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{{for|單子在電腦軟件的應用|單子 (函數式編程)}}
[[數學]]的分支[[範疇論]]中，'''單子'''（{{lang-en|monad}}），又稱三元組（{{lang|en|triple, triad}}）、標準構造（{{lang|en|standard construction}}）、基本構造（{{lang|en|fundamental construction}}）<ref>{{cite book | url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf | title=Toposes, Triples and Theories | trans-title=拓撲斯、三元組與理論 | year=1985 | first1=Michael | last1=Barr | first2=Charles | last2=Wells | publisher=Springer-Verlag | isbn=0-387-96115-1 | volume=278 | work=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | pages=82 and 120 | postscript=. | access-date=2021-09-17 | archive-date=2020-11-25 | archive-url=https://web.archive.org/web/20201125155210/http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf | dead-url=no }}</ref>，是一個{{le|內函子|endofunctor}}（即由某[[範疇 (數學)|範疇]]映到自身的[[函子]]），連同滿足特定{{le|連貫條件|coherence condition}}的兩個[[自然變換]]，三者構成的整體。單子用於研究[[伴隨函子|互為伴隨的函子對]]，並將[[偏序关系|偏序集]]上的[[闭包算子]]推廣到任意範疇。

==導論與定義==

單子是一類{{le|內函子|endofunctor}}（連同其他資訊）。例如，若<math>F</math>和<math>G</math>為一對[[伴隨函子]]，<math>F</math>為<math>G</math>的左伴隨，則複合<math>G \circ F</math>是單子。若<math>F</math>與<math>G</math>互為逆函子，則對應的單子是[[恆等函子]]。一般而言，伴隨關係並不等同[[范畴的等价]]，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮<math>F \circ G</math>，以研究伴隨關係，是單子論的對偶理論。該類函子稱為'''餘單子'''（{{lang-en|comonad}}）。

===嚴格定義===

本條目中，<math>\mathcal C</math>皆表示某[[範疇 (數學)|範疇]]。<math>\mathcal C</math>上的'''單子'''是函子<math>T: \mathcal C \to \mathcal C</math>，連同兩個[[自然變換]]，分別是'''單位'''<math>\eta : 1_{\mathcal C} \to T</math>（其中<math>1_{\mathcal C}</math>是<math>\mathcal C</math>上的恆等函子）與'''乘法'''<math>\mu : T^{2} \to T</math>（其中<math>T^{2}</math>是複合<math>T \circ T</math>，亦是<math>\mathcal C</math>到<math>\mathcal C</math>的函子），且要滿足下列'''{{le|連貫條件|coherence condition}}'''<!--coherence譯法見於http://terms.naer.edu.tw/。张鸿林、葛显良《英汉数学词汇》稱凝聚條件，不妥-->：

* <math>\mu \circ T\mu = \mu \circ \mu T</math>（左右皆為<math>T^{3} \to T</math>的自然變換）。此處<math>T\mu</math>與<math>\mu T</math>經[[自然變換#自然變換的運算|水平複合]]而得。
* <math>\mu \circ T \eta = \mu \circ \eta T = 1_{T}</math>（兩者皆為<math>T \to T</math>的自然變換）。此處<math>1_{T}</math>表示由函子<math>T</math>到自身的恆等自然變換。

以上兩式，亦可以下列[[交換圖表|交換圖]]複述：
<center>
{|
| [[Image:Coherence law for the multiplication of a monad.svg|center|150px]]
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| [[Image:Coherence law for the unit of a monad.svg|center|150px]]
|}
</center>

記號<math>T\mu</math>與<math>\mu T</math>的含義，參見[[自然變換]]，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件<math>X</math>上：

<center>
{|
| [[Image:Monad multiplication explicit.svg]]
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| [[Image:Monad unit explicit.svg]]
|}
</center>

