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{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:WilliamRowanHamilton.jpeg|right|thumb|200px|威廉·哈密顿]]
在[[物理學]]裏，'''哈密頓原理'''（{{lang-en|Hamilton's principle}}）是[[愛爾蘭]]物理學家[[威廉·哈密頓]]於1833年發表的關於[[平穩作用量原理]]的表述。哈密頓原理闡明，一個物理系統的[[拉格朗日函數]]，所構成的[[泛函]]的[[變分法|變分問題]]解答，可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為[[拉格朗日量]]，包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為[[作用量]]。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於[[牛頓運動定律]]的[[微分方程式]]方法，這方法以[[積分方程式]]來設定系統的作用量，在[[作用量]]平穩的要求下，使用[[變分法]]來計算整個系統的[[運動方程式]]。

雖然哈密頓原理本來是用來表述[[經典力學]]，這原理也可以應用於[[經典場論|經典場]]，像[[電磁場]]或[[重力場]]，甚至可以延伸至[[量子場論]]等等。

==概念==
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，又加上已知這變數在某一點的數值或導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

哈密頓原理用[[積分方程式]]來表述物理系統的運動。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，叫做最初狀態與最終狀態。然後，經過求解系統作用量的[[平穩值]]，我們可以得到系統在，兩個點之間，其他點的狀態。不但是關於[[經典力學]]中的一個單獨粒子，而且也關於經典[[場]]像[[電磁場]]與[[萬有引力]]場，這表述都是正確的。更值得一提的是，現今，哈密頓原理已經延伸至[[量子力學]]與[[量子場論]]了。

用[[變分法]]數學語言來表述，求解一個物理系統作用量的[[平穩值]]（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演變（就是說，系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演變對於任何[[微擾理論|微擾]]必須是[[平穩點|平穩]]的。這要求導致出描述正確演變的微分方程式。

==定義==
哈密頓原理闡明，一個物理系統的[[拉格朗日函數]]<math>L\,</math>所構成的作用量[[泛函]]<math>\mathcal{S}\,</math>，其平穩值是這物理系統的真實演化。

以數學方程式表示，定義作用量為 
:<math>\mathcal{S}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,dt\,</math>；

其中，<math>L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\,</math>是系統的[[拉格朗日函數]]，[[廣義坐標]]<math>\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N} \right)\,</math>是[[時間]]<math>t\,</math>的函數，<math>t_{1}\,</math>和<math>t_{2}\,</math>分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的[[一次變分]]<math>\delta \mathcal{S}=0\,</math>，作用量<math>\mathcal{S}\,</math>為平穩值，則<math>\mathbf{q}(t)\,</math>正確地描述這系統的真實演化。<ref name="理论物理学教程-第一卷">{{Cite book|title=理论物理学教程-第一卷 力学|last=列夫|first=朗道|publisher=高等教育出版社|year=2007|isbn=9787040208498|location=北京}}</ref>{{rp|2}}

==拉格朗日方程式導引==
從哈密頓原理可以推導出[[拉格朗日方程式]]。假設<math>\mathbf{q}(t)\,</math>是系統的正確運動，微擾函數<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,</math>為一個[[虛位移]]<math>\delta\mathbf{q}\,</math>，虛位移在軌道的兩個端點的值是零：
:<math>\boldsymbol\varepsilon(t_{1})=\boldsymbol\varepsilon(t_{2})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 0\,</math>。

取至<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,</math>的一階微擾，作用量泛函的[[一次變分]]為
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left[ L(\mathbf{q}+\boldsymbol\varepsilon,\dot\mathbf{q} +\dot\boldsymbol\varepsilon,t) - L(\mathbf{q},\dot\mathbf{q},t)\right]dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \left(
\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} + 
\dot\boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}  \right)\,dt      
\,</math>。

這裏，我們將拉格朗日量<math>L\,</math>展開至<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,</math>的一階微擾。

應用[[分部積分法]]於最右邊項目：
:<math>\delta \mathcal{S} =
\left[ \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; 
\left( \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}}
- \boldsymbol\varepsilon \cdot \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt</math>。

邊界條件<math>\boldsymbol\varepsilon(t_{1}) = \boldsymbol\varepsilon(t_{2}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  0\,</math>使第一個項目歸零：
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt\,</math>。

作用量泛函<math>\mathcal{S}\,</math>平穩的要求意味著，對於正確運動的任意微擾<math>\boldsymbol\varepsilon (t)\,</math>，一次變分<math>\delta \mathcal{S}\,</math>必須等於零：
:<math>\delta \mathcal{S} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\; \boldsymbol\varepsilon \cdot
\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} \right)\,dt=0\,</math>。

特別注意，我們沒有對廣義坐標<math>\mathbf{q}\,</math>做任何要求。在這裏，我們要求所有的廣義坐標都互不相依；也就是說，這系統是[[完整系統]]。這樣，我們可以應用[[變分法基本引理]]而得到拉格朗日方程式：
:<math> \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} - 
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\mathbf{q}} = \mathbf{0}\,</math>。

在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。<ref name="理论物理学教程-第一卷"/>{{rp|2-3}}

==參閱==
{{portal box|物理學}}
* [[變分法]]
* [[拉格朗日力學]]
* [[哈密頓力學]]
* [[諾特定理]]
* [[作用量]]

==參考文獻==
{{reflist}}
* W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", ''Philosophical Transaction of the Royal Society'' [http://www.emis.de/classics/Hamilton/GenMeth.pdf Part I (1834) p.247-308]{{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/GenMeth.pdf |date=20110927061858 }}; [http://www.emis.de/classics/Hamilton/SecEssay.pdf Part II (1835) p. 95-144]{{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/SecEssay.pdf |date=20110927062010 }}.（''From the collection [http://www.emis.de/classics/Hamilton/ Sir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papers]{{Wayback|url=http://www.emis.de/classics/Hamilton/ |date=20110927062025 }} edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed as [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/ On a General Method in Dynamics]{{Wayback|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Dynamics/ |date=20110927004206 }}'')

*Herbert Goldstein (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
*[[列夫·朗道]]and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.  
* Arnold VI.（1989）''Mathematical Methods of Classical Mechanics'', 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.

{{經典力學}}

{{wikibooks|理论力学/哈密顿原理}}
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[[Category:哈密顿力学|H]]
[[Category:變分法|H]]