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{{多個問題|

{{refimprove|time=2019-09-03T11:25:10+00:00}}
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{{noteTA
|T=zh-cn:唯一素数;zh-tw:唯一質數;zh-hk:唯一質數;
|1=zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數;
|G1=Math
}}
'''唯一素数'''（{{lang|en|'''Unique prime'''}}）是指一個不為2、5（在[[十進位]]時），且有以下性質的[[質數]]''p''：不存在其他質數''q''，其[[倒數]]1 / ''q''的[[循环小数|循环節]]長度和1 / ''p''的循环節長度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates所提出。

可以證明素数''p''其倒數的循环節長度為''n''[[若且唯若]]存在一自然數''c''使得下式成立'''（下面内容仅限于[[十进制]]范畴）'''：

:<math>\frac{\Phi_n(10)}{\gcd(\Phi_n(10),n)} = p^c</math>

其中&Phi;<sub>''n''</sub>(''x'')為n次的[[分圓多項式]]。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素数或者有此性質的[[可能質數]]，但是小於10<sup>100</sup>的唯一素数-{只}-有23個。以下是這些唯一素数{{OEIS|id=A040017}}及其循环節位數{{OEIS|id=A051627}}：

<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th>倒數循环節長度</th><th>素数</th></tr>
<tr><td align="right">1</td><td align="right">[[3]]</td></tr>
<tr><td align="right">2</td><td align="right">[[11]]</td></tr>
<tr><td align="right">3</td><td align="right">[[37]]</td></tr>
<tr><td align="right">4</td><td align="right">[[101]]</td></tr>
<tr><td align="right">10</td><td align="right">9,091</td></tr>
<tr><td align="right">12</td><td align="right">9,901</td></tr>
<tr><td align="right">9</td><td align="right">333,667</td></tr>
<tr><td align="right">14</td><td align="right">909,091</td></tr>
<tr><td align="right">24</td><td align="right">99,990,001</td></tr>
<tr><td align="right">36</td><td align="right">999,999,000,001</td></tr>
<tr><td align="right">48</td><td align="right">9,999,999,900,000,001</td></tr>
<tr><td align="right">38</td><td align="right">909,090,909,090,909,091</td></tr>
<tr><td align="right">19</td><td align="right">1,111,111,111,111,111,111</td></tr>
<tr><td align="right">23</td><td align="right">11,111,111,111,111,111,111,111</td></tr>
<tr><td align="right">39</td><td align="right">900,900,900,900,990,990,990,991</td></tr>
<tr><td align="right">62</td><td align="right">909,090,909,090,909,090,909,090,909,091</td></tr>
<tr><td align="right">120</td><td align="right">100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001</td></tr>
<tr><td align="right">150</td><td align="right">10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001</td></tr>
<tr><td align="right">106</td><td align="right">9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091</td></tr>
<tr><td align="right">93</td><td align="right">900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991</td></tr>
<tr><td align="right">134</td><td align="right">909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091</td></tr>
<tr><td align="right">294</td><td align="right">142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143</td></tr>
<tr><td align="right">196</td><td align="right">999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001</td></tr>
</table>

倒數循环節長度294位的唯一素数類似7的倒數（0.142857142857142857...）。

接續上表的第24個唯一素数有128位，倒數循环節長度為320位，可以寫成(9<sub>32</sub>0<sub>32</sub>)<sub>2</sub>+1，其中下標''n''表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現''n''次。

所有[[循環單位]]素数都是唯一素数。依照循環單位素数及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素数非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素数。

至2010年為止，循環單位(10<sup>270343</sup>-1)/9是已知最大的可能唯一素数<ref>{{Cite web |url=http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php |title=PRP Records: Probable Primes Top 10000 |accessdate=2013-01-11 |archive-date=2010-02-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100225062656/http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php |dead-url=yes }}</ref>。

至1996年為止，確定是質數的最大唯一素数是(10<sup>1132</sup> + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)<sub>141</sub>+ 1，其倒數循环節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素数，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素数有10081位數<ref>{{Cite web |url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=62 |title=''The Top Twenty Unique''; Chris Caldwell |accessdate=2013-01-11 |archive-date=2020-11-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201120055027/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=62 |dead-url=no }}</ref>。

== [[二進制]]中的唯一質數 ==
[[3]], [[5]], [[7]], [[11]], [[13]], [[17]], [[19]], [[31]], [[41]], [[43]], [[73]], [[127]], [[151]], [[241]], [[257]], [[331]], [[337]], [[683]], ...... {{OEIS|id=A144755}}：

其循環節長度分別為：
[[2]], [[4]], [[3]], [[10]], [[12]], [[8]], [[18]], [[5]], [[20]], [[14]], [[9]], [[7]], [[15]], [[24]], [[16]], [[30]], [[21]], [[22]], ......{{OEIS|id=A161508}}：

這當中包含了所有[[費馬質數]](循環節長度為2的乘方)，[[梅森質數]](循環節長度為質數)及[[瓦格斯塔夫質數]](循環節長度為奇質數的兩倍)

