]在[[四維空間]]的類比。最常見的就是[[四維超正方體|超立方體]]，[[立方體]]的四維類比。<ref>{{Cite web|title= The Tesseract - a 4-dimensional cube|url= https://www.cut-the-knot.org/ctk/Tesseract.shtml|access-date= 2020-11-09|website= www.cut-the-knot.org|archive-date= 2022-12-12|archive-url= https://web.archive.org/web/20221212225318/https://www.cut-the-knot.org/ctk/Tesseract.shtml|dead-url= no}}</ref> 四维凸正多胞体可以在相同半徑的條件下，依其大小（超體積）排序。序列中每一個幾何結構都比前一個更圓、更接近超球體，在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間 {{#tag:ref|Coxeter 1973<ref name="Coxeter 1973"/>, pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]}}。[[正五胞體]]是最小的情況，而[[正一百二十胞體]]是最大的情況。其結構複雜度（透過比較{{link-en|排佈 (多胞形)|Configuration_(polytope)|排佈矩陣}}或簡單的頂點數量來衡量）也依照這個順序排列。 {| class="wikitable" style="white-space:nowrap;" !colspan=8|[[四維凸正多胞體]] |- !align=right|[[空間對稱群|對稱群]] |align=center|[[考克斯特群|A<sub>4</sub>]] |align=center colspan=2|{{link-en|超八面體群|Hyperoctahedral_group|B<sub>4</sub>}} |align=center|{{link-en|F4 (數學)|F4 (mathematics)|F<sub>4</sub>}} |align=center colspan=2|{{link-en|H4多胞形|H4 polytope|H<sub>4</sub>}} |- !valign=top align=right|名稱 |valign=top align=center|[[正五胞體]]<BR> 超[[正四面體|四面體]] |valign=top align=center|[[正十六胞體]]<BR> 超[[正八面體|八面體]] |valign=top align=center|[[四維超正方體]]<BR> 超[[立方體]] |valign=top align=center|[[正二十四胞體]]<BR> |valign=top align=center|[[正六百胞體]]<BR> 超[[正二十面體|二十面體]] |valign=top align=center|[[正一百二十胞體]]<BR> 超[[正十二面體|十二面體]] |- !align=right|[[施萊夫利符號]] |align=center|{3, 3, 3} |align=center|{3, 3, 4} |align=center|{4, 3, 3} |align=center|{3, 4, 3} |align=center|{3, 3, 5} |align=center|{5, 3, 3} |- !align=right|{{link-en|考克斯特圖|Coxeter diagram|考克斯特記號}} |align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}} |align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}} |align=center|{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}} |align=center|{{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}} |align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}} |align=center|{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}} |- !align=right|鏡像二面角 |align=center|{{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |align=center|{{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|4}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |align=center|{{sfrac|𝝅|4}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |align=center|{{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|4}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |align=center|{{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|5}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |align=center|{{sfrac|𝝅|5}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|3}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} {{sfrac|𝝅|2}} |- !valign=top align=right|圖 |align=center|[[Image:4-simplex t0.svg|120px]] |align=center|[[Image:4-cube t3.svg|120px]] |align=center|[[Image:4-cube t0.svg|120px]] |align=center|[[Image:24-cell t0 F4.svg|120px]] |align=center|[[Image:600-cell graph H4.svg|120px]] |align=center|[[Image:120-cell graph H4.svg|120px]] |- !align=right|頂點 |align=center|5個正四面體狀 |align=center|8個正八面體狀 |align=center|16個正四面體狀 |align=center|24個立方體狀 |align=center|120個正二十面體狀 |align=center|600個正四面體狀 |- !valign=top align=right|邊 |align=center|10個正三角形分布 |align=center|24個正方形分布 |align=center|32個正三角形分布 |align=center|96個正三角形分布 |align=center|720個正五邊形分布 |align=center|1200個正三角形分布 |- !valign=top align=right|面 |align=center|10個正三角形 |align=center|32個正三角形 |align=center|24個正方形 |align=center|96個正三角形 |align=center|1200個正三角形 |align=center|720個正五邊形 |- !valign=top align=right|胞 |align=center|5個正四面體 |align=center|16個正四面體 |align=center|8個立方體 |align=center|24個正八面體 |align=center|600個正四面體 |align=center|120個正十二面體 |- !valign=top align=right|[[Clifford torus|Tori]] |align=center|1個[[正五胞體#Boerdijk–Coxeter helix|5-四面體]] |align=center|2個[[正十六胞體#Helical construction|8-四面體]] |align=center|2個4-立方體 |align=center|4個[[正二十四胞體#6-cell rings|6-八面體]] |align=center|20個[[正六百胞體#Union of two tori|30-四面體]] |align=center|12個[[正一百二十胞體#Intertwining rings|10-十二面體]] |- !valign=top align=right|[[大圓|大多邊形]] |align=center| |align=center|2 {{sfrac|𝝅|2}} 3個[[正十六胞體#頂點座標|正方形]] |align=center|4 {{sfrac|𝝅|2}} 3個矩形 |align=center|4 {{sfrac|𝝅|3}} 4個[[正二十四胞體#六邊形|正六邊形]] |align=center|12 {{sfrac|𝝅|5}} 6個[[正六百胞體#Geodesics|十邊形]] |align=center|50 {{sfrac|𝝅|15}} 4個[[正一百二十胞體#Other great circle constructs|十二邊形]] |- !valign=top align=right|[[皮特里多邊形]] |align=center|1個[[正五胞體#Boerdijk–Coxeter helix|物邊形]] |align=center|1個[[八邊形#扭歪八邊形|八邊形]] |align=center|2個[[八邊形#扭歪八邊形|八邊形]] |align=center|2個[[十二邊形#扭歪十二邊形|十二邊形]] |align=center|4個{{link-en|三十邊形#皮特里多邊形|30-gon#Petrie polygons|三十邊形}} |align=center|20個{{link-en|三十邊形#皮特里多邊形|30-gon#Petrie polygons|三十邊形}} |- !valign=top align=right|長半徑 |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |- !valign=top align=right|邊長 |align=center|<small><math>\sqrt{\tfrac{5}{2}} \approx 1.581</math></small> |align=center|<small><math>\sqrt{2} \approx 1.414</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{1}{\phi} \approx 0.618</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{1}{\phi^2\sqrt{2}} \approx 0.270</math></small> |- !valign=top align=right|短半徑 |align=center|<small><math>\tfrac{1}{4}</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{1}{2}</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{1}{2}</math></small> |align=center|<small><math>\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 0.707</math></small> |align=center|<small><math>\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926</math></small> |align=center|<small><math>\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926</math></small> |- !valign=top align=right|面積 |align=center|<small><math>10\left(\tfrac{5\sqrt{3}}{8}\right) \approx 10.825</math></small> |align=center|<small><math>32\left(\sqrt{\tfrac{3}{4}}\right) \approx 27.713</math></small> |align=center|<small><math>24</math></small> |align=center|<small><math>96\left(\sqrt{\tfrac{3}{16}}\right) \approx 41.569</math></small> |align=center|<small><math>1200\left(\tfrac{\sqrt{3}}{4\phi^2}\right) \approx 198.48</math></small> |align=center|<small><math>720\left(\tfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{8\phi^4}\right) \approx 90.366</math></small> |- !valign=top align=right|體積<br/>（超表面積） |align=center|<small><math>5\left(\tfrac{5\sqrt{5}}{24}\right) \approx 2.329</math></small> |align=center|<small><math>16\left(\tfrac{1}{3}\right) \approx 5.333</math></small> |align=center|<small><math>8</math></small> |align=center|<small><math>24\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 11.314</math></small> |align=center|<small><math>600\left(\tfrac{\sqrt{2}}{12\phi^3}\right) \approx 16.693</math></small> |align=center|<small><math>120\left(\tfrac{15 + 7\sqrt{5}}{4\phi^6\sqrt{8}}\right) \approx 18.118</math></small> |- !valign=top align=right|超體積 |align=center|<small><math>\tfrac{\sqrt{5}}{24}\left(\tfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^4 \approx 0.146</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{2}{3} \approx 0.667</math></small> |align=center|<small><math>1</math></small> |align=center|<small><math>2</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 3.863</math></small> |align=center|<small><math>\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 4.193</math></small> |} == 拓樸特徵 == [[Image:Hypercube.svg|150px|thumb|[[四維超正方體]]的{{link-en|施萊蓋爾圖|Schlegel diagram}}]] 四維多胞體的拓樸特徵由[[貝蒂數]]和扭轉係數定義。