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{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:平凡群;zh-tw:當然群;
}}
'''單連通'''是[[拓撲學]]中[[拓撲空間]]的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的[[基本群]]刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是[[當然群]]时，道路连通的拓扑空间是单连通的<ref name="James-Topo-ed2">{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/42683260|title=Topology (2nd Edition)|last=James|first=R. Munkres|date=January 7|publisher=Prentice Hall, Inc|year=2000|isbn=0131816292|edition=2nd ed|location=Upper Saddle River, NJ|chapter=Ch. 9|oclc=42683260|language=en}}</ref>{{Rp|322}}。

== 定義 ==
[[File:Runge theorem.svg|thumb|這個集合'''不'''是單連通的，因为任何一个包含“洞”的闭曲线都不能收缩至一点]]
考慮道路[[連通空間|連通]]的拓撲空間''X''。若拓撲空間''X'' 中的任意閉曲線皆[[同倫]]等價於一個點，則稱該空間為'''單連通'''的。
換言之<ref name="EOM">{{Springer|title=Simply-connected domain|id=Simply_connected&oldid=31272}}</ref>，
拓撲空間''X'' 是单连通的充要条件为：對任意連續映射
: <math>\gamma: \mathrm{S}^1 \to X</math>
在拓撲空間''X'' 中，存在一點''x'' 及[[同倫]]等價
: <math>h: [0,1] \times \mathrm{S}^1 \to X</math> 
使得
: <math>\forall t \in S^1, \; h(0,t)=\gamma (t)</math>
: <math>\forall t \in S^1, \; h(1,t) = x</math>
<!-- 等價的敘述是：存在映射 <math>k: D^2 \to X</math>，其中 <math>D^2</math> 表二維單位圓盤，使得 <math>k|_{S^1} = \gamma</math>。 {{FACT}}-->

另一种等价的定义是：当且仅当拓撲空間''X'' 道路连通，并对任意的、同起点的（即 ''p''(0) = ''q''(0) 且 ''p''(1) = ''q''(1)）两条路径 ''p'' : [0,1] → ''X'' 和 ''q'' : [0,1] → ''X''，
存在一个同伦
: <math>F : [0,1] \times [0,1]\rightarrow X</math>，
使得
: <math>F(x,0)=p(x)</math> 
: <math>F(x,1)=q(x)</math>
此时拓撲空間''X'' 是单连通的。

一个拓扑空间''X'' ，当且仅当拓扑空间''X'' 道路连通，且其基本群[[當然群|仅由单位元素构成]]时，它是单连通的。<ref name="James-Topo-ed2" />{{Rp|322}}
类似的，当且仅当对拓扑空间''X'' 中的任意点 (x,y),在''X'' 的基本群中，态射 <math>\operatorname{Hom}_{\Pi(X)}(x,y)</math> 的集合只有一个元素时，拓扑空间''X'' 是单连通的。<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/712629429|title=Topology and Groupoids.|last=Ronald,|first=Brown,|date=June 2006|publisher=CreateSpace|others=Academic Search Complete.|isbn=1419627228|location=North Charleston|oclc=712629429|language=en}}</ref>

若拓撲空間''X'' 可寫成單連通開子集之并，則稱之為'''局部單連通'''。微分拓撲學所論的空間（例如[[流形]]）通常不在此類。

在[[複分析]]中，当且仅当复数域 '''C''' 中的开集''X'' 和它的补集在[[黎曼球面]]上连通时，''X'' 才是单连通的。
虚部严格大于 0 小于 1 的复数集合，提供了一个有趣的例子：一个无界的、连通的、补集不连通平面的开子集。然而这个集合是单连通的。

=== 讨论 ===
粗略的说，如果空间中的某个物体仅由一小块构成，并且没有任何的“洞”穿过它，则这个物体是单连通的。举个例子：甜甜圈和（带手柄的）咖啡杯均不是单连通的；而一个空心橡胶球是单连通的。
在二维的情况下，圆不是单连通的；而（实心）碟片和直线是单连通的。
[[连通空间|连通]]但不是单连通的空间称为'''非单连通'''或'''多重连通'''的<ref name="MW">{{cite mathworld|id=ConnectedSpace |title=Simply Connected |access-date=2018-07-09}}</ref>。

[[File:P1S2all.jpg|thumb|center|400px|球面是单连通的，因为可以将球面上的任意一条闭曲线，沿球面收缩到一点。]]

这样的定义只排除了类手柄形状的洞。一个球体或空心的球体是单连通的，因为其表面上的任何闭曲线都能连续地收缩到一点，即使球的中心有一个“孔”。
在更强一些的条件下，如果一个物体在任何维度上都没有洞，则称其为[[可缩空间]]。