定義中，若將<math>\mu</math>當成幺半群的乘法，則第一條公理類似{{le|幺半群對象|monoid (category theory)|幺半群}}的[[結合律|乘法結合律]]，而第二條公理類似[[單位元]]的存在性（由<math>\eta</math>給出）。準確而言，<math>\mathcal C</math>上的單子，可以等價地定義為<math>\mathcal C</math>的內函子範疇<math>\mathbf{End}_{\mathcal C}</math>中的{{le|幺半群對象|monoid (category theory)|幺半群}}。（該範疇的物件是<math>C</math>上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，[[幺半範疇|幺半結構]]來自內函子的複合運算。）<!--將英文的remark合併至此-->如此，單子不僅在形式上具有與[[幺半群]]相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。

===冪集單子===

'''冪集單子'''<math>\mathcal{P}</math>是[[集合範疇]]<math>\mathbf{Set}</math>上的單子。其定義中，函子<math>T</math>取為[[冪集]]運算，即<math>T(A)</math>為集合<math>A</math>的[[冪集]]，而對於函數<math>f : A \to B</math>，<math>T(f)</math>將<math>A</math>的子集映至其[[像 (數學)|像集]]，即<math>T(f)(A') = f[A']</math>。對每個集合<math>A</math>，有函數<math>\eta_{A}: A \to T(A)</math>，對每個元素<math>a\in A</math>映至[[單元集|單元子集]]<math>\{a\}</math>， 並有函數

:<math>\mu_{A} \colon T(T(A)) \to T(A),</math>

將<math>A</math>的若干個子集構成的族，映至該些子集的[[並集]]。以上是冪集單子的定義。

兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子<math>\mathcal P</math>的二次疊代<math>\mathcal{P} \circ \mathcal{P}</math>，無法配備單子結構。<ref>{{cite journal |doi= 10.1016/j.entcs.2018.11.013| last1=Klin| last2=Salamanca| title= Iterated Covariant Powerset is not a Monad|trans-title = 共變冪集疊代後不是單子|language = en | journal = Electronic Notes in Theoretical Computer Science|volume = 341 | date = 2018-12-01 |pages = 261–276 | doi-access=free}}</ref>

=== 餘單子 ===
取上節定義的{{le|對偶 (範疇論)|Dual (category theory)|範疇論對偶}}，便是'''餘單子'''（或'''餘三元組'''）的定義。簡單複述，範疇<math>\mathcal C</math>上的餘單子，是{{le|對偶範疇|opposite category}}<math>C^{\mathrm{op}}</math>上的單子。所以，餘單子是由<math>\mathcal C</math>到<math>\mathcal C</math>的某個函子<math>U</math>，連同'''餘單位'''與'''餘乘法'''（{{lang-en|counit and comultiplication}}）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。

單子之於幺半群，如同餘單子之於[[餘幺半群]]。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以[[抽象代數]]中，較少考慮餘幺半群。然而，在[[線性代數]]中，[[向量空間範疇]]（配備[[張量積]]）的餘幺半群較為重要，以[[餘代數]]之名為人所知。

===歷史===
{{Expand section|1=中文名稱「單子」由來}}
單子的概念最早由{{le|羅傑·戈德芒|Roger Godement}}<!--姓譯名見於https://gongjushu.oversea.cnki.net/chn/Search/SimpleSearch?key=godement&range=TOTAL&opt=0 -->於1958年提出<ref>{{cite book|first=Roger|last=Godement|title=Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux|trans-title = 代數拓撲與層論|series=Actualités Sci. Ind., Publ. Math. Univ. Strasbourg|volume=1252|issue=13|publisher=Hermann|location=Paris|year=1958|pages=viii+283 pp |language = fr}}
</ref>，當時稱為「標準構造」（{{lang-en|standard construction}}）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個{{le|層餘調|Sheaf cohomology
}}問題。

其後，單子又出現於彼得·胡伯（{{lang|en|Peter Huber}}）對範疇[[同倫]]的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。<ref>{{cite journal | first = Peter J. | last = Huber |title = Homotopy theory in general categories|trans-title = 一般範疇的同倫論|journal = Mathematische Annalen | volume = 144 |issue = 5 |year = 1961 | pages = 361–385 |language = en}}</ref>

