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{{noteTA|
|G1=Physics
|G2=Electronics
}}

[[Image:bandwidth2_zh.png|thumb|350px|一阻尼諧振子的[[頻寬]], <math>\Delta f</math>可以用頻率和能量的圖來表示。阻尼諧振子（或濾波器）的Q因子為<math>f_0/\Delta f</math>。Q因子越大，其波峰高度會越高，而其寬度會越窄]]

'''品质因子'''或'''Q因子'''是[[物理]]及[[工程]]中的[[無因次]]參數，是表示[[振子]][[阻尼]]性质的物理量<ref>{{cite book
 | title = Electric power transformer engineering
 | author = James H. Harlow
 | publisher = CRC Press
 | year = 2004
 | isbn = 978-0-8493-1704-0
 | pages = 2–216
 | url = http://books.google.com/books?id=DANXjaoaucYC&pg=PT241&dq=q-factor+damping&lr=&as_brr=3&ei=oZJ9SufrDZPolQT2peCuCg#v=onepage&q=q-factor%20damping&f=false
 }}</ref>，也可表示振子的[[共振頻率]]相對於[[頻寬]]的大小<ref>{{cite book
 | title = Electronic circuits: fundamentals and applications
 | author = Michael H. Tooley
 | publisher = Newnes
 | year = 2006
 | isbn = 978-0-7506-6923-8
 | pages = 77–78
 | url = http://books.google.com/books?id=8fuppV9O7xwC&pg=PA77&dq=q-factor+bandwidth&lr=&as_brr=3&ei=kZd9Ss-wLoaskATQ5JiyCg#v=onepage&q=q-factor%20bandwidth&f=false
 }}</ref>，
高Q因子表示振子能量損失的速率較慢，振動可持續較長的時間，例如一個[[單擺]]在空氣中運動，其Q因子較高，而在油中運動的單擺Q因子較低。高Q因子的振子一般其阻尼也較小。

==說明==
Q因子較高的振子在[[共振]]時，在共振頻率附近的振幅較大，但會產生的共振的頻率範圍比較小，此頻率範圍可以稱為[[頻寬]]。例如一台無線電接收器內的[[RLC電路|調諧電路]]Q因子較高，要調整接收器對準一特定頻率會比較困難，但其{{link-en|選擇性|selectivity (electronic)}}較好，在過濾頻譜上鄰近電台的訊號上也有較佳的效果。Q因子較高的振子會產生共振的頻率範圍較小，也比較穩定。<!--(See{{link-en|振盪器相位噪聲|oscillator phase noise}})-->

系統的Q因子可能會隨著應用場合及需求的不同而有大幅的差異。強調阻尼特性的系統（例如防止門突然關閉的阻尼器）其Q因子為{{frac|1|2}}，而時鐘、雷射或是其他需要強烈共振或是要求頻率穩定性的系統其Q因子也較高。[[音叉]]的Q因子大約為1000，[[原子鐘]]、加速器中的{{link-en|超導射頻|Superconducting Radio Frequency}}或是[[光學共振腔]]的Q因子可以到10<sup>11</sup><ref>{{Cite web |url=http://www.rp-photonics.com/q_factor.html |title=Encyclopedia of Laser Physics and Technology:Q factor |accessdate=2012-03-28 |archive-date=2009-02-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090224211703/http://www.rp-photonics.com/q_factor.html |dead-url=no }}</ref>甚至更高<ref>{{Cite web |url=http://tf.nist.gov/general/enc-q.htm |title=Time and Frequency from A to Z:  Q to Ra |accessdate=2012-03-28 |archive-date=2008-05-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080504160852/http://tf.nist.gov/general/enc-q.htm |dead-url=yes }}</ref>。

Q因子的概念是來自電子工程中，評量一調諧電路或其他振子的「品質」。

== 定義 ==

Q因子可定義為在一系統的[[共振頻率]]下，當信號[[振幅]]不隨時間變化時，系統儲存能量和每個週期外界所提供能量的比例（此時系統儲存能量也不隨時間變化）：

:<math>
Q = 2 \pi \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Energy dissipated per cycle}} = 2 \pi f_r \times \frac{\mbox{Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}. \,
</math>

大部份的共振系統都可以用二階的微分方程表示，Q因子中2''π''的係數，使Q因子可以表示成只和二階微分方程係數有關的較簡單型式。在電機系統中，能量會儲存在理想無損失的[[電感]]及[[電容]]中，損失的能量則是每個週期由電阻損失能量的總和。力學系統儲存的能量是該時間[[動能]]及[[位能]]的和，損失的能量則是因為摩擦力或阻力所消耗的能量。

針對高Q因子的系統，也可以用下式計算的Q因子，在數學上也是準確的：

:<math>Q = \frac{f_r}{\Delta f} = \frac{\omega_r}{\Delta \omega}, \,</math>

其中''f<sub>r</sub>''為共振頻率，Δ''f''為頻寬，''ω<sub>r</sub>''&nbsp;=&nbsp;2''πf<sub>r</sub>''是以[[角頻率]]表示的共振頻率，Δ''ω''是以[[角頻率]]表示的頻寬

