查看“︁單位元”︁的源代码

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'''單位元'''（unit element<ref>{{Cite web |url=https://www.termonline.cn/word/88345/1#s1 |title=存档副本 |access-date=2023-07-19 |archive-date=2023-07-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230719053724/https://www.termonline.cn/word/88345/1#s1 |dead-url=no }}</ref>）也称'''恒等元'''（identity element）、'''中立元'''（neutral element）、'''恒元'''，是[[集合 (数学)|集合]]裏的一種特殊元素，與該集合裏的[[二元運算]]有關。單位元和其他元素結合時，並不會改變那些元素。單位元在[[群]]和其他[[原群|相關概念]]中都有使用。

設<math>(S,*)</math>為一帶有一二元運算<math>*</math>的集合<math>S</math>（稱為[[原群]]）。若''<math>S</math>''內有一元素<math>e</math>對''S''內所有元素''a''满足<math>e*a=a</math>，則''<math>e</math>''被稱為'''左單位元'''；若满足<math>a*e=a</math>，则稱為'''右單位元'''。而若''<math>e</math>''同時為左單位元及右單位元，則稱為'''雙邊單位元'''，又簡稱為'''單位元'''。

對應加法的單位元稱為'''加法單位元'''（通常被標為0），而對應乘法的單位元則稱為'''乘法單位元'''（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如[[環 (代數)|環]]。

== 例子 ==
:{| class="wikitable"
|-
!集合!!運算!!單位元
|-
|[[實數]]||+（[[加法]]）||[[0]]
|-
|[[實數]]||·（[[乘法]]）||[[1]]
|-
|[[實數]]||<math>a^b</math>（[[乘方]]）||1（只為右單位元）
|-
|[[复数 (数学)|複數]]||+（[[加法]]）||[[0]]
|-
|[[复数 (数学)|複數]]||·（[[乘法]]）||[[1]]
|-
|[[矩陣]]|| +（加法）||[[零矩陣]]
|-
|[[方块矩阵|方陣]]|| ·（乘法）||[[單位矩陣]]
|-
|所有從集合''M''映射至其自身的[[函數]]||<math>\circ</math>（[[函數複合]]）||[[恆等函數|單位函數]]
|-
|所有從集合''M''映射至其自身的[[函數]]||<math>*</math>（[[摺積]]）||<math>\delta</math>（[[狄拉克δ函數]]）
|-
|[[字串]]|| [[串接]] || [[空字元串]]
|-
|[[擴展的實數軸]] || 最大值 ||<math>-\infty</math>
|-
|[[擴展的實數軸]] || 最小值 ||<math>\infty</math>
|-
|集合''M''的子集 ||<math>\cap</math>（交集） ||''M''
|-
|集合 ||<math>\cup</math>（聯集） ||<math>\{\}</math>（空集）
|-
|[[布爾邏輯]] ||<math>\land</math>（[[邏輯與]]） || ⊤（真值）
|-
|[[布爾邏輯]] ||<math>\lor</math>（[[邏輯或]]） || ⊥（假值）
|-
|[[閉流形|閉二維流形]] || #（[[連通和]]） ||<math>S^2</math>
|-
|只兩個元素<math>\{e,f\}</math>||* 定義為<br /><math>e*e=f*e=e</math>且<br /><math>f*f=e*f=f</math>||<math>e</math>和<math>f</math>都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元
|}

如最後一個例子所示，有多個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同，且仅存在一個雙邊單位元。要證明這個，設<math>I</math>為左單位元且<math>r</math>為右單位元，則<math>I=I*r=r</math>。特別的，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元<math>e</math>和<math>f</math>，則<math>e*f</math>必同時等於<math>e</math>和<math>f</math>。

一個代數也可能'''沒有'''單位元。最常见的例子為[[向量]]的[[內積]]和[[外積]]。前者缺乏單位元的原因在於，相乘的兩個元素都會是向量，但乘積卻會是個[[标量 (数学)|純量]]。而外積缺乏單位元的原因則在於，任一非零外積的方向必和相乘的兩個向量相[[正交]]，因此不可能得出一個和原向量指向同方向的外積向量。

== 参考 ==
{{reflist}}

== 另見 ==
* [[逆元素]]
* [[加法逆元]]
* [[么半群|-{zh-cn:幺半群; zh-tw:么半群;}-]]
* [[單作]]
* [[擬群]]

{{二元運算的性質}}

[[Category:一]]

[[fa:عمل دوتایی#عضو خنثی]]