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在[[线性代数]]中，一个[[向量空间]]''V''关于[[线性子空间|子空间]]''N''的'''商'''是将''N''“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为'''商空间'''（{{lang|en|quotient space}}），记作''V''/''N''（读作：''V''模''N''）。

== 定义 ==

正式地，此构造如下{{harv|Halmos|1974|loc=§21-22}}。设''V''是[[域_(数学)|域]]''K''上的一个[[向量空间]]，且''N''是''V''的一个[[线性子空间|子空间]]。我们定义在''V''上定义一个[[等价关系]]~，如果''x'' − ''y'' ∈ ''N''则令''x'' ~ ''y''。即如果其中一个加上''N''中一个元素得到另一个，则''x''与''y''相关。''x''的所在等价类通常记作

:[''x''] = ''x'' + ''N''，
因为它由
:[''x''] = {''x'' + ''n'' : ''n'' ∈ ''N''}给出。

那么商空间''V''/''N''定义为''V''/~，''V''在~下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为
* α[''x''] = [α''x'']对所有α ∈ ''K''，以及
* [''x''] + [''y''] = [''x''+''y'']。
不难验证这些运算是[[定义良好|良定义]]的（即与代表元之选取无关）。这些运算将商空间''V''/''N''转化为''K''上一个向量空间，''N''成为零类[0]。相對應的，商映射即定義為''v''&nbsp;&isin;&nbsp;''V''與等價類[''v'']之映射

== 例子与性质 ==

令''X'' = '''R'''<sup>2</sup>为标准[[笛卡儿平面]]，''Y''是''X''中过原点的一条直线。则商空间''X''/''Y''可与''X''中与''Y''平行的所有直线等价。这就是讲，集合''X''/''Y''的元素是''X''中平行于''Y''的元素。要注意的是，''X'',''Y''是集合而不是单一的向量，如果''W''表示向量(0,1)的线性生成空间,那么X/W = [0,1]。[0,1]作为一个等价类,包括了诸如 x = 1, x = 2等等的直线。从另一方面来讲，如果''W''表示向量(1,0)的线性生成空间,那么X/W = [1,0]，包括了诸如y = 1, y = -1等等的直线。

另一个例子是'''R'''<sup>''n''</sup>被前''m''个标准基向量张成的子空间的商。空间'''R'''<sup>''n''</sup>由所有实数''n''-元组 (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''n''</sub>)组成。子空间，与'''R'''<sup>''m''</sup>等价，由只有前''m''元素是非零 (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''m''</sub>,0,0,…,0)的所有''n''-元组组成。'''R'''<sup>''n''</sup>的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后''n'' − ''m''个坐标相等。商空间'''R'''<sup>''n''</sup>/ '''R'''<sup>''m''</sup>显然地[[同构]]于'''R'''<sup>''n''−''m''</sup>。

更一般地，如果''V''写成子空间''U''与''W''的一个（内部）[[直和]]：
:<math>V=U\oplus W</math>
则商空间''V''/''U''自然同构于''W'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.1}}。

如果''U''是''V''的一个子空间，''U''在''V''中的[[餘维数]]定义为''V''/''U''的[[维数 (向量空间)|维数]]。如果''V''是[[有限维]]的，这就是''V''与''U''的维数之差{{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.2}}：
:<math>\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).</math>

从''V''到商空间''V''/''U''有一个自然[[满射]]，将''x''映到它的等价类[''x'']。这个满射的[[核 (代数)|核]]（或[[零空间]]）是子空间''U''。此关系简单地总结为[[短正合序列]]
:<math>0\to U\to V\to V/U\to 0.\,</math>

令''T'' : ''V'' → ''W''是一个[[线性算子]]。''T''的核，记作ker(''T'')，是所有''x'' ∈ ''V''使得''Tx'' = 0的集合。核是''V''的一个子空间。线性代数[[第一同构定理]]说商空间''V''/ker(''T'')同构于''V''在''W''中的像。一个直接推论，对有限维空间的[[秩-零化度定理]]：''V''的维数等于核的维数（''T''的零化度）加上像的维数（''T''的秩）。

线性算子''T'' : ''V'' → ''W''的[[余核]]定义为商空间''W''/im(''T'')。

== 巴拿赫空间的商空间 ==

如果''X''是一个[[巴拿赫空间]]而''M''是''X''的一个[[闭集|闭]]子空间，则商''X''/''M''仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义''X''/''M''上一个[[范数]]为
:<math> \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X. </math>

商空间''X''/''M''关于此范数是[[完备空间|完备]]的，所以是一个巴拿赫空间。

=== 例子 ===

令''C''[0,1]表示区间[0,1]上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数''f'' ∈ ''C''[0,1]使得''f''(0) = 0的子空间为''M''。则某个函数''g''的等价类由它在0点的值决定，商空间''C''[0,1]/''M''同构于'''R'''。

如果''X''是一个[[希尔伯特空间]]，则商空间''X''/''M''同构于''M''的[[希尔伯特空间#正交补和投影|正交补]]。

=== 推广到局部凸空间 ===

[[局部凸空间]]被一个闭子空间商还是局部凸的{{harv|Dieudonné|1970|loc=12.14.8}}。事实上，假设''X''是局部凸的所以''X''上的拓扑由一族[[半范数]]{''p''<sub>α</sub>|α∈''A''}生成，这里''A''是一个指标集。设''M''是一个闭子空间，定义''X''/''M''上半范数''q''<sub>α</sub>为

:<math>q_\alpha([x]) = \inf_{x\in [x]} p_\alpha(x).</math>

则''X''/''M''是一个局部凸空间，上面的拓扑是[[商拓扑]]。

进一步，若''X''是[[可度量化]]的，则  ''X''/''M''也是；如果''X''是[[弗雷歇空间]]，''X''/''M''{{harv|Dieudonné|1970|loc=12.11.3}}也是。

== 相关条目 ==

* [[商集合]]
* [[商群]]
* [[商模]]
* [[拓扑]]學之[[商空间]]

== 参考文献 ==
* {{citation|first=Paul|last=Halmos|authorlink=保罗·哈尔莫斯|title=Finite dimensional vector spaces|publisher=Springer|year=1974|isbn=978-0387900933}}.
* {{citation|first=Jean|last=Dieudonné|authorlink=让·迪厄多内|title=Treatise on analysis, Volume II|publisher=Academic Press|year=1970}}.

[[Category:线性代数|S]]
[[Category:泛函分析|S]]