<ref name="richeson">Richeson, D.; ''Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy'', Princeton, 2008.</ref> 用於描述多面體的[[歐拉特徵數]]並不能有效地推廣到更高的維度，對於所有四維多胞體而言，無論其有合拓樸結構，歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構，因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。<ref name="richeson"/> 同樣地，多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況，因此需要使用扭轉係數來描述。<ref name="richeson"/> == 分類 == === 標準 === 四維多胞體可以依照其特性進行分類，例如[[凹凸性 (幾何)|凹凸性]]和對稱性。 *凸的四維多胞體代表其邊界（包含胞、面和邊）不會自我相交，且任兩點連線皆位於整個幾何結構內部或正好落在其邊界上，若無法滿足上述條件則這個四維多胞體就是非凸的。自我相交的四維多胞體又被稱為四維星形多胞體，其可以視為[[星形多邊形]]和[[星形多面體]]在四維空間的類比。<ref>{{cite journal |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) |journal=Elemente der Mathematik |volume=44 |issue=2 |pages=25–36 |year=1989 |url=https://eudml.org/doc/141447 |access-date=2022-12-23 |archive-date=2022-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220130125607/https://eudml.org/doc/141447 |dead-url=no }}</ref> *正的四維多胞體代表其[[標記 (幾何)|標記]]可以在其對稱性上傳遞，這意味著該四維多胞體所有胞全等、所有面全等、所有邊等長所有[[頂點圖]]全等，其可以視[[正多面體]]的類比。<ref name="Coxeter 1973"/> *半正的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性（[[點可遞]]），且其胞都是正多面體。半正四維多胞體可以有不只一種的胞，但前提是其皆要由同一種面來構成。{{link-en|索羅德·戈塞特|Thorold Gosset}}在1900年只發現了三種半正四維多胞體，分別為[[截半正五胞体]]、{{link-en|截半六百胞體|Rectified 600-cell}}和{{link-en|扭稜二十四胞體|Snub 24-cell}}。<ref>{{Cite journal|author={{link-en|索羅德·戈塞特|Thorold Gosset|Gosset, Thorold}}|title=On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions|journal=Messenger of Mathematics|publisher=Macmillan|year=1900}}</ref> *均勻的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性，且其胞都是[[均勻多面體]]，其面也要是正多邊形。 *三維空間的[[堆砌 (幾何)|堆砌體]]是將三維歐幾里得空間劃分為以多面體為胞的重複性網格。這樣的空間填充是無限的，且並不具有四維超體積，是四維無限胞體的例子。均勻三維堆砌體是指頂點圖全等並與某個[[空间群]]相關聯，且其胞為均勻多面體。 === 類別 === 下面列出了依上述標準分類的四維多胞體： [[File:Schlegel half-solid truncated 120-cell.png|150px|thumb|[[截角正一百二十胞体]]是47個非[[柱狀]]{{link-en|四維均勻多胞體|Uniform 4-polytope}}之一]] ;'''{{link-en|四維均勻多胞體|Uniform 4-polytope}}'''{{normal|（[[點可遞]]）}} *'''四維凸均勻多胞體'''（64個加2個無限集合） **47個非[[柱狀]]{{link-en|四維均勻多胞體|Uniform 4-polytope}}，當中包括： ***6個[[四維凸正多胞體]] **柱狀四維均勻多胞體 *** {} × {p,q}：18個{{link-en|四維均勻多胞體#多面體柱體|Uniform 4-polytope#Polyhedral hyperprisms|多面體柱體}} （包括[[四維超正方體]]） *** 基於[[反稜柱]]的柱體（無限集合） *** {p} × {q}：[[四維柱體柱]]（無限集合） *'''四維非凸均勻多胞體'''（10個已知其餘數量未知） ** 10個（正）{{link-en|施萊夫利-赫斯多胞體|Schläfli-Hess polytope}} ** 57 個基於[[星形均勻多面體]]的四維柱。 ** 未知總數的四維非凸均勻多胞體：{{link-en|諾曼·詹森 (數學家)|Norman Johnson (mathematician)|諾曼·詹森}}和其他合作者已經確定有2189個已知的四維非凸均勻多胞體（凸和星形，不含無限集合）皆由{{link-en|Stella (軟體)|Stella (software)|Stella4D軟體}}透過頂點圖構造。<ref>[https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf Uniform Polychora] {{Wayback|url=https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf |date=20220909192230 }}, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005</ref> ;其他凸四維多胞體 *多面體錐 *多面體雙錐 *多面體柱 ;基於歐幾里得三維堆砌體的四維均勻無限胞體 *28個[[凸均勻堆砌]]：凸[[均勻多面體]]的空間填充，也包括： **1個正空間填充，[[立方體堆砌]]：{4,3,4} ;基於雙曲空間三維堆砌體的四維均勻無限胞體 *76個威佐夫雙曲空間填充，也包括： **4個正緊湊雙曲空間填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5} ;均勻四維多胞體對偶{{normal|（[[胞可遞]]）}} * 41個不相同的凸四維多胞體對偶 * 17個不相同的均勻多面體柱對偶 * 無限集合的[[四維柱體柱]]對偶（不規則四面體胞） * 27個不相同的均勻堆砌對偶，包括： ** {{link-wd|Q7321274}} ** {{link-wd|Q5282593}} ;其他 *[[韋爾—費倫結構]] ;{{link-en|抽象多胞形|Abstract polytope|四維抽象多胞形}} *[[四維正十一胞體]] *[[四維正五十七胞體]] == 參見 == *[[四維凸正多胞體]] == 參考文獻 == {{Reflist}} [[Category:四維幾何]] [[Category:代数拓扑]] [[Category:四维多胞体| ]]
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