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在[[数学]]特别是[[公理化集合论]]中，'''哈特格斯数（Hartogs number）'''是一类特殊的基数。它由[[弗里德里希·哈特格斯]]（Friedrich Hartogs）在1915年从[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]中单独导出（没有使用[[选择公理]]），用于证明对任意给定的[[良序集]]，至少有一个良序集的基数大于它。

然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合<math>X</math>，与之对应的哈特格斯数是不与<math>X</math>的任何子集[[等势]]的最小[[序数]]<math>\alpha</math>。如果<math>X</math>并非良序的话，我们其实不能说<math>\alpha</math>一定是势大于<math>X</math>的最小良序集；但是，我们仍然可以确定<math>\alpha</math>的势至少不小于——或者说大于等于——<math>X</math>的势。从<math>X</math>到<math>\alpha</math>的[[映射]]，被称作'''哈特格斯函数（Hartogs's function）'''。

== 证明 ==
由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在：

令

<math>\alpha=\{\beta\in\mathbf{Ord}|\exist i:\beta\hookrightarrow X\}</math>

为所有满足“存在从该序数<math>\beta</math>到集合<math>X</math>的单射”的序数<math>\beta</math>组成的[[类_(数学)|类]]。

首先，我们来证明<math>\alpha</math>是集合：

# 由[[幂集公理]]，<math>X\times X</math>是集合。
# 再由幂集公理，<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>是集合。（列舉出任意二元關係）
# 由[[分离公理]]，<math>X</math>的所有自反良序子集组成的类<math>W</math>是集合（因为它是从<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>中分离得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
# 由[[策梅洛-弗兰克尔集合论#6.替代公理|替换公理]]可知，<math>W</math>中良序集的[[序类型]]是集合——该集合正是<math>\alpha</math>。

接下来，由于屬於<math>\alpha</math>的元素皆是[[传递集]]，而參照传递集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於<math>\alpha</math>。因此<math>\alpha</math>是序数。更进一步地，不存在从<math>\alpha</math>到<math>X</math>的单射——否则就会导致<math>\alpha\in\alpha</math>的矛盾（因为<math>\alpha</math>是序数，这也就是说<math>\alpha<\alpha</math>）。最后，<math>\alpha</math>也是满足这一性质的最小序数，否则，如果有一序数<math>\beta<\alpha</math>，那么<math>\beta\in\alpha</math>，也就是说<math>\exist i:\beta\hookrightarrow X</math>。

而不存在<math>\alpha</math>到<math>X</math>的单射也就意味着<math>\alpha</math>与<math>X</math>的任意子集都不等势。

== 历史评价 ==
值得一提的是，在1915年，哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理，因此他的结论是单纯建立在[[策梅洛集合论]]上的，导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地，他当时考虑的是<math>X</math>的良序子集的同构类的集合，以及这一集合上“<math>A<B</math>当且仅当<math>A</math>同构于<math>B</math>的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于<math>X</math>的任意良序子集。（这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。）然而，他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（进一步则等价于[[选择公理]]）。

== 参见 ==
* [[后继基数]]（Successor cardinal）
* [[阿列夫数]]

== 参考文献 ==
* {{cite web | title=Hartogs number | url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hartogs_number | accessdate=2019-05-20 | archive-date=2017-02-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170201164904/https://en.wikipedia.org/wiki/Hartogs_number | dead-url=no }}
* {{cite book | author=郝兆宽 杨跃 | title=集合论：对无穷概念的探索 |  publisher=复旦大学出版社 | date=2015-09 | ISBN=9787309107104 | accessdate=2019-05-20 | language=中文}}

[[Category:集合论]]
[[Category:基数]]