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'''哥德爾本體論證明'''是數學家[[库尔特·哥德尔]]對11世紀意大利僧侶[[坎特伯雷的安瑟莫|聖安瑟倫]]對於神存在性的本體論論點整理並改進後所作的數學表達方式。[[坎特伯雷的安瑟莫|聖安瑟倫]]後曾有17世紀的[[戈特弗里德·莱布尼茨|莱布尼茨]]提出了另一個較複雜的[[宇宙論證]]版本，而這個就是哥德爾所研究並嘗試用其本體論邏輯論點去澄清的版本。

雖然哥德爾有宗教信仰，他從未發表這個證明。他在1970年代絕食而死的前幾年不斷將這個論點向身邊的朋友們展示，他去世九年後，即1987年，這論點才被出版。

[[库尔特·哥德尔|哥德爾]]的論證證明用上了由他本人及[[索尔·阿伦·克里普克|克里普克]]等20世紀邏輯學家所發展的[[模态逻辑]]，分開了''必需''的真與''偶然''的真。<math>\Box</math> 表示'''必然性'''，而 <math>\Diamond</math> 表示'''可能性'''。證明的關鍵在於利用「神可能存在」（定理２）及神的極致性（定義１）去推導出「神必然存在」（定理４）。在[[S5 (模态逻辑)|S5模態邏輯系統]]的框架下，這項結論可謂全然有效，因此相當驚人。然而，若使用相同的邏輯推論去假設極致偉大的存有不存在，也同樣沒有任何自相矛盾之處。

==證明==

===聖安瑟倫的論點===
11世紀的[[意大利]]僧侶[[坎特伯雷的安瑟莫|聖安瑟倫]]，其論點用最簡潔的表達如下：「God, by definition, is that than which a greater cannot be thought（i.e.<math>G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]</math>）. God exists in the understanding（i.e.<math>\Diamond\; \exists x\; G(x)</math>）. If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in [[現實|reality]]. Therefore, God must exist.<math>\Box\; \exists x\; G(x)</math>」。也就是：

'''1'''：根据定义，我们不能想出任何比神更伟大的存在。

'''2'''：神存在于我们的思想之中。

'''3'''：如果神存在于我们的思想之中，那么我们可以想象，如果神存在于实际之中的话，祂就更加伟大。

'''推论'''：神必须存在。

===哥德爾的證明===

哥德爾的證明若以符號表達，則如下：

 <math>G</math> 解「像神特性」，<math>\varphi</math>及<math>\psi</math>為任一特性，<math>P(\varphi)</math> 解 「<math>\varphi</math> 為正（可解「完美」或「偉大」）特性」， <math>\varphi(x)</math> 解「 x 擁有 <math>\varphi</math> 特性」，<math>E</math> 解「必需存在」， <math>\varphi\;\operatorname{ess}\;x</math> 解 「<math>\varphi</math> 是 x 的本質（essence）」，<math>\Box</math> 表示「必然性」，而 <math>\Diamond</math> 表示「可能性」:

<math>
\begin{array}{rl}
\mbox{Ax. 0.} & \Box\; \exists \varphi\; P(\varphi)\\

\mbox{Ax. 1.} & \lbrace P(\varphi) \land \Box\; \forall x [\varphi(x) \rightarrow \psi(x)]\rbrace \rightarrow P(\psi)\\

\mbox{Ax. 2.} & P(\neg \varphi) \leftrightarrow \neg P(\varphi)\\

\mbox{Th. 1.} & P(\varphi) \rightarrow \Diamond\; \exists x\; [\varphi(x)]\\

\mbox{Df. 1.} & G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]\\

\mbox{Ax. 3.} & P(G)\\

\mbox{Th. 2.} & \Diamond\; \exists x\; G(x)\\

\mbox{Df. 2.} & \varphi\;\operatorname{ess}\;x \iff \varphi(x) \land \forall\psi\lbrace\psi(x) \rightarrow \Box\; \forall y[\varphi(y) \rightarrow \psi(y)]\rbrace\\

\mbox{Ax. 4.} & P(\varphi) \rightarrow \Box\; P(\varphi)\\

\mbox{Th. 3.} & G(x) \rightarrow G\;\operatorname{ess}\;x\\

\mbox{Df. 3.} & E(x) \iff \forall \varphi[\varphi\;\operatorname{ess}\;x \rightarrow \Box\; \exists y\; \varphi(y)]\\

\mbox{Ax. 5.} & P(E)\\

\mbox{Th. 4.} & \Box\; \exists x\; G(x)
\end{array}
</math>

====語譯====

{{HideH|語譯}}

'''公設 0'''：在所有特性中挑出正特性<math>\varphi</math>是可能的。（i.e.在所有特性當中，我們總得界別其中一些為正，否則定義正特性已經沒意思了。）

'''公設 1'''：任何被一個正特性<math>\varphi</math>必然蘊涵的特性<math>\psi</math>為正。<!--（i.e.不明白，集合<math>\psi</math>不是包含集合<math>\varphi</math>嗎?）-->