== 例子 ==
[[Image:Torus cycles.png|thumb|right|150px|环面不是单连通的。右图中，任意一条彩色闭曲线，都不能在不离开环面的情况下收缩到一点。]]
* 單位圓盤 <math>D^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq 1 \}</math> 均為單連通
* 虽然实数集 '''R''' 自身是单连通的，但实数集 '''R''' 的单点紧化不是单连通的。
* 二维欧氏空间 '''R'''<sup>2</sup> 是单连通的，但 '''R'''<sup>2</sup> 除去原点 (0,0) 之后得到的 '''R'''<sup>2</sup>\{0} 非單連通。事實上，它同倫等價於 <math>S^1</math><ref name="Intro2Topo">{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/644064114|title=拓扑学基础及应用|last=Colin|first=Adams|last2=Robert|first2=Franzosa|last3=沈以淡|date=2010年4月1日|publisher=机械工业出版社|year=2010|isbn=9787111288091|location=北京|pages=|language=zh|chapter=第9章 同伦与度理论|oclc=644064114}}</ref>{{Rp|195}}。
: 当 ''n'' &gt; 2时，'''R'''<sup>n</sup> 和 '''R'''<sup>n</sup>\{0} 均是单连通的。
* n 维欧氏空间 '''R'''<sup>n</sup> 的每个凸子集都是单连通的<ref name="XIEHUA">{{Cite journal|title=单连通空间的一些性质|author=谢桦|url=|journal=龙岩学院学报|issue=3|doi=|others=|year=1993|volume=11|page=57-59|language=zh|pmid=}}</ref>。
* 二維以上球面 <math>S^n := \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^{n+1} : \|x\| = 1 \}, n \geq 2</math> 均為單連通<ref name="XIEHUA" />。
: 然而 <math>S^1</math> 並非單連通：<math>\pi_1(S^1,*) = \mathbb{Z}</math>。
* 每个[[拓撲向量空間]]均是单连通的。包括：[[巴拿赫空间]]和[[希尔伯特空间]]。
* [[环面]]、[[圆柱体]]、[[莫比乌斯带]]、[[射影平面]]和[[克莱因瓶]]均不是单连通的。
* 当''n'' 大于 2 时，[[正交群|特殊正交群]] SO(''n'' ,'''R''') 都不是單連通的，而[[特殊么正群]] SU(''n'' ) 都是單連通的。
* [[長直線]]''L'' 是单连通的。它的紧化扩展''L*'' 虽然是道路连通的，但不是单连通的。

== 性質 ==
* 当且仅当一个表面（二维拓扑[[流形]]）是连通的，且它的[[亏格]]为 0 时，它才是单连通的。
* 任何（适宜）空间''X'' 的[[覆疊空間|通用覆盖]]都是单连通空间，它通过[[覆疊空間|覆叠映射]]映射到''X''。
* 若''X'' 和''Y'' 是同伦等价的，且''X'' 是单连通的，那么''Y'' 也是单连通的。
* 单连通集合的图像经连续函数变换后不一定是单连通的。举个例子：复数平面经指数映射后得到 '''C'''\{0}，它不是单连通的。
* 在單連通[[流形]]上，一次[[微分形式]] ω 正合的充要條件是 dω=0 。

== 應用 ==
单连通性的概念在复分析中十分重要：
* [[柯西积分定理]]保证：对一个复平面 '''C''' 的单连通开集''U''，若有[[全纯函数]] ''f'' : ''U'' → '''C'''，全纯函数''f'' 在集合''U'' 上有不定积分''F''。则在集合''U'' 上，被积函数''f'' 的每一个线积分的值，只取决于积分路径的两个端点''u'' 和''v''，积分值能表示为 ''F'' (''v'') - ''F'' (''u'')。因此，积分值不依赖于连接 ''u'' 和 ''v'' 的特定路径。
* [[黎曼映射定理]]保证：除复数域 '''C''' 自身外，任何非空的、单连通的复数域 '''C''' 的开子集[[共形映射|共形等价]]于[[单位圆盘]]。

单连通性的概念也是[[庞加莱猜想]]的一个重要条件。

== 參見 ==
* {{tsl|en|Unicoherent space|单位连通空间}}
* [[基本群]]
* [[连通空间#道路连通，弧连通|道路连通]]
* [[n-连通]]
* [[同倫]]
* [[形变收缩]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{refbegin}}
*{{cite book |last=Spanier |first=Edwin |title=Algebraic Topology |publisher=Springer |isbn=0-387-94426-5|date=December 1994 |language=en}}
*{{cite book |last=Conway |first=John |title=Functions of One Complex Variable I |year=1986 |publisher=Springer |isbn=0-387-90328-3 |language=en}}
*{{cite book |last=Bourbaki |first=Nicolas |title=Lie Groups and Lie Algebras |year=2005 |publisher=Springer |isbn=3-540-43405-4 |language=en}}
*{{cite book |last=Gamelin |first=Theodore |title=Complex Analysis |publisher=Springer |isbn=0-387-95069-9|date=January 2001 |language=en}}
*{{cite book |last=Joshi |first=Kapli |title=Introduction to General Topology |publisher=New Age Publishers |isbn=0-85226-444-5|date=August 1983 |language=en}}
{{refend}}

{{点集拓扑}}

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:拓扑空间性质]]