1965年，{{le|海因里希·克萊斯利|Heinrich Kleisli}}<ref>{{cite journal |first = Heinrich | last = Kleisli |title = Every standard construction is induced by a pair of adjoint functors|trans-title = 每個標準構造皆由某對伴隨函子產生 |journal = Proceedings of the American Mathematical Society |volume = 16 |issue = 3 | year = 1965 |pages = 544-546|language = en}}</ref>，及[[塞缪尔·艾伦伯格]]、{{le|約翰·柯曼·摩爾|John Coleman Moore}}二人<ref>{{cite journal |last1 = Eilenberg | first1 = Samuel | author1-link=塞缪尔·艾伦伯格|first2 = John Coleman |last2 = Moore|title = Adjoint functors and triples|trans-title = 伴隨函子與三元組|journal = Am. J. Math. |volume = 9 |year = 1965|pages = 301–398|language = en}}</ref>[[重複獨立發現發明列表|分別獨立]]證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。

1963年，{{le|威廉·洛維爾|William Lawvere}}提出[[泛代數]]的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（{{lang|en|Fred Linton}}）將該理論用單子的語言表達。<ref>{{cite conference | first = Fred E. J. |last = Linton |title = Some aspects of equational theories|trans-title = 等式理論的若干方面 |journal = Proc. Conf. on Categorical Algebra at La Jolla|year = 1966|pages = 84–95|language = en}}</ref>單子本身來自[[拓撲學|拓撲]]方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱{{lang|en|monad}}是1971年由[[桑德斯·麥克蘭恩]]在《{{le|現職數學家用的範疇|Categories for the Working Mathematician}}》引入，以其類似[[單子論]]中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。

1980年代，{{le|歐金尼奧·莫吉|Eugenio Moggi}}<!--譯名參考[[歐金尼奧·蒙蒂]]和[[尤文圖斯足球俱樂部]]中的盧西亞諾·莫吉-->在[[理論計算機科學]]中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。<ref>{{cite web|first = Eugenio|last = Moggi|url = http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf|title = Notions on computation on monads|trans-title = 單子上的計算概念|language = en|access-date = 2021-09-25|archive-date = 2011-03-22|archive-url = https://web.archive.org/web/20110322151227/http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf|dead-url = no}}</ref>此後，有多種[[函数式编程|函數式編程語言]]仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為'''[[单子 (函数式编程)|單子]]'''。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。<ref>{{cite chapter | first1 = Gordon |last1 = Plotkin|first2 =John |last2 = Power|chapter = Adequacy for Algebraic Effects|trans-chapter = 代數效果的適切性|title = Proc. FOSSACS 2001 |series = Lecture Notes in Computer Science |volume = 2030|year = 2001|pages = 1–24|doi = 10.1007/3-540-45315-6_1|language = en}}</ref>。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。

==例子==
===伴隨的複合===

若有[[伴隨函子|伴隨關係]]

:<math>F: \mathcal C \rightleftarrows \mathcal D : G</math>

（即<math>F</math>為<math>G</math>的左伴隨，下同），則由此有<math>\mathcal C</math>上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合

:<math>T = G \circ F,</math>

而單位自然變換來自伴隨的單位<math>\eta: \operatorname{id}_\mathcal C \to G \circ F</math>，乘法自然變換源自伴隨的餘單位<math>\varepsilon</math>：

:<math>T^2 = G \circ F \circ G \circ F \xrightarrow{G \circ \varepsilon \circ F} G \circ F = T.</math>

反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的[[#單子的代數|<math>T</math>代數的艾倫伯格－摩爾範疇]]<math>C^T</math>。<ref>{{harvtxt|Riehl|loc=162|2017}}</ref>

====兩重對偶====
給定[[域 (數學)|域]]<math>k</math>，'''雙重對偶單子'''（{{lang-en|double dualisation monad}}）源自伴隨關係

:<math>(-)^* : \mathbf{Vect}_k \rightleftarrows \mathbf{Vect}_k^{\mathrm{op}} : (-)^*,</math>

其中兩個函子<math>(-)^*</math>皆將<math>k</math>[[向量空间]]<math>V</math>映至[[對偶空間]]<math>V^* := \operatorname{Hom}(V, k)</math>，所以對應的單子將向量空間<math>V</math>映至[[对偶空间|雙對偶]]<math>V^{**}</math>。{{harvtxt|Kock|1970}}對此有更廣泛的討論。

