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在[[数学]]与[[物理]]中，'''哈密顿向量场'''是[[辛流形]]上一个向量场，定义在任何'''能量函数'''或'''哈密顿函数'''上。以物理学家和数学家[[威廉·卢云·哈密顿]]命名。哈密顿向量场是[[经典力学]]中的[[哈密顿方程]]的几何表现形式，哈密顿向量场的[[积分曲线]]表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的[[流 (数学)|流]]是[[辛流形]]的[[微分同胚]]，在物理中称为[[正则变换|典范变换]]，在数学中称为（哈密顿）[[辛同胚]]。

哈密顿向量场可以更一般地定义在任何[[泊松流形]]上。对应于流形上的函数 ''f'' 与 ''g'' 的两个哈密顿向量场的[[李括号]]也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 ''g'' 与 ''f'' 的[[泊松括号]]给出。

== 定义 ==
假设 (''M'',&omega;) 是一个[[辛流形]]。因为[[辛形式]] &omega; 非退化，诱导了[[切丛]] <math>TM</math> 与[[余切丛]] <math>T^*M</math> 的一个[[线性同构]]
: <math>\omega:TM\to T^*M</math> 

以及逆
: <math>\Omega:T^*M\to TM, \quad \Omega=\omega^{-1}\ .</math> 

从而，流形 ''M'' 上的[[1-形式]]可以与[[向量场]]等价起来，故任何[[可微函数]] <math>H:M\to\mathbb{R}</math> 确定了惟一的向量场 ''X''<sub>''H''</sub> = &Omega;(d''H'')，称为'''哈密顿函数''' ''H'' 的'''哈密顿向量场'''。即对 ''M'' 上任何向量场 ''Y''，等式

:<math>\mathrm{d}H(Y) = \omega(X_H,Y)\ ,</math>

一定成立。

'''注'''：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。

== 例子 ==
假设 ''M'' 是一个 2''n'' 维辛流形。则由[[达布定理 (微分几何)|达布定理]]，我们在局部总可以取 ''M'' 的一个[[正则坐标|典范坐标]] <math>(q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n)</math>，在这个坐标系下辛形式表示为

:<math>\omega=\sum_i \mathrm{d}q^i \wedge \mathrm{d}p_i.</math> 

则关于哈密顿函数 ''H'' 的哈密顿向量场具有形式

:<math>X_H = \left( \frac{\partial H}{\partial p_i}, 
- \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega\,\mathrm{d}H\ ,</math>

这里 &Omega; 是一个 2''n'' × 2''n'' 矩阵

:<math>\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}\ .</math>

假设 ''M'' = '''R'''<sup>2n</sup> 是 2''n'' 维具有（整体）典范坐标的[[辛向量空间]]。

* 如果 <math>H=p_i</math> 则 <math>X_H=\partial/\partial q^i\ ; </math> 
* 如果 <math>H=q^i</math> 则 <math>X_H=-\partial/\partial p^i\ ; </math>
* 如果 <math>H=1/2\sum (p_i)^2</math> 则 <math>X_H=\sum p_i\partial/\partial q^i\ ; </math>
* 如果 <math>H=1/2\sum a_{ij} q^i q^j, a_{ij}=a_{ji} </math> 则 <math>X_H=-\sum a_{ij} p_i\partial/\partial q^j\ .</math>

== 性质 ==
* 映射 <math> f\mapsto X_f</math> [[线性映射|线性]]的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。

* 假设 <math>(q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n)</math> 是 ''M'' 上的典范坐标。则曲线 <math>\gamma(t)=(q(t),p(t))</math> 是哈密顿向量场 ''X''<sub>''H''</sub> 的[[积分曲线]][[当且仅当]]它是[[哈密顿方程]]的一个解：

:<math>\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}\ .</math>

* 哈密顿函数 ''H'' 在积分曲线上是常数，这就是 <math>H(\gamma(t))</math> 与时间 ''t'' 无关。这个性质对应于[[哈密顿力学]]中的[[能量守恒]]。

* 更一般地，如果两个函数 ''F'' 与 ''H'' 的[[泊松括号]]为零（见下），则 ''F'' 沿着 ''H'' 的积分曲线为常数；类似地 ''H'' 沿着 ''F'' 的积分曲线是常数。这个事实是[[诺特定理]]背后的数学原理。

* [[辛形式]] <math>\omega</math> 在哈密顿流下不变；或等价地，[[李导数]] <math>\mathcal{L}_{X_H} \omega=(\iota_{X_f}\circ d+d\circ\iota_{X_f})\omega=d\circ d f=0 \ .</math> 这里 <math>\iota</math> 是[[内乘]]，用到了李导数的[[嘉当公式]]。

== 泊松括号 == 
哈密顿向量场的概念导致了辛流形 ''M'' 上的可微函数的一个[[斜对称]][[双线性形式|双线性]]算子，这就是'''[[泊松括号]]'''，由如下公式定义
 
:<math>\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)= df(X_g) = \mathcal{L}_{X_g} f\ ,</math>

这里 <math>\mathcal{L}_X</math> 表示沿着向量场 ''X'' 的[[李导数]]。此外，我们可以验证有恒等式：

: <math> X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g], </math>  

这里右边表示哈密顿函数 ''g'' 与 ''g'' 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：
:<math>\begin{align}
 &\iota_{[X_f,X_g]}\omega\\
=&(\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}-\iota_{X_g}\circ\mathcal{L}_{X_f})\omega \\
=&\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}\omega \\
=&(\iota_{X_f}\circ d+d\circ\iota_{X_f})d g \\
=&d (\iota_{X_f})d g) \\
=&-d \{f,g\} \\
\end{align}</math>

作为一个推论，泊松括号满足[[雅可比恒等式]]。

: <math> \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,</math>

这意味着 ''M'' 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 '''R''' 上的一个[[李代数]]，且映射 
<math> f\mapsto X_f</math> 是一个李代数[[同态|反同态]]，其[[零空间|核]]由局部常值函数组成（如果 ''M'' [[连通空间|连通]]则为常数）。

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Abraham|first=Ralph|authorlink=Ralph Abraham|coauthors=[[Jerrold E. Marsden|Marsden, Jerrold E.]]|title=Foundations of Mechanics|publisher=Benjamin-Cummings|location=London|year=1978|isbn=978-0-821-84438-0}}''See section 3.2''.
* {{cite book|last=Arnol'd|first=V.I.|authorlink=Vladimir Arnold|title=Mathematical Methods of Classical Mechanics|publisher=Springer |location=Berlin etc|year=1997|isbn=0-387-96890-3}}
* {{cite book|last=Frankel|first=Theodore|title=The Geometry of Physics|url=https://archive.org/details/geometryofphysic0000fran|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-38753-1}}
* {{cite book|last=McDuff|first=Dusa|coauthors=Salamon, D.|authorlink=Dusa McDuff|title=Introduction to Symplectic Topology|series=Oxford Mathematical Monographs||year=1998|isbn=0-19-850451-9}}

[[Category:辛几何|H]]
[[Category:哈密顿力学|H]]