'''公設 2'''：一個特性<math>\varphi</math>的[[邏輯非]]爲正若且唯若<math>\varphi</math>為非正。（i.e.特性<math>\varphi</math>與非<math>\varphi</math>必為一正一非正）

'''定理 1'''：如果一個特性<math>\varphi</math>為正，那它是相容（consistent）的，即是，<math>\varphi</math>可能找得到例子（exemplified）。（i.e.所有正的特性都可能存在實例。）

'''定義 1'''：x像神若且唯若x擁有所有正特性。（i.e.神就是擁有所有正特性的物體）

'''公設 3'''：像神特性G為正（i.e.能稱得上神，是一種正特性）<!--（再加上公設 1，得出：神所擁有的所有特性皆為正。這為定義 1沒指「神擁有的特性必正」作出了補充。）-->

'''定理 2'''：可能存在一個物體x像神（i.e.神可能存在）。

'''定義 2'''：<math>\varphi</math>是x的本質（essence）若且唯若「<math>\varphi</math>是x的特性」及「對於x所擁有的每一個特性<math>\psi</math>，對所有y而言<math>\psi</math>皆由<math>\varphi</math>而來」

'''公設 4'''：假如一個特性<math>\varphi</math>為正，那<math>\varphi</math>必然為正。

'''定理 3'''：假若一件物體x像神，那像神的特性G是其本質（essence）。

'''定義 3'''：x必需存在若且唯若x的每一個本質（essence）<math>\varphi</math>必然能找得到例子（exemplified）

'''公設 5'''：「必需存在」此特性（名為特性E），為正。

'''定理 4'''：像神的特性G必然能找到例子（exemplified）（i.e.神必然存在）。

{{HideF}}

====定理 1至4的證明====

{{HideH|Th. 1的證明}}
:<math>P(\varphi)\to\neg P(\neg \varphi)\mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}\;</math>
:<math>\to\neg\lbrace P(\varphi) \land \Box\;\forall x [\varphi(x) \to (\neg \varphi)(x)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Ax. 1)}\;</math>
:<math>\to\neg\Box\;\forall x [\varphi(x) \to \neg \varphi(x)]\mbox{  (i.e.}\ ( \lnot \varphi)(x) \mbox{ 的 定 義 為 }\ \lnot ( \varphi(x))</math>
:<math>\to\Diamond\;\neg \forall x [\varphi(x) \to \neg\varphi(x)]\;</math>
:<math>\to\Diamond\;\exists x \lbrace\neg[\varphi(x)\to\neg\varphi(x)]\rbrace\;</math>
:<math>\to\Diamond\;\exists x [\varphi(x)]\;</math>

{{HideF}}

{{HideH|Th. 2的證明}}

:<math> P(G) \mbox{ (i.e. 由 Ax. 3)}\;</math>
:<math> \rightarrow \Diamond\ \exists x [G(x)] \mbox{ (i.e. 由 Th. 1)}\;</math>

{{HideF}}

{{HideH|Th. 3的證明}}
Lemma 1:
:<math>\forall \varphi [P( \varphi ) \rightarrow \varphi (x)]</math>
:<math>\rightarrow \forall \varphi [P( \lnot \varphi ) \rightarrow ( \lnot \varphi )(x)]</math>
:<math>\rightarrow \forall \varphi [ \lnot P( \varphi ) \rightarrow \lnot \varphi (x)] \mbox{ (i.e. 由 Ax. 2)}\;</math>
:<math>\rightarrow \forall \varphi [ P( \varphi ) \leftarrow \varphi (x)]</math>

Lemma 2:
:<math>G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)] \mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;</math>
:<math>\rightarrow \lbrace G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \iff \varphi(x)] \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Lemma 1)}\;</math>

Lemma 3:
:<math> \Box \forall y \lbrace G(y) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(y)] \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;</math>
:<math> \rightarrow \Box \forall y ( \forall \varphi \lbrace [G(y) \land P(\varphi)] \rightarrow \varphi(y) \rbrace )</math>
:<math> \rightarrow \forall \varphi \lbrace P( \varphi ) \rightarrow [ \Box \forall y (G(y) \rightarrow \varphi (y))] \rbrace</math>

Th. 3的證明:
:<math> G(x) \rightarrow G(x) \land \forall \varphi \lbrace \varphi (x) \rightarrow P( \varphi ) \rbrace \mbox{ (i.e. 由 Lemma 2)}\;</math>
:<math> \rightarrow (G(x) \land \forall \varphi \lbrace \varphi (x) \rightarrow [ \Box \forall y (G(y) \rightarrow \varphi (y))] \rbrace ) \mbox{ (i.e. 由 Lemma 3)}\;</math>
:<math> \rightarrow G\;\operatorname{ess}\;x \mbox{ (i.e. 由 Df. 2)}\;</math>

