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在[[數學]]中，'''商群'''（{{lang-en|quotient group}}）或'''因子群'''（{{lang-en|factor group}}）是通过保持群结构的[[等价关系]]来把较大群中的类似元素聚类而产生的[[群]]。例如，加法模 <math>n</math> 的[[循环群]]是由在整数加法群中将相差 <math>n</math> 倍的整数定义为一类（称为同余类）得到的一系列可作为一个整体进行二元运算的群结构。

給定一個[[群]] <math>G</math> 和 <math>G</math> 的一個[[正規子群]] <math>N</math>  <math>G</math> 在 <math>N</math> 上的'''商群'''或'''因子群'''，直觀上是把正規子群 <math>N</math> 「萎縮」為[[單位元]]的群。商群寫為 <math>G/N</math> ，念作 <math>G</math> [[模]] <math>N</math>（「模」對應英文 mod，是 module 的簡稱）。

商群的重要性很大程度上源自他們與同態的關係。[[同構基本定理#群同構基本定理#群同構第一定理|第一同構定理]]指出，任意群 <math>G</math> 在同態下的像總是同構于 <math>G</math> 的商。具體而言，同態 <math>\varphi: G \rightarrow H</math> 下 <math>G</math> 的像同構于 <math>G/ker</math> ，其中 <math>ker</math> 代表 <math>\varphi</math> 的[[核 (代数)|核]]。

如果 <math>N</math> 不是正規子群，仍可定義 <math>G</math> 關於 <math>N</math> 的商，但 <math>G/N</math> 將不是群，而是一個[[齊性空間]]。

==群的子集的乘積==

在隨后的討論中，我們將使用在 <math>G</math> 的子集上的[[二元運算]]：如果給出 <math>G</math> 的兩個子集 <math>S</math> 和 <math>T</math> ，我們定義它們的[[群子集的乘積|乘積]]為 <math>ST = \{st \mid s \in S, t \in T\}</math> 。這個運算符合[[結合律]]，并有[[單元素集合]] <math>\{e\}</math> 作為[[單位元]]，這裡 <math>e</math> 是群 <math>G</math> 的單位元。因此，由 <math>G</math> 的所有子集構成的集合和這個運算構成一個[[幺半群]]。

憑借這個運算我們可以首先解釋商群及正規子群的定義：

:群 <math>G</math> 的商群是 <math>G</math> 的一個[[集合劃分|劃分]]，而它在這個乘積運算下是群。

它完全由包含 <math>\{e\}</math> 的子集所確定。 <math>G</math> 的[[正規子群]]是在任何這種劃分中包含 <math>e</math> 的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的[[陪集]]。

群 <math>G</math> 的子群 <math>N</math> 是正規子群[[當且僅當]]陪集等式 <math>aN = Na</math> 對于所有 <math>G</math> 中的元素 <math>a</math> 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算， <math>G</math> 的正規子群是交換於 <math>G</math> 的所有子集的子群，記作 <math>N \trianglelefteq G</math> 。置換於 <math>G</math> 的所有子群的子群叫做[[可置換子群]]。

==定義==

設 <math>N</math> 是群 <math>G</math> 的[[正規子群]]。我們定義集合 <math>G/N</math> 是 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中的所有左陪集所構成的集合，即 <math>G/N = \{aN \mid a \in G\}</math> 。群 <math>G/N</math> 上的群運算定義如上。換句話說，對于每個 <math>G/N</math> 中的元素 <math>aN</math> 和 <math>bN</math> ， <math>aN</math> 和 <math>bN</math> 的乘積是 <math>(aN)(bN)</math> 。這個運算是閉合的，因為 <math>(aN)(bN)</math> 是一個左陪集：

: <math>(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N</math> 。

上述等式用到了 <math>N</math> 的正規性。因為 <math>N</math> 
是正規子群， <math>N</math> 在 <math>G</math> 中的左陪集和右陪集相等，所以 <math>G/M</math> 也可以定義為 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中所有的右陪集的集合。因為運算是從 <math>G</math> 的子集的乘積得出的，這個運算有[[良好定義]]（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律，并有 <math>N</math> 作為單位元。 <math>G/N</math> 的元素 <math>aN</math> 的逆元是 <math>a^{-1}N</math> ，其中 <math>a^{-1}</math> 是 <math>a</math> 在群 <math>G</math> 中的逆元。