====偏序集的閉包算子====
[[偏序集]]<math>(P, \le)</math>可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且<math>x</math>到<math>y</math>有態射[[当且仅当]]偏序中<math>x \le y</math>。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的[[伽罗瓦连接]]，相應的單子是伽羅華連接的[[闭包算子]]。

====自由遺忘伴隨====
又舉例，設<math>G</math>為[[群範疇]]<math>\mathbf{Grp}</math>至[[集合范畴]]<math>\mathbf{Set}</math>的[[遺忘函子]]，將[[群]]映至其基集，又設<math>F</math>為[[自由群|自由]]函子，由<math>\mathbf{Set}</math>到<math>\mathbf{Grp}</math>，則<math>F</math>是<math>G</math>的左伴隨。此時，對應的單子<math>T = G \circ F</math>的作用是，輸入一個集合<math>X</math>，輸出自由群<math>F(X)</math>的基集，即字母取自<math>\{x, x^{-1}: x \in X\}</math>，且無相鄰兩個字母互為逆元的[[字串]]的集合。

該單子的單位變換，由包含映射
:<math>\eta_X: X \rightarrow T(X) </math>
給出，該包含映射將<math>X</math>的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是<math>T(X)</math>的元素。最後，單子的乘法
:<math>\mu_X: T(T(X)) \rightarrow T(X) </math>
是[[串接]]或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個[[自然變換]]。

前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即[[泛代数]]意義下的任意一{{le|簇 (泛代數)|Variety (universal algebra)|簇}}代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。

另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇<math>\mathbf{Vect}</math>上，若<math>T</math>表示將向量空間<math>V</math>映至其[[张量代数]]<math>T(V)</math>的內函子，則相應有單位自然變換將<math>V</math>嵌入到其[[张量代数]]，並有乘法自然變換，在<math>V</math>處的分量是態射<math>T(T(V))\to T(V)</math>，將張量積之張量積展開化簡。

===餘密度單子===
<!--暫譯-->

只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為'''{{link-en|餘密度單子|codensity monad}}'''。例如，從有限集合範疇<math>\mathbf{FinSet}</math>到集合範疇<math>\mathbf{Set}</math>的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在<math>\mathbf{Set}</math>上，將任意集合<math>X</math>映至其上所有[[超滤子]]的[[斯通-切赫緊化#用超濾子構造|集合]]<math>\beta X</math>。 類似例子見於{{harvtxt|Leinster|2013}}。

==單子的代數==
{{see also|{{le|F代數|F-algebra}}|{{le|偽代數|pseudoalgebra}}}}

給定範疇<math>\mathcal C</math>上的單子<math>(T,\eta,\mu)</math>，可以考慮<math>\mathcal C</math>中的'''<math>\boldsymbol T</math>代數物件'''。<math>T</math>在該些物件上的作用，與單子的單位與乘法相容。具體而言，'''<math>\boldsymbol T</math>代數'''<math>(x,h)</math>是<math>\mathcal C</math>中的物件<math>x</math>，連同態射<math>h: Tx\to x</math>（稱為該代數的'''結構映射'''），使得圖
{| align="center"
|-
|[[Image:Monad_multi_algebra.svg]]
| width="20" |
|及
| width="20" |
|[[Image:Monad_unit_algebra.svg]]
|}
皆可交換。

<math>T</math>代數間的'''態射'''<math>f:(x,h)\to(x',h')</math>是<math>\mathcal C</math>中的態射<math>f:x\to x'</math>，且要使[[Image:Monad_morphism_algebra.svg|center]]可交換。於是，<math>T</math>代數及之間的態射組成範疇，稱為'''艾倫伯格－摩爾範疇'''（{{lang-en|Eilenberg–Moore category}}），記為<math>\mathcal C^T</math>.