{{HideF}}

{{HideH|Th. 4的證明}}
:<math> \Diamond\;\exists x [G(x)]\to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land \forall \varphi [P(\varphi)\to \varphi(x)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Df. 1)}\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land [P(E)\to E(x)]\rbrace\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\exists x [G(x) \land E(x)]\mbox{ (i.e. 由 Ax. 5)}\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\exists x ( G(x) \land \forall \varphi\lbrace\varphi\;\operatorname{ess}\;x \to \Box\;\exists y [\varphi(y)]\rbrace)\mbox{ (i.e. 由 Df. 3)}\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\exists x (G(x) \land \lbrace G\;\operatorname{ess}\;x\to\Box\;\exists y [G(y)]\rbrace)\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\exists x \lbrace G(x) \land \Box\;\exists y [G(y)]\rbrace\mbox{ (i.e. 由 Th. 3)}\;</math>
:<math> \to \Diamond\;\Box\;\exists y [G(y)]\;</math>
:<math> \to \Box\;\exists y [G(y)]\mbox{ (i.e. 由 S5 中 的 公 理 E)}\;</math>
:<math> \to \Box\;\exists x [G(x)]\;</math>
:<math> \therefore \Box\;\exists x [G(x)]\mbox{ (i.e. 由 Th. 2)}\;</math>

{{HideF}}

====證明中用到的公設====
哥德爾證明中的[[公設]]有5項：

:'''公設 0''': 在所有特性中挑出''正''特性是可能的。哥德爾定義正特性頗不清晰：「正解作在道德美學上為正（independently of the accidental structure of the world）......It may also mean pure ''attribution'' as opposed to ''privation'' (or containing privation)." 值得注意的是，正不能簡單地被解讀爲「善」（good），因爲最大的善特性和最小的惡特性的[[合取]]是非正特性。正可以被解作「完美」（perfective），即「純粹的善」（purely good）。(Gödel 1995) 

然後我們假設以下幾個條件成立（公設 1至3可被總結為「那些正特性們形成了一個[[超滤子]]」）：

:'''公設 1''': 假如 ''φ'' 為正特性且 ''φ'' 必然蘊涵 ''ψ''，那 ''ψ'' 也是正。

:'''公設 2''': 假如 ''φ'' 是一個特性，則在 ''φ'' 與其[[邏輯非]]——「非 ''φ'' 」中有且只有一個為正特性。

:'''公設 3''': 「像神特性」G爲正特性。

:'''公設 4''': 若 ''φ'' 為正特性，則其必然為正特性。

:'''公設 5''': 「必需存在性」E爲正特性。This mirrors the key assumption in Anselm's argument.

==批評==

對'''哥德爾本體論證明'''的大部份批評，皆在於其公設部份。正如任何邏輯系統，假如其所依賴的公設備受懷疑，則結論也會受到懷疑。此情況特別適用於哥德爾的證明，因為其所依賴的5條公設，全部也是可以質疑的。此證明並不表示其結論正確，但假如你接受了那些公設，結論就是正確的。

很多哲學家質疑這些公設。第一層的攻擊，在於指出沒有任何理據支持為何這些公設為正確。第二層則是這些公設帶來一個不受歡迎的結論「模態塌陷」（modal collapse），即對於所有公式 <math>p</math>，<math>p \to \Box p</math> 成立。由 '''S5''' 的公理 '''T''' 可得 <math>\Box p \to p</math>，故<math>p \leftrightarrow \Box p</math>。這使得所有必然真、偶然真和可能真重合，並被部分哲學家解釋爲對[[自由意志]]概念的否定。

==参见==
* [[本体论证明]]
* [[绝对无限]]
* [[宗教哲学]]
* [[有神论]]

==參考文獻==
* C. Anthony Anderson, "Some Emendations of Gödel's Ontological Proof", Faith and Philosophy, Vol. 7, No 3, pp. 291–303, July 1990
* Kurt Gödel (1995). "Ontological Proof". ''Collected Works: Unpublished Essays & Lectures, Volume III''. pp. 403–404, 429-437. Oxford University Press. ISBN 0195147227
* A. P. Hazen, "On Gödel's Ontological Proof", Australasian Journal of Philosophy, Vol. 76, No 3, pp. 361–377, September 1998
* Jordan Howard Sobel, "Gödel's Ontological Proof" in ''On Being and Saying. Essays for [[Richard Cartwright (philosopher)|Richard Cartwright]],'' ed. [[Judith Jarvis Thomson]] (MIT press, 1987)
* Melvin Fitting, "Types, Tableaus, and Godel's God" Publisher: Dordrecht Kluwer Academic ©2002, ISBN 9781402006043

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20110410182503/http://www.stats.uwaterloo.ca/~cgsmall/ontology.html Kurt Gödel's Ontological Argument]
* [http://plato.stanford.edu/entries/ontological-arguments/#6 Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ontological Argument]{{Wayback|url=http://plato.stanford.edu/entries/ontological-arguments/#6 |date=20121023034929 }}

[[Category:模态逻辑]]
[[Category:神的存在性论证]]
[[Category:宗教信仰哲學]]
[[Category:本体论]]