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{{Dablink|本文介绍拓扑学中的商空间，线性代数中的商空间参见[[商空间 (线性代数)|商空间]]。}}

在[[拓扑学]]及其相关[[数学]]领域，一个'''商空间'''（{{lang|en|quotient space}}，也称为'''等化空间'''{{lang|en|identification space}}）直观上说是将一个给定[[拓扑空间|空间]]的一些点等同或“黏合在一起”；由一个[[等价关系]]确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。

== 定义 ==

假设''X''是一个[[拓扑空间]]，~是''X''上一个[[等价关系]]。我们能夠在[[商集合]]''X''/~（这个集合有所有~的[[等价类]]组成）上定义一个拓扑使得：''X''/~中一个等价集合是[[开集]][[当且仅当]]他们的[[并集]]在''X''中是开集。所得的拓扑称为在商集合''X''/~上的'''商拓扑'''（{{lang|en|quotient topology}}）。

商拓扑可以由如下方式等價地定義：设''q'' : ''X'' → ''X''/~是将''X''的任何元素映为它的等价类的[[投影_(線性代數)|投影映射]]（<math>x \mapsto [x]</math>）。则''X''/~上的商拓扑定義為使''q'' [[连续函数 (拓扑学)|连续]]的[[拓撲比較|最细拓扑]]（{{lang|en|finest topology}}）。

给定一个从拓扑空间''X''到[[集合 (數學)|集合]]''Y''的[[满射]]''f'' : ''X'' → ''Y''，我们可以在''Y''上定义商拓扑为使''f''连续的最细拓扑。这等价于说集合''V'' ⊆ ''Y''在''Y''中开当且仅当它的[[原像]]''f''<sup>−1</sup>(''V'')在''X''中开。映射''f''在''X''上诱导了一个等价关系，即''x''<sub>1</sub>~''x''<sub>2</sub>当且仅当''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''（''x''<sub>2</sub>）。这个商空间''X''/~ [[同胚]]于''Y''（带着它的商拓扑），同构映射为将''x''的等价类映为''f''(''x'')。

一般地，如果''Y''具有由一个满连续映射''f'' : ''X'' → ''Y''确定的商拓扑，則''f''称为一个'''商映射'''（{{lang|en|quotient map}}）。

== 例子 ==
* '''黏合'''：通常，拓扑学家讨论将一些点黏合在一起。如果''X''是一个拓扑空间，点<math>x,y \in X</math>“黏合”在一起，这意味着我们考虑由等价关系''a~b''当且仅当''a = b''或''a = x, b = y''（或''a = y, b = x''）得到的商空间。即这两个点被看作一个。
* 考虑一个单位正方形''I''<sup>2</sup> = [0,1]×[0,1]以及由所有边界点等价生成的等价关系~，从而所有边界点等同到一个等价类。则''I''<sup>2</sup>/~同构于[[球面|单位球面]]''S''<sup>2</sup>。
* '''[[黏着空间]]'''（{{lang|en|Adjunction space}}）：更一般地，假设''X''是一个空间，''A''是''X''的一个[[子空间 (拓扑学)|子空间]]。我们可以将''A''中所有点等同到一个等价类，而''A''以外的点不变。所得的空间记作''X''/''A''。2维球面同构于将单位圆盘的边界等同为一个点''D''<sup>2</sup>/∂''D''<sup>2</sup>。
* 考虑集合''X'' = <math>\R</math>，取通常拓扑的实数集，记''x'' ~ ''y'' [[当且仅当]]''x''−''y''是一个[[整数]]。则商空间''X''/~同构于[[单位圆周]]''S''<sup>1</sup>，同构映射为将''x''的等价类映为  exp（2π''ix''）。
* 上一个例子的一类大量的推广如下：假设一个[[拓扑群]]''G''连续[[群作用|作用]]在空间''X''上。我们可以构造''X''上一个等价关系，如果两点等价当且仅当它们在同一个[[轨道 (群论)|轨道]]中。这个关系下的商空间称为'''轨道空间'''，记作''X''/''G''。上一个例子中''G'' = <math>\Z</math>通过平移作用在<math>\R</math>上。轨道空间<math>\R/\Z</math>同构于''S''<sup>1</sup>。

:'''注'''：记号<math>\R/\Z</math>有歧义：如果<math>\Z</math>理解成一个群作用在<math>\R</math>上则商空间是圆周；如果<math>\Z</math>看作<math>\R</math>的一个子空间，则商空间是无穷的{{tsl|en|bouquet of circles|一束圆}}在同一个点連接起来。

== 性质 ==

商映射  ''q'' : ''X'' → ''Y''是由如下性质刻画的满射：如果''Z''是任何拓扑空间，''f'' : ''Y'' → ''Z''是任何函数，则''f''连续当且仅当''f'' <small>O</small> ''q''连续。

[[File:QuotientSpace-01.png|center|商空间的特征性质]]

商空间''X''/~与商映''q'' : ''X'' → ''X''/~一起由如下[[泛性质]]刻画。如果''g'' : ''X'' → ''Z''是一个连续映射使得：对所有''a''与''b''属于''X''，''a''~''b''蕴含''g''(''a'')=''g''(''b'')，则存在惟一连续映射''f'' : ''X''/~ → ''Z''使得''g'' = ''f'' <small>O</small> ''q''。我们称  ''g''“下降到商”。

因此定义在''X''/~商的连续映射恰是由定义在''X''上与等价关系一致的连续映射（它们将同一个等价类中的元素映到相同的像）诱导的。在研究商空间时，时常使用这个判据。

给定一个连续满射''f'' : ''X'' → ''Y''，关于''f''是否为商映射的判据是有用的。两个充分条件是''f''为[[开映射]]或[[闭映射]]。注意这两个条件只是[[充分条件]]而不是[[必要条件|必要的]]。容易构造出不开或不闭的商映射例子。

== 与其它拓扑概念的相容性 ==
* [[分离公理|分离]]
** 一般地，商空间关于分离公理的表现都很坏。''X''的分离性质不必被''X''/~继承，而''X''/~可能具有''X''所没有的分离性质。
** ''X''/~是一个[[T1空间]]当且仅当~的任何等价类在''X''中闭。 
** 如果商映射[[开映射|开]]则''X''/~是一个[[豪斯多夫空间]]当且仅当~是[[乘积空间]]''X''×''X''的一个子集。
* [[连通性]]
** 如果一个空间是连通的或[[道路连通]]，则所有的商空间也是。
** 一个[[单连通]]或[[可缩空间|可缩]]空间的商空间不必具有同样的性质。
* [[紧空间|紧性]]
** 如果一个空间紧，则所有商空间也是。
** 一个[[局部紧]]空间的商空间不必是局部紧的。
* [[维数]]
** 一个商空间的[[拓扑维数]]可能比原空间大（顯然也可能比較小），[[皮亚诺曲线]]（{{lang|en|space-filling curve}}）提供了这样的例子。

== 又见 ==
=== 拓扑学 ===
* [[子空间 (拓扑学)|子空间]]
* [[乘积空间]]
* [[不交并 (拓扑学)|不交并]]
* {{tsl|en|Final topology|最终拓扑}}
=== 代数 ===
* [[商群]]
* [[商空间 (线性代数)|商空间]]
* [[商范畴]]

== 参考 ==
* Stephen Willard, ''General Topology'', (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
* {{planetmath reference|id=2930|title=Quotient space|urlname=quotientspace}}

{{点集拓扑}}
[[Category:拓扑学|S]]
[[Category:点集拓扑学|S]]
[[Category:群作用|S]]