=== 例子 ===

==== 自由群單子上的代數 ====
若<math>T</math>為前述[[#自由遺忘伴隨|自由群單子]]，則<math>T</math>代數是集合<math>X</math>，連同由<math>X</math>生成的自由群<math>F(X)</math>到<math>X</math>的映射（'''求值'''，{{lang|en|evaluation}}），且該映射要滿足[[結合律]]與單位元的公理。換言之，<math>X</math>本身就具有群結構，而<math>F(X)</math>至<math>X</math>的映射，是將字串按<math>X</math>的群乘法，計算所得的結果

==== 分佈單子上的代數 ====
另一個例子是集合範疇上的'''分佈單子'''（{{lang-en|distribution monad}}）<math>\mathcal{D}</math>，其將集合<math>X</math>映至其上所有有限[[支撐集|支撐]]的[[離散分佈|概率分佈]]的集合。該等分佈，是函數<math>f : X \to [0,1]</math>，僅於有限多個元素<math>x \in X</math>處取值非零，而各元素處取值之和為<math>1</math>。以符號表示，
:<math>\mathcal{D}(X) = \left\{
f: X \to [0,1] : \begin{matrix}
\#\text{supp}(f) < +\infty, \\
\sum_{x \in X} f(x) = 1
\end{matrix}
\right\}.</math>
可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於[[凸集]]，即集合要配備二元運算<math>+_r</math>（對每個<math>r \in [0,1]</math>），滿足的公理比照[[歐氏空間]]中，[[凸組合]]<math>(x, y) \mapsto rx + (1-r)y</math>具備的性質。<ref>{{cite journal|last=Świrszcz|first=T.|title=Monadic functors and convexity|trans-title =單子函子與凸性|journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys.|volume=22|year=1974|pages=39–42|mr=0390019|language = en}}</ref><ref>
{{cite book|doi=10.1007/978-3-642-15240-5_1|chapter=Convexity, Duality and Effects|trans-chapter = 凸性、對偶、作用|title=Theoretical Computer Science|trans-title = 理論電腦科學|editor1-last = Calude | editor1-first = C.S. | editor2-last = Sassone |editor2-first = V. |volume=323|pages=1–19|series=IFIP Advances in Information and Communication Technology|year=2010|last1=Jacobs|first1=Bart|isbn=978-3-642-15239-9|doi-access=free|language = en}}</ref>

==== 對稱單子上的代數 ====
另一個有用的單子，是[[交換環]]<math>R</math>的[[模範疇]]<math>\mathbf{Mod}_R</math>上的對稱代數單子

:<math>\text{Sym}^\bullet(-): \mathbf{Mod}_R \to \mathbf{Mod}_R</math>

將<math>R</math>模<math>M</math>映到各階{{le|對稱張量|symmetric tensor}}冪的直和

:<math>\text{Sym}^\bullet(M) = \bigoplus_{k=0}^\infty \text{Sym}^k(M)</math>

其中<math>\text{Sym}^0(M) = R</math>。例如，<math>\text{Sym}^\bullet(R^{\oplus n}) \cong R[x_1,\ldots, x_n]</math>，左右兩邊作為<math>R</math>模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是[[代數_(環論)#結合代數、有單位的代數、交換代數|交換<math>R</math>代數]]。類似地，也有[[反對稱張量]]單子<math>\text{Alt}^\bullet(-)</math>與全張量單子<math>T^\bullet(-)</math>，相應的代數分別是反對稱<math>R</math>代數與自由<math>R</math>代數，故
:<math>\begin{align}
\text{Alt}^\bullet(R^{\oplus n}) &= R(x_1,\ldots, x_n),\\
\text{T}^\bullet(R^{\oplus n}) &= R\langle x_1,\ldots, x_n \rangle,
\end{align}</math>