==定義的動機==
<math>G/N</math> 被稱爲商群的契機來自[[整數]]的[[除法]]。 <math>12</math> 除以 <math>3</math> 時之所以會得到 <math>4</math> 是因為我們可以把 <math>12</math> 個對象重新分組為各含 <math>3</math> 個對象的 <math>4</math> 個子集。商群的誕生出于同樣的想法，但用一個群作為最終結果而非一個整數，因為比起任意對象構成的集合，群有更嚴密的結構。

更細致的說，當 <math>N</math> 是 <math>G</math> 的正規子群時， <math>G/N</math> 這一群結構形成了一種自然的「重新分組」。它們是 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中陪集。因為這種運算涉及一個群和它的正規子群，最終我們得到的商不只是陪集的（正常除法所產生的）數目，還包含更多的信息，得到了一個群結構。

==例子==

*考慮[[整數]]集'''Z'''（在加法下）的群和所有偶數構成的子群2'''Z'''。這是個正規子群，因為'''Z'''是[[阿貝爾群]]。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群'''Z'''/2'''Z'''是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合{ 0, 1 }帶有模2加法運算的群；非正式的說，有時稱'''Z'''/2'''Z'''等于集合{ 0, 1 }帶有模2加法。

*上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集'''Z'''在加法下的群。設''n''是任何正整數。我們考慮由''n''的所有倍數構成的'''Z'''的子群''n'''''Z'''。''n'''''Z'''在'''Z'''中還是正規子群因為'''Z'''是阿貝爾群。陪集們是搜集{''n'''''Z''',1+''n'''''Z''',...,(''n''−2)+''n'''''Z''',(''n''−1)+''n'''''Z'''}。整數''k''屬于陪集''r''+''n'''''Z'''，這里的''r''是''k''除以''n''的馀數。商'''Z'''/''n'''''Z'''可以被認為模以''n''的“馀數”的群。這是個''n''階[[循環群]]。

[[File:Normal subgroup illustration.png|right|thumb| ''N''在''G''中的陪集]]
*考慮[[复数 (数学)|複數]]十二次[[單位根|單位一的根]]的乘法阿貝爾群''G''，它們是在[[單位圓]]上的點，它們在右圖中展示為著色的球并在每點上用數標記出它們的辐角。考慮它由單位一的四次根構成的子群''N''，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的逆元是綠色元素等等）。因此商群''G''/''N''是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。

*考慮[[實數]]集'''R'''在加法下的群，和整數集子群'''Z'''。'''Z'''在'''R'''中的陪集們是形如''a'' + '''Z'''的所有集合，這里0 ≤ ''a'' < 1是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，并在結果大於或等于1的時候減去1完成的。商群'''R'''/'''Z'''同構於[[圓群]]S<sup>1</sup>，它是[[絕對值]]為1的[[复数 (数学)|複數]]在乘法下的群，或者說關于原點的二維[[旋轉]]的群，也就是特殊[[正交群]]SO(2)。有一個同構給出為''f''(''a'' + '''Z''') = exp（2''πia''，參見[[歐拉恒等式]]）。 

*如果''G''是可逆的3 × 3實數[[矩陣]]的群，而''N''是帶有[[行列式]]為1的3 × 3實數矩陣的子群，那么''N''在''G''中是正規子群（因為它是行列式[[群同態|同態]]的[[核（代數）|核]]）。''N''的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此''G''/''N''同構於非零實數的乘法群。

*考慮阿貝爾群'''Z'''<sub>4</sub> = '''Z'''/4'''Z'''（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }帶有加法[[模算術|模]]4），和它的子群{ 0, 2 }。商群'''Z'''<sub>4</sub> / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。這是帶有單位元{ 0, 2 }的群，群運算如{ 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同構於'''Z'''<sub>2</sub>。

