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'''哈沙德數'''（Harshad number）是可以在某個固定的進位制中，被各位數字之和（[[數字和]]）整除的[[整數]]。

哈沙德數又稱'''尼文數'''，是因為[[伊萬·尼文]]在1997年一個有關數論的會議發表的論文。

若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數，稱為'''全哈沙德數'''（全尼文數）。只有四個全哈沙德數：[[1]]、[[2]]、[[4]]、[[6]]。（[[12]]在除[[八進制]]以外的進制中均為哈沙德數）

所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。

除非是個位數，否則[[質數]]不是哈沙德數。

在[[十進制]]中，100以內的哈沙德數包括[[1]]、[[2]]、[[3]]、[[4]]、[[5]]、[[6]]、[[7]]、[[8]]、[[9]]、[[10]]、[[12]]、[[18]]、[[20]]、[[21]]、[[24]]、[[27]]、[[30]]、[[36]]、[[40]]、[[42]]、[[45]]、[[48]]、[[50]]、[[54]]、[[60]]、[[63]]、[[70]]、[[72]]、[[80]]、[[81]]、[[84]]、[[90]]、[[100]]。<ref>{{oeis|A005349}}</ref>

==連續數個整數均為哈沙德數==
Cooper和Kennedy在1993年证明了十进制里没有21个连续整数均是哈沙德数。<ref>{{citation | zbl=0776.11003 | last1=Cooper | first1=Curtis | last2=Kennedy | first2=Robert E. | title=On consecutive Niven numbers | journal=[[Fibonacci Quarterly]] | volume=31 | number=2 | pages=146–151 | year=1993 | issn=0015-0517 | url=http://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf | accessdate=2021-10-13 | archive-date=2015-09-24 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150924015213/http://www.fq.math.ca/Scanned/31-2/cooper.pdf | dead-url=no }}</ref><ref name=HBII382>{{cite book | last1=Sándor | first1=Jozsef | last2=Crstici | first2=Borislav | title=Handbook of number theory II | url=https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741 | url-access=limited | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | zbl=1079.11001|page=[https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741/page/n381 382]}}</ref>他们亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列，它們大於10<sup>44363342786</sup>。

1994年，H.G. Grundman 扩展了Cooper和Kennedy的结果，表明n進制中有無限多組連續2n個整數為哈沙德數，但並無連續2n+1個整數為哈沙德數<ref name=HBII382/><ref>{{citation | last = Grundman | first = H. G. | author-link = Helen G. Grundman | title = Sequences of consecutive ''n''-Niven numbers | journal = [[Fibonacci Quarterly]] | volume = 32 | issue = 2 | year = 1994 | pages = 174–175 | zbl = 0796.11002 | issn = 0015-0517 | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf | accessdate = 2021-10-13 | archive-date = 2015-09-24 | archive-url = https://web.archive.org/web/20150924015224/http://www.fq.math.ca/Scanned/32-2/grundman.pdf | dead-url = no }}</ref>。1996年T. Cai 證明了以下的事實：在[[二進制]]存在無限多組連續四個整數為哈沙德數；在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。<ref name=HBII382/>

==密度==
設''N''(''x'')為小於或等於''x''哈沙德數的數目，對於任何給定的 ε > 0 ，[[Jean-Marie De Koninck]]和[[Nicolas Doyon]]發現：

:<math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>

De Koninck、Doyon和Katai證明：

:<math>N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}</math>

當 ''c'' = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

==其他进制的哈沙德数==
12进制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...

==參考==
{{reflist}}
* H. G. Grundmann, ''Sequences of consecutive Niven numbers'', Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
* Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, ''On the number of Niven numbers up to x'', Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
* Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, ''On the counting function for the Niven numbers'', Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275
[[category:數字相關的數列|Harshad]]