前者是<math>R</math>上添加<math>n</math>個生成元的自由反對稱代數，而後者則是<math>n</math>個生成元的自由代數。

==== E<sub>∞</sub>環譜中的交換代數 ====
對於{{le|高度結構的環譜|Highly structured ring spectrum|可交換<math>\mathbb{S}</math>代數}}，亦有類似的構造，<ref>{{Cite journal|date=1999-12-15|last=Basterra|first=M.|title=André–Quillen cohomology of commutative S-algebras|trans-title=交換S代數的André–Quillen上同調|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404998000516|journal=Journal of Pure and Applied Algebra|language=en|volume=144|issue=2|pages=111–143|doi=10.1016/S0022-4049(98)00051-6|issn=0022-4049|doi-access=free|access-date=2021-09-18|archive-date=2022-01-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20220130234120/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404998000516|dead-url=no}}</ref>{{rp|113}}對於可交換<math>\mathbb{S}</math>代數<math>A</math>，對應單子上的代數是可交換的<math>A</math>代數。若<math>\mathbf{Mod}_A</math>表示<math>A</math>模的範疇，則可以考慮函子<math>\mathbb{P}: \mathbf{Mod}_A \to \mathbf{Mod}_A</math>，定義為
:<math>\mathbb{P}(M) = \bigvee_{j \geq 0} M^j/\Sigma_j,</math>
其中
:<math>M^j = \underbrace{M\wedge_A \cdots \wedge_A M}_j.</math>
此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換<math>A</math>代數的範疇<math>\mathcal{C}_A</math>。

==單子與伴隨==
如[[#伴隨的複合|前文]]所述，任何[[伴隨函子|伴隨關係]]皆產生單子。反之，每個單子<math>T</math>皆可由某個伴隨關係產生，即原範疇與<math>T</math>代數的艾倫伯格－摩爾範疇之間的自由－遺忘伴隨

:<math>T(-) : \mathcal C \rightleftarrows \mathcal C^T : F.</math>

其中，左伴隨<math>T(-)</math>將<math>\mathcal C</math>的物件<math>x</math>映到自由<math>T</math>代數<math>T(x)</math>，右伴隨<math>F</math>則將<math>T</math>代數<math>(x, h)</math>遺忘掉<math>h</math>，變回<math>x</math>。然而，通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子，該些伴隨關係組成範疇<math>\mathbf{Adj}(\mathcal C,T)</math>：物件是伴隨關係<math>(F,G,\eta,\varepsilon)</math>使得<math>(GF, \eta, G\varepsilon F)=(T,\eta,\mu)</math>，而態射是在<math>\mathcal C</math>一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此，艾倫伯格－摩爾範疇的自由－遺忘伴隨<math>\mathcal C^T</math>是<math>\mathbf{Adj}(\mathcal C,T)</math>的終物件，而始物件是'''{{link-en|克萊斯利範疇|Kleisli category}}'''<!--按[[WP:外語譯音表/德語]]譯--><math>\mathcal C_T</math>，定義為<math>\mathcal C^T</math>中的自由<math>T</math>代數組成的[[完全子範疇]]，即僅包含形如<math>T(x)</math>的<math>T</math>代數，其中<math>x</math>歷遍<math>\mathcal \mathcal C</math>的物件。

===單子伴隨===
設有伴隨關係<math>(F : \mathcal C \to \mathcal D,G : \mathcal D \to \mathcal C,\eta,\varepsilon)</math>，對應單子為<math>T</math>，則函子<math>G</math>可分解為

:<math>\mathcal D \xrightarrow{\tilde G} \mathcal C^T \xrightarrow{F} \mathcal C,</math>

其中<math>F</math>是遺忘函子。換言之，對<math>\mathcal D</math>中任意物件<math>Y</math>，都能賦予<math>G(Y)</math>自然的<math>T</math>代數結構。若分解式中，首個函子<math>\tilde G</math>給出<math>\mathcal D</math>與<math>C^T</math>兩[[範疇的等價|範疇間的等價]]，則形容該伴隨關係為'''單子的'''（{{lang-en|monadic}}）。<ref>{{harvtxt|MacLane|1978}}所用定義中，條件「等價」要再加強為「{{le|範疇的同構|Isomorphism of categories
|同構}}」。</ref>後亦引申用作形容函子，若函子<math>G: \mathcal D\to \mathcal C</math>有左伴隨<math>F</math>，且該伴隨關係為單子的，則<math>G</math>亦稱為'''單子的'''。例如，[[群範疇]]與[[集合範疇]]間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子<math>T</math>上的<math>T</math>代數是群（見[[#自由群單子上的代數|前文]]）。一般而言，若有伴隨關係<math>(F : \mathcal C \to \mathcal D,G : \mathcal D \to \mathcal C,\eta,\varepsilon)</math>為單子的，則單從<math>\mathcal C</math>的物件及其上的<math>T</math>作用，已足以重組出<math>\mathcal D</math>的物件。

