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'''四維力'''（{{lang-en|four-force}}）是[[古典力學]]中的[[力]]物理量在[[相對論]]中對應的四維版本。

== 狹義相對論的定義 ==
設有一[[不變質量]]為''m''的粒子（''m'' > 0），其四維動量<math>\mathbf{P}</math>為
: <math>\mathbf{P} = m\mathbf{U}</math>。

其中[[四維速度]]<math>\mathbf{U}=\gamma(c,\mathbf{u})</math>；''c''為光速，<math>\mathbf{u}</math>乃是尋常概念中的三維空間[[速度]]。

而四維力<math>\mathbf{F}</math>的定義則為[[四維動量]]對粒子[[原時]]的[[微分]]：
:<math>\mathbf{F} \equiv {d\mathbf{P} \over d\tau}</math>。

將[[牛頓第二定律]]擴充，我們可以將四維力與[[四維加速度]]<math>\mathbf{A}</math>作關聯：
:<math>\mathbf{F} = m\mathbf{A} = \left(\gamma {\mathbf{f}\cdot\mathbf{u} \over c},\gamma{\mathbf f}\right)</math>.

在這裡可得如下關係式：
:<math>{\mathbf f}={d \over dt} \left(\gamma m {\mathbf u} \right)={d\mathbf{p} \over dt}</math>

以及
:<math>{\mathbf{f}\cdot\mathbf{u}}={d \over dt} \left(\gamma mc^2 \right)={dE \over dt}</math>。

上述<math>\mathbf{u}</math>、<math>\mathbf{p}</math>與<math>\mathbf{f}</math>為三維向量，分別描述粒子的[[速度]]、[[動量]]與作用力。

== 廣義相對論的調整 ==
在[[廣義相對論]]中，四維力與四維加速度的關係式不變，然而四維力與四維動量的關係則需從對原時的一般[[導數]]改成[[協變導數]]：
:<math>F^\lambda := \frac{DP^\lambda }{d\tau} = \frac{dP^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}U^\mu P^\nu </math>

此外，我們亦可透過[[座標轉換]]的觀念來推導不同[[座標系]]之間的力。設有一座標系而粒子在此座標系中暫時靜止，假設我們知道的力的正確表示式，則我們可以透過座標轉換得到另一個座標系中的力的表示式。<ref>{{cite book|last1=Steven|first1=Weinberg|title=Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity|url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0|date=1972|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-92567-5}}</ref>在狹義相對論中，這個座標變換是[[勞侖茲變換]]；在廣義相對論中，則是廣義座標變換。

考慮四維力<math>F^\mu=(F^0, \textbf{F})</math>作用在一質量為<math>m</math>的粒子，此粒子在一座標系統中暫時靜止。

相對論中的力<math>f^\mu </math>在另個以固定相對速度<math>v</math>的座標系中遵守[[勞侖茲變換]]：
<math>{\mathbf{f}}={\mathbf{F}}+(\gamma-1) {\mathbf{v}} { {\mathbf{v}}\cdot{\mathbf{F}}   \over v^2}</math>，

而
: <math>f^0=\gamma \boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{F}=\boldsymbol{\beta} \cdot \mathbf{f}</math>，

其中<math>\boldsymbol{\beta}=\mathbf{v}/c</math>為速度除以[[光速]]。

廣義相對論中，四維力表示式變成：
: <math>f^\mu=m {DU^\mu\over d\tau}</math>

其中<math>D/d\tau</math>為[[協變導數]]。[[運動方程式]]變成：
<math>m {d^2 x^\mu\over d\tau^2}=f^\mu-m \Gamma^\mu_{\nu\lambda} {dx^\nu\over d\tau} {dx^\lambda\over d\tau}</math>，

其中<math>\Gamma^\mu_{\nu\lambda} </math>為[[克里斯多福符號]]。若無外加力，則變成[[彎曲時空]]中的[[測地線]]方程式。上式中的第二項所扮演的角色是重力場所造成的「力」。

若<math> f^\alpha_f </math>是[[自由落體]]參考系<math> \xi^\alpha</math>之中力的正確表示式，我們可以使用[[等效原理]]來描寫任意座標系<math> x^\mu</math>之中的四維力：

<math> 
f^\mu={ \partial x^\mu \over \partial \xi^\alpha } f^\alpha_f.
</math>

==案例==
狹義相對論中，[[勞侖茲力|四維勞侖茲力]]（[[電磁場]]對帶[[電荷|電]]粒子作用的四維力）可以表示為：
:<math>F_\mu = qF_{\mu\nu}U^\nu</math>，

其中
* <math>F_{\mu\nu}</math>為[[電磁張量]]，
* <math>q</math>為電荷。
* <math>U^\nu</math>為[[四維速度]]，

== 相關條目 ==
* [[四維向量]]
* [[四維速度]]
* [[四維加速度]]
* [[四維動量]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
===延伸閱讀===
* {{cite book | author = Rindler, Wolfgang | title=Introduction to Special Relativity | url = https://archive.org/details/introductiontosp0000rind | edition=2nd | location= Oxford | publisher=Oxford University Press | year=1991 | isbn=0-19-853953-3}}

{{狹義相對論}}
[[Category:狹義相對論]]
[[Category:力]]