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在[[廣義相對論]]中，'''哈密頓-雅可比-爱因斯坦方程'''（{{lang-en|'''Hamilton–Jacobi–Einstein equation'''}}，簡稱{{lang|en|'''HJEE'''}}）是一道[[哈密頓力學|哈密頓形式]]、描述[[超對稱|超空間]]中的[[幾何力學]]的方程。創於「幾何力學年代」，這方程由[[艾雪·佩雷斯]]在60年代前后和其他人铸造。<ref>{{cite news |title=On Cauchy's problem in general relativity - II |journal=Nuovo Cimento |author=A. Peres |publisher=Springer |pages=53–62 |volume=26 |issue=1 |year=1962 |isbn= |doi=10.1007/BF02754342 }}</ref>目的是更正廣義相對論以令其成為量子理論的[[半古典物理|半古典]]近似，就像[[量子力學]]與[[古典力學]]一樣對應關係。

這方程包含了全部10道[[愛因斯坦場方程式]]（{{lang|en|EFEs}}）<ref>{{cite journal |author=U.H. Gerlach |year=1968 |journal=Physical Review |issue=5 |volume=177 |pages=1929–1941 |title=Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics |doi=10.1103/PhysRev.177.1929|bibcode=1969PhRv..177.1929G }}</ref>，亦是古典力學中[[哈密頓-雅可比方程式]]（{{lang|en|HJE}}）的修正，並可以從[[ADM質量|ADM形式]]中的[[愛因斯坦-希爾伯特作用量]]，以[[最小作用量原理]]推導。

==背景及動機==
===古典與量子物理的對應關係===
古典[[分析力學]]中的一個系統的動力學是由[[作用量]]{{math|''S''}}所概括。而各量子理論，即非相對論量子力學、相論對量子力學及[[量子場論]]，各有不同的詮釋及數學形式，但一個系統的行為都是完全由一個[[复数 (数学)|複]][[機率幅]] {{math|Ψ}}（正式來說是[[量子態]]的[[狄拉克符號|ket]] {{math|{{ket|Ψ}}}}－[[希爾伯特空間]]中的元素)。Eikonal的半古典近似給出

:<math>\Psi = \sqrt{\rho}e^{iS/\hbar}</math>

當中{{math|Ψ}}的[[相位]]可被詮釋為作用量，而模值{{math|{{sqrt|''ρ''}} {{=}} {{sqrt|Ψ*Ψ}} {{=}} {{!}}Ψ{{!}}}}則可被根據[[哥本哈根詮釋]]為[[機率密度函數]]。[[普朗克常數|約化普朗克常數]]{{math|''ħ''}}是「作用量的量子」。代入一般形式的[[薛丁格方程式]]（SE），則有

:<math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\,,</math>

取{{math|''ħ'' → 0}}極限則得到古典的HJE：

:<math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H\,,</math>

這是[[對應原理]]其中一個結果。

{{广义相对论}}

== 参考 ==
{{reflist}}

[[Category:廣義相對論]]