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在[[泛函分析]]中，'''哈恩－巴拿赫定理'''是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个[[向量空间]]上的[[有界线性算子]]扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的[[连续函数 (拓扑学)|连续]]线性泛函，定义在每一个[[賦範向量空間]]，使[[对偶空间]]的研究变得有趣味。这个定理以[[汉斯·哈恩]]和[[斯特凡·巴拿赫]]命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。

==表述==
定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量[[體 (數學)|體]]<math>\mathbb{K}</math>（[[实数]]域或[[复数 (数学)|复数]]域）上的一个[[向量空间]]'''<math>V</math>'''，一个[[函数]]<math>\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}</math>称为''[[次线性函数|次线性]]''的，如果：

:<math>\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.</math>

可以很容易证明，'''<math>V</math>'''上的每一个[[范数]]和每一个[[半范数]]都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。

哈恩－巴拿赫定理说明，如果<math>\mathcal{N}:V\rightarrow\mathbb{R}</math>是一个次线性函数，<math>\varphi:U\rightarrow\mathbb{K}</math>是'''<math>V</math>'''的[[线性子空间|子空间]]'''<math>U</math>'''上的一个[[线性泛函]]，满足：

:<math>|\varphi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U</math> 

那么存在''<math>\varphi</math>''到整个空间'''<math>V</math>'''的一个线性扩张<math>\psi:V\rightarrow\mathbb{K}</math>，也就是说，存在一个线性泛函''ψ''，使得：

:<math>\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U</math>

以及：

:<math>|\psi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.</math>

扩张''ψ''一般不是由''<math>\varphi</math>''唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出''ψ''的方法：在无穷维空间'''<math>V</math>'''的情形中，它依赖于[[佐恩引理]]——[[选择公理]]的一个表述。

我们可以把<math>\mathcal{N}</math>的次线性条件稍微减弱，只需要：

:<math>\mathcal{N}(ax+by)\leq|a|\mathcal{N}(x) + |b|\mathcal{N}(y)\qquad\forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in\mathbb{R}</math>

根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与[[凸性]]的密切联系。

==重要的结果==
这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”：
* 如果''V''是一个赋范向量空间，其子空间为''U''（不一定是闭的），且φ : ''U'' → '''K'''是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : ''V'' → '''K'''，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见[[巴拿赫空间]]）。也就是说，在赋范向量空间的范畴中，空间<math>\mathbb{K}</math>是一个[[内射对象]]。
* 如果''V''是一个赋范向量空间，其子空间为''U''（不一定是闭的），且''z''是''V''的一个元素，不在''U''的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]内，那么存在一个连续线性映射ψ : ''V'' → '''K'''，对于''U''内的所有''x''都满足ψ(''x'') = 0，ψ(''z'') = 1，且||ψ|| = 1/dist(''z'',''U'')。

==哈恩-巴拿赫分离定理==

哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为'''哈恩-巴拿赫分离定理'''。<ref>Klaus Thomsen, [http://www.imf.au.dk/kurser/advanalyse/F06/lecture6pr.pdf 哈恩-巴拿赫分离定理] {{Wayback|url=http://www.imf.au.dk/kurser/advanalyse/F06/lecture6pr.pdf |date=20070610123928 }}，Aarhus University, [http://www.imf.au.dk/kurser/advanalyse/F06/ 高等分析讲座] {{Wayback|url=http://www.imf.au.dk/kurser/advanalyse/F06/ |date=20080325064134 }}</ref><ref>Gabriel Nagy, [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-e-h-b.pdf 实分析] {{Wayback|url=http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-e-h-b.pdf |date=20100911055000 }} [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ 讲座] {{Wayback|url=http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ |date=20081205031222 }}</ref>它在[[凸几何]]中有许多用途。<ref>R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198.</ref>

'''定理：'''设<math>V</math>为&nbsp;<math>\mathbb K = \mathbb R</math>或<math>\mathbb C</math>上的一个[[拓扑向量空间]]，''<math>A</math>''和''<math>B</math>''&nbsp;是&nbsp;''<math>V</math>''的非空凸子集。假设<math>A \cap B = \varnothing</math>。那么：

#如果''<math>A</math>''是开集，那么存在一个连续线性映射<math>\lambda\colon V \to \mathbb K</math>和&nbsp;<math>t \in \mathbb R</math>，使得对于所有的<math>a \in A</math>和<math>b \in B</math>，都有&nbsp;<math>\operatorname{Re}\,\lambda(a) < t \leq \operatorname{Re}\,\lambda(b)</math>。
#如果''<math>V</math>''&nbsp;是局部凸的，''<math>A</math>''&nbsp;是紧集，且''<math>B</math>''&nbsp;是闭集，那么存在一个连续线性映射&nbsp;<math>\lambda\colon V \to \mathbb K</math>和&nbsp;<math>s, t\in \mathbb R</math>，使得对于所有的<math>a \in A</math>和<math>b \in B</math>，都有&nbsp;<math>\operatorname{Re}\,\lambda(a) < t < s < \operatorname{Re}\,\lambda(b)</math>。

==与选择公理的关系==

前面已经提到，从[[选择公理]]可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意[[超滤子引理]]比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。<ref>D. Pincus, ''The strength of Hahn–Banach's Theorem'', in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248.  Citation from  M. Foreman and F. Wehrung, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13812.pdf ''The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set''] {{Wayback|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13812.pdf |date=20090124103217 }}，"Fundamenta Mathematicae"  138 (1991), p. 13-19.</ref>对于[[可分空间|可分]][[巴拿赫空间]]，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL<sub>0</sub>——一个[[二阶算术]]的弱子系统推出。<ref>D. K. Brown and S. G. Simpson, ''Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?'', Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. [http://www.math.psu.edu/simpson/papers/hilbert/node7.html#3 Source of citation] {{Wayback|url=http://www.math.psu.edu/simpson/papers/hilbert/node7.html#3 |date=20081011023354 }}.</ref>

==参见==

* [[M·里斯扩张定理]]
* [[自反空间]]

==注释==

<references />

==参考文献==

* Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "[https://web.archive.org/web/20110604230051/http://at.yorku.ca/p/a/a/a/16.htm The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times]", ''Topology and its Applications'', Volume '''77''', Issue 2 (1997) Pages 193-211. 

* Michael Reed and Barry Simon, ''Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,'' Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
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