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{{NoteTA
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{{環論|交換}}
在[[數學]]中，'''唯一分解整环'''（{{lang-en|Unique factorization domain}}，縮寫：'''UFD'''）是一個[[整環]]，其中元素都可以表示成有限個[[不可約元素]]（或[[素元]]）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足[[算術基本定理]]的整環。

== 定義 ==
一個[[整環]]<math>R</math>被稱為'''唯一分解整环'''若且唯若<math>R</math>中的每個非零元素<math>x</math>皆可表示為一個[[可逆元素]]和若干個[[不可約元素]]（可以是0個）的乘積：
: <math>x = u p_1 p_2 \cdots p_n</math>
其中<math>u</math>是一個[[可逆元素]]，<math>p_1, \cdots ,p_n</math>是[[不可約元素]]，<math>n</math>是非負整數。並且如果存在<math>x</math>的另一種表示法此表法<math>x = v q_1 q_2 \cdots q_m</math>（<math>v</math>是[[可逆元素]]，<math>q_1, \cdots ,q_m</math>是[[不可約元素]]），則<math>m=n</math>，且存在一個下標的重排<math>\sigma \in S_n</math>與[[可逆元素]]<math>w_1, \cdots ,w_n</math>使得<math>q_i = w_i p_{\sigma(i)}</math> （<math>i=1,\cdots,n</math>），換句話說，存在<math>\sigma \in S_n</math>使得<math>q_i</math>和<math>p_{\sigma(i)}</math>相伴。

== 例子 ==
* [[主理想整环]]，特別是[[歐幾里得整环]]。由此可知[[整數]]、[[高斯整數]]與[[艾森斯坦整數]]環都是唯一分解整环。
* [[體 (數學)|體]]也是唯一分解整环。
* 若<math>R</math>為唯一分解整环，則[[多項式環]]<math>R[X]</math>亦然。(高斯引理)
由此可知任意有限個變元的多項式環<math>R[X_1, \ldots, X_n]</math>也是唯一分解整环，但是一般來說<math>R[X]</math>並不是[[主理想整环]]，除非<math>R</math>是一個[[體 (數學)|體]]。
* [[複流形]]（例如<math>\mathbb{C}</math>）上一點的[[局部環]]是唯一分解整环。
* [[正則局部環]]皆為唯一分解整环。

以下給出幾個反例：
* 環<math>\Z[\sqrt{-5}]</math>並非唯一分解環，因為
: <math>(6)=(2)(3)=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})</math>
* 令<math>R</math>為任一[[交換環]]，則<math>R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)</math>非唯一分解整环；當<math>R</math>為域時，這在幾何上對應到一個奇點。

== 性質 ==
整數的一些概念可以推廣至唯一分解整环：

* 在任意整環中，素元必為不可約元；在唯一分解整环中，不可約元必為素元。
* 任意有限個元素有[[最大公因數]]與[[最小公倍數]]，它們在至多差一個可逆元的意義下唯一。

== 等價條件 ==
* 一個[[諾特環|諾特]][[整環]]是唯一分解整环若且唯若每個[[高度 (環論)|高度]]為一的[[素理想]]都是主理想（即：由單個元素生成）。
* 一個整環是唯一分解整环若且唯若升鏈條件對主理想成立，而且任兩個元素有[[最小公倍數]]。
* 一個整環是唯一分解整环若且唯若其[[理想类群|類群]]為平凡群。

== 文獻 ==
* I. N. Herstein, ''Topics in Algebra'' (1975), Wiley. ISBN 0-471-01090-1
* H. Matsumura, ''Commutative algebra'' (1980), Benjamin-Cummings Pub Co. ISBN 0-8053-7026-9

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