以下為不超過2<sup>64</sup>之二進制唯一質數列表：
<table border="1" cellpadding="2">
<tr><th>倒數循环節長度</th><th>素数</th><th>二進位表示法</th></tr>
<tr><td align="right">2</td><td align="right">[[3]]</td><td align="right">11</td></tr>
<tr><td align="right">4</td><td align="right">[[5]]</td><td align="right">101</td></tr>
<tr><td align="right">3</td><td align="right">[[7]]</td><td align="right">111</td></tr>
<tr><td align="right">10</td><td align="right">[[11]]</td><td align="right">1011</td></tr>
<tr><td align="right">12</td><td align="right">[[13]]</td><td align="right">1101</td></tr>
<tr><td align="right">8</td><td align="right">[[17]]</td><td align="right">1 0001</td></tr>
<tr><td align="right">18</td><td align="right">[[19]]</td><td align="right">1 0011</td></tr>
<tr><td align="right">5</td><td align="right">[[31]]</td><td align="right">1 1111</td></tr>
<tr><td align="right">20</td><td align="right">[[41]]</td><td align="right">10 1001</td></tr>
<tr><td align="right">14</td><td align="right">[[43]]</td><td align="right">10 1011</td></tr>
<tr><td align="right">9</td><td align="right">[[73]]</td><td align="right">100 1001</td></tr>
<tr><td align="right">7</td><td align="right">[[127]]</td><td align="right">111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">15</td><td align="right">[[151]]</td><td align="right">1001 0111</td></tr>
<tr><td align="right">24</td><td align="right">[[241]]</td><td align="right">1111 0001</td></tr>
<tr><td align="right">16</td><td align="right">[[257]]</td><td align="right">1 0000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">30</td><td align="right">[[331]]</td><td align="right">1 0100 1011</td></tr>
<tr><td align="right">21</td><td align="right">[[337]]</td><td align="right">1 0101 0001</td></tr>
<tr><td align="right">22</td><td align="right">[[683]]</td><td align="right">10 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">26</td><td align="right">2,731</td><td align="right">1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">42</td><td align="right">5,419</td><td align="right">1 0101 0010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">13</td><td align="right">8,191</td><td align="right">1 1111 1111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">34</td><td align="right">43,691</td><td align="right">1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">40</td><td align="right">61,681</td><td align="right">1111 0000 1111 0001</td></tr>
<tr><td align="right">32</td><td align="right">65,537</td><td align="right">1 0000 0000 0000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">54</td><td align="right">87,211</td><td align="right">1 0101 0100 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">17</td><td align="right">131,071</td><td align="right">1 1111 1111 1111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">38</td><td align="right">174,763</td><td align="right">10 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">27</td><td align="right">262,657</td><td align="right">100 0000 0010 0000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">19</td><td align="right">524,287</td><td align="right">111 1111 1111 1111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">33</td><td align="right">599,479</td><td align="right">1001 0010 0101 1011 0111</td></tr>
<tr><td align="right">46</td><td align="right">2,796,203</td><td align="right">10 1010 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">56</td><td align="right">15,790,321</td><td align="right">1111 0000 1111 0000 1111 0001</td></tr>
<tr><td align="right">90</td><td align="right">18,837,001</td><td align="right">1 0001 1111 0110 1110 0000 1001</td></tr>
<tr><td align="right">78</td><td align="right">22,366,891</td><td align="right">1 0101 0101 0100 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">62</td><td align="right">715,827,883</td><td align="right">10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">31</td><td align="right">2,147,483,647</td><td align="right">111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">80</td><td align="right">4,278,255,361</td><td align="right">1111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">120</td><td align="right">4,562,284,561</td><td align="right">1 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001</td></tr>
<tr><td align="right">126</td><td align="right">77,158,673,929</td><td align="right">1 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001</td></tr>
<tr><td align="right">150</td><td align="right">1,133,836,730,401</td><td align="right">1 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001</td></tr>
<tr><td align="right">86</td><td align="right">2,932,031,007,403</td><td align="right">10 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">98</td><td align="right">4,363,953,127,297</td><td align="right">11 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">49</td><td align="right">4,432,676,798,593</td><td align="right">100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001</td></tr>
<tr><td align="right">69</td><td align="right">10,052,678,938,039</td><td align="right">1001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111</td></tr>
<tr><td align="right">65</td><td align="right">145,295,143,558,111</td><td align="right">1000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111</td></tr>
<tr><td align="right">174</td><td align="right">96,076,791,871,613,611</td><td align="right">1 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">77</td><td align="right">581,283,643,249,112,959</td><td align="right">1000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">93</td><td align="right">658,812,288,653,553,079</td><td align="right">1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111</td></tr>
<tr><td align="right">122</td><td align="right">768,614,336,404,564,651</td><td align="right">1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011</td></tr>
<tr><td align="right">61</td><td align="right">2,305,843,009,213,693,951</td><td align="right">1 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111</td></tr>
<tr><td align="right">85</td><td align="right">9,520,972,806,333,758,431</td><td align="right">1000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111</td></tr>
<tr><td align="right">192</td><td align="right">18,446,744,069,414,584,321</td><td align="right">1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001</td></tr>
</table>

== 參考資料 ==

{{reflist}}

== 外部連結 ==
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=UniquePrime The Prime Glossary: Unique prime]{{Wayback|url=http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=UniquePrime |date=20201120052558 }}
* [http://primes.utm.edu/lists/top_ten/topten.pdf Prime Top Tens]{{Wayback|url=http://primes.utm.edu/lists/top_ten/topten.pdf |date=20201123053517 }}
* [http://www.utm.edu/staff/caldwell/preprints/unique.pdf Unique Period Primes]{{Wayback|url=http://www.utm.edu/staff/caldwell/preprints/unique.pdf |date=20170808172317 }}
* [https://web.archive.org/web/20140506094456/http://mada.la.coocan.jp/nrr/repunit/ Factorization of 11...11 (Repunit)]

{{質數}}
[[Category:素數]]