*考慮乘法群<math>G=\mathbf{Z}^*_{n^2}</math>。第''n''個馀數的集合''N''是<math>\mathbf{Z}^*_n</math>的[[歐拉函數|''ϕ'' (''n'')]]階乘法子群。則''N''在''G''中是正規子群并且因子群''G''/''N''有陪集''N'',（1+''n''）''N'', (1+''n'')<sup>2</sup>N,…,(1+''n'')<sup>''n''−1</sup>N。[[Pallier加密系統]]基于了在不知道''n''的因子分解的時候難于確定''G''的隨機元素的陪集的[[猜想]]。

==性質==

商群 <math>G/G</math> [[群同構|同構]]於平凡群（只有一個元素的群），而 <math>G</math> 關於平凡群的商群 <math>G/\{e\}</math> 同構於 <math>G</math> 。

<math>G/N</math> 的[[階 (群論)|階]]定義為 <math>[G:N]</math> ，它是 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中的[[陪集|子群的指標]]（index）。如果 <math>G</math> 是有限群，指標等于 <math>G</math> 的階除以 <math>N</math> 的階。注意 <math>G</math> 和 <math>N</math> 都是無限群的時候 <math>G/N</math> 可以是有限的（比如 <math>\mathbb{Z} / 2\mathbb{N}</math> 的階是 <math>2</math> ）。

有一個“自然”[[滿射]][[群同態]] <math>\pi : G \rightarrow G/N</math> ，把每個 <math>G</math> 的元素 <math>g</math> 映射到 <math>g</math> 所屬于的 <math>N</math> 的陪集上，即 <math>\pi(g) = gN</math> 。映射 <math>\pi</math> 有時叫做「 <math>G</math> 到 <math>G/N</math> 上的'''規范投影'''」。它的[[核 (代數)|核]]是 <math>N</math> 。 

在包含 <math>N</math> 的 <math>G</math> 的子群和 <math>G/N</math> 的子群之間有一個雙射映射；如果 <math>H</math> 是 <math>G</math> 中一個包含 <math>N</math> 的子群，則對應的 <math>G/H</math> 的子群是 <math>\pi(H)</math> 。這個映射對于 <math>G</math> 的正規子群和 <math>G/H</math> 也成立，并在[[格定理]]中形式化。

商群的一些重要性質記錄在[[同態基本定理]]和[[同構基本定理]]中。

如果 <math>G</math> 是[[阿貝爾群]]、[[冪零群]]或[[可解群]]，則 <math>G/N</math> 也是。

如果 <math>G</math> 是[[循環群]]或[[群的生成集合|有限生成群]]，則 <math>G/N</math> 也是。

如果 <math>N</math> 被包含在 <math>G</math> 的[[中心 (群論)|中心]]內，則 <math>G</math> 也叫做這個商群的[[群擴張|中心擴張]]。

如果 <math>H</math> 是在有限群 <math>G</math> 中的子群，并且 <math>H</math> 的階等於 <math>G</math> 的階的一半，則 <math>H</math> 必然是正規子群，因此 <math>G/H</math> 存在并同構於 <math>C_2</math> 。這個結果還可以陳述為“任何指標為 <math>2</math> 的子群都是正規子群”。這一結論也適用於無限群。

所有群都同構於一個[[自由群]]的商。

有時但非必然的，群 <math>G</math> 可以從 <math>G/N</math> 和 <math>N</math> 重構為一個[[直積]]或[[半直積]]。判定何時成立的問題叫做[[群擴張|擴張問題]]。不成立的一個例子如下。 <math>\mathbb{Z}_4 / \{0, 2\}</math> 同構於 <math>\mathbb{Z}_2</math> ，并且還同構於 <math>\{0, 2\}</math> ，但是其唯一的半直積是直積，因為 <math>\mathbb{Z}_2</math> 只有一個平凡的[[自同構]]。所以 <math>\mathbb{Z}_4</math> 不同于 <math>\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2</math> ，它不能被重構。

==參見==

*[[商環]]，也叫做因子環
*[[群擴張]]
*[[格定理]]
*[[商范疇]]
*[[正合序列|短正合序列]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論]]