===貝克單子性定理===
{{main|{{link-en|貝克單子性定理|Beck's monadicity theorem}}}}
'''貝克單子性定理'''給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版：

<blockquote>
若滿足以下三項條件：
*<math>G</math>為{{link-en|保守函子|conservative functor}}，換言之，<math>G</math>'''反映同構'''（{{lang-en|reflects isomorphisms}}），即對<math>\mathcal D</math>中每一支態射，其為同構當且僅當在<math>G</math>作用下的像為<math>\mathcal C</math>中的同構；
*<math>\mathcal C</math>有{{link-en|餘等化子|coequalizer}}；
*<math>G</math>保{{link-en|餘等化子|coequalizer}}；
則<math>G</math>為單子的。
</blockquote>

例如，由[[紧空间|緊]][[豪斯多夫空间]]範疇<math>\mathbf{CHaus}</math>到[[集合範疇]]<math>\mathbf{Set}</math>的遺忘函子是單子的。然而，由[[拓撲空間範疇|任意拓撲空間範疇]]<math>\mathbf{Top}</math>到集合範疇<math>\mathbf{Set}</math>的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為[[同胚]]。<ref>{{harvtxt|MacLane|loc=§§VI.3, VI.9|1978}}</ref>
貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對[[拓撲斯|拓撲斯論]]及有關{{le|下降 (範疇論)|descent (category theory)|下降}}的[[代数几何]]課題有用。

餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：

:<math>- \otimes_A B : \mathbf{Mod}_A \rightleftarrows \mathbf{Mod}_B : F,</math>

其中<math>A, B</math>皆為[[交換環]]，左伴隨用到的張量積<math>\otimes_A</math>的定義中，選定了環同態<math>A \to B</math>，而右伴隨<math>F</math>是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當<math>B</math>為[[忠實平坦]]<math>A</math>模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據<!--譯名見https://www.google.co.uk/books/edition/%E8%8B%B1%E6%B1%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%8D%E6%B1%87/nduYtmyywcUC?hl=en&gbpv=1&pg=PP1&printsec=frontcover&bsq=descent%20datum -->（{{lang-en|descent datum}}，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的<math>B</math>模，降成<math>A</math>模。所得的{{link-en|忠實平坦下降|faithfully flat descent}}理論，廣泛應用於代數幾何。

==用途==

[[函数式编程]]中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見[[单子 (函数式编程)]]。

範疇論邏輯中，藉[[闭包算子]]、[[内部代数#模态逻辑|內代數]]，以及兩者與[[正規模態邏輯|S4模態邏輯]]、[[直觉主义逻辑]]的關係，能以單子餘單子理論類比[[模态逻辑]]。

==推廣==
亦可定義[[2-範疇]]<math>\mathcal C</math>中的單子。<!--英文此處有Monads described above are monads for <math>C = \mathbf{Cat}</math>，恕未能理解-->

== 參見 ==
* {{link-en|單子間的分配律|Distributive law between monads}}
* {{link-en|洛維爾理論|Lawvere theory}}<!--按en: William Lawvere的音標及[[WP:外語譯音表/英語]]譯-->
* {{鏈解|单子 (函数式编程)}}
* {{link-en|多子 (範疇論)|Polyad}}
* {{link-en|強單子|Strong monad}}

==參考文獻==
{{reflist}}
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* {{cite book|last=Riehl|first=Emily|title=Category Theory in Context|trans-title = 脈絡中的範疇論|url=https://math.jhu.edu/%7Eeriehl/context.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20210405153806/https://math.jhu.edu/%7Eeriehl/context.pdf|isbn=9780486820804|archive-date=5 Apr 2021|year = 2017|language = en|ref = harv}}
* {{cite web|first=Daniele|last=Turi|url=http://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/categories.pdf|title=Category Theory Lecture Notes|trans-title=範疇論講義|year=1996–2001|language=en|access-date=2021-09-24|archive-date=2022-02-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20220221181727/https://www.dcs.ed.ac.uk/home/dt/CT/categories.pdf|dead-url=no}}


{{範疇論}}
[[Category:函子]]