查看“︁哈尔测度”︁的源代码

[[数学分析]]中，'''哈尔测度'''（Haar measure）是赋予[[局域紧致拓扑群]]一个“不变体积”并从而定义那些群上的[[函数]]的一个[[积分]]的一种方法。

这个[[测度]]由[[匈牙利]]数学家[[哈爾·阿爾弗雷德]]于1933年发明<ref name="Haar">{{Citation | first = A. | last = Haar | author-link = Alfréd Haar | title = Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen | periodical = [[Annals of Mathematics]] | volume = 34 | series = 2 | issue = 1 | year = 1933 | pages = 147–169 |jstor=1968346}}</ref> 。哈尔测度用于[[数学分析]]，[[数论]]，[[群论]]，[[表示论]]，估计理论和[[遍历理论]]的很多方面。

==预备知识==

对于一个局域紧致[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]拓扑群（''G,・''） ，其所有的[[紧空间|紧子集]]生成的[[σ-代数]]被称为[[波莱尔集|波莱尔代数]]（Borel algebra），波莱尔代数的元素即为[[波莱尔集]]。对于群''G''的元素''g''和子集''S''，可以定义''S''的左变换和右变换：
* 左变换:
::<math> g S = \{g.s\,:\,s \in S\}</math>
* 右变换:
::<math> S g = \{s.g\,:\,s \in S\}</math>

左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。

对于一个作用于''G''的波莱尔子集上的测量μ，如果对所有的波莱尔子集''S''和所有的''g''有
:<math> \mu(g S) = \mu(S). \quad </math>
则称这个测度μ是''左变换不变的''。相应可以定义右变换不变性。

==哈尔定理==

在差一个正因子常数的情形下，如果''G''的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质：

* 对任意的''g''和波莱尔子集''E''，μ是左变换不变的: 
::<math> \mu(gE) =  \mu(E) </math>

* 对所有的紧致集''K''，μ是有限的:  
::<math> \mu(K)  < \infty </math>

* 在波莱尔集''E''上μ是[[外部正则]](outer regular)<ref>“外部正则”与“内部正则”是参考日文维基上此条目后翻译出的</ref>的:
::<math> \mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \text{ open and Borel}\}</math>

* 在波莱尔开集''E''上μ是[[内部正则]](inner regular)的:
::<math> \mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \text{ compact}\}</math>

那么这个''G''上的测度μ便被称为''左哈尔测度''。 特别的，如果''G''是紧致的那么μ(''G'')是有限且正的，因此总可以通过设定一归一条件μ(''G'') = 1，而''G''上唯一地指定一个左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限波莱尔集都满足内部正则条件，但此条件对所有波莱尔集却不一定成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）被[[André Weil]]<ref>{{Citation | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | title = L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications | series = Actualités Scientifiques et Industrielles | publisher = Hermann | year = 1940 | place = Paris | volume = 869}}''</ref>第一次完整的证明。Weil的证明采用了[[选择公理]]之后[[Henri Cartan]]在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。<ref>{{Citation | last = Alfsen | first = E.M. | title = A simplified constructive proof of the existence and uniqueness of Haar measure | journal = Math. Scand. | volume = 12 | pages = 106–116 | year = 1963 | url = https://www.mscand.dk/article/view/10675/8696 | accessdate = 2020-03-25 | archive-date = 2020-11-26 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201126103637/https://www.mscand.dk/article/view/10675/8696 | dead-url = no }}</ref>对于[[第二|第二可数空间]]局域紧致群的不变测度也于1933年被Haar证明。<ref name="Haar"/>

==右哈尔测度==

同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的波莱尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一个波莱尔群 ''S'', 记其中每一个元素的逆的集合为<math>S^{-1}</math>，如果定义

:<math> \mu_{-1}(S) = \mu(S^{-1}) \quad </math>

那么这个<math> \mu_{-1}</math>便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下：

:<math> \mu_{-1}(S g) = \mu((S g)^{-1}) = \mu(g^{-1} S^{-1}) = \mu(S^{-1}) = \mu_{-1}(S). \quad </math>

又因为右测度是唯一的，因此对于所有波莱尔集合''S''，μ<sub>-1</sub>和ν相差一个正因子''k''，满足：

:<math>\mu(S^{-1})=k\nu(S)\,</math>

==哈尔积分(Haar integral)==

由[[勒贝格积分]]理论，可以定义''G''上所有波莱尔测度方程''f''的积分。这个积分便是哈尔积分(Haar integral). 如果μ是一个左哈尔测度，那么对任意一个方程''f''，都有
:<math> \int_G f(sx) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x) </math>

==参考文献==
{{Reflist}}
* [[Paul Halmos]], ''Measure Theory'', D. van Nostrand and Co., 1950.
* [[Lynn Loomis]], ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis'', D. van Nostrand and Co., 1953.
* [[André Weil]], ''Basic Number Theory'', Academic Press, 1971

== 参看 ==
* [[哈尔]]
* [[哈尔小波]]

[[Category:李群|H]]
[[Category:拓扑群|H]]
[[Category:数学分析|H]]
[[Category:测度论|H]]