在像電感等儲能元件的規格中，會用到和頻率有關的Q因子，其定義如下<ref>{{cite book|title=Electric Circuits|isbn=0-201-17288-7|author=James W. Nilsson|year=1989}}</ref>：

:<math>
Q(\omega) = \omega \times \frac{\mbox{Maximum Energy Stored}}{\mbox{Power Loss}}, \,
</math>

其中''ω''是計算儲存能量和功率損失時的角頻率。若電路中只有一個儲能元件（電感或是電容），也可用上式來定義Q因子，此時Q因子會等於[[无功功率]]相對[[有功功率]]的比例。

== Q因子及阻尼 ==
{{main|阻尼|线性时不变系统理论}}

Q因子可決定一個簡單阻尼[[諧振子]]的量化特性（有關數學的細節及不同系統的行為，請參考[[諧振子]]及[[线性时不变系统理论]]等條目）。

*低Q因子的系統（''Q'' < ½）是過阻尼系統。過阻尼系統不會振盪，當偏離穩態輸出平衡點時，會以[[指數衰減]]的方式，漸近式的回到穩態輸出。其[[冲激响应]]是二個不同速度的指數衰減函數的和。當Q因子減少時，衰減較慢的響應函數其影響會變明顯，因此整個系統會變慢。一個Q因子很低的二階系統其[[步階響應]]類似一階系統。

* 高Q因子的系統（''Q'' > ½）是欠阻尼系統。欠阻尼系統在特定頻率的輸入下，其輸出會振盪，其振幅也會指數衰減。Q因子略高於½的系統可能會振盪一或二次。若Q因子提高，阻尼的效果也會降低。高品質的鐘在敲擊後可以長時間發出單一音調的聲音，沒有阻尼的諧振系統其Q因子是無限大，類似一個敲擊後可永遠發出聲音的鐘。若二階[[低通濾波器]]有很高的Q因子，其步階響應一開始會快速上昇，在平衡點附近震盪，最後才收斂到穩態的值。

* Q因子為½的系統是臨界阻尼系統。臨界阻尼系統和過阻尼系統一様不會震盪，也不會有[[过冲 (信号)|过冲]]的情形。臨界阻尼系統和欠阻尼系統一様，會對[[階躍函數|階躍]]有快速的響應，臨界阻尼可以使系統在不过冲的條件下有最快的反應，實際的系統若要求更快的反應，一般會允許一定程度的过冲，若系統不允許过冲，可能會使反應時間放慢，以提供一定的[[安全係數]]。

在[[負回授]]系統中，閉回路系統的響應常常用二階系統來表示。設定開迴路系統的[[相位裕度]]可以決定閉回路系統的Q因子，當相位裕度減少時，對應的二階閉回路系統振盪會變大，也就是Q因子提高。

=== 常見系統的Q因子 ===

* 單位增益的{{link-en|Sallen–Key拓扑结构|Sallen–Key filter topology}}濾波器為臨界阻尼系統，Q因子為<math>1/2</math>){{Citation needed|date=October 2008}}。
* [[巴特沃斯滤波器]]（有最平坦通帶頻率響應的的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為<math>1/\sqrt{2}</math><ref>{{Cite web |url=http://opencourseware.kfupm.edu.sa/colleges/ces/ee/ee303/files%5C5-Projects_Sample_Project3.pdf |title=存档副本 |access-date=2012-03-31 |archive-date=2013-07-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130731200502/http://opencourseware.kfupm.edu.sa/colleges/ces/ee/ee303/files%5C5-Projects_Sample_Project3.pdf |dead-url=no }}</ref>。
* [[貝塞爾濾波器]]（有最平坦[[群延遲]]的連續時間濾波器）為欠阻尼系統，Q因子為<math>1/\sqrt{3}</math>{{Citation needed|date=December 2007}}。

==Q因子的物理意涵 ==

根據物理學，Q因子等於<math>2\pi</math>乘以系統儲存的總能量，除以單一周期損失的能量，也可以表示為系統儲存的總能量和單位弳度損失能量的比值。<ref>{{cite book | last = Jackson | first = R. | title = Novel Sensors and Sensing | publisher = Institute of Physics Pub | location = Bristol | year = 2004 | isbn = 0-7503-0989-X | pages = 28 }}</ref>

Q因子是無因次的參數，是比較系統振幅衰減的[[時間常數]]和振盪週期後的結果。當Q因子數值較大時，Q因子可近似為系統從開始振盪起，一直到其能量剩下原來的 <math>1/e^{2\pi}</math>（約1/535或0.2%），中間歷經的振盪次數<ref>{{cite web | title = Vibrations and Waves | work = Light and Matter online text series | author = Benjamin Crowell | year = 2006 | url = http://www.lightandmatter.com/html_books/3vw/ch02/ch02.html | accessdate = 2012-04-03 | archive-date = 2011-04-08 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110408194600/http://www.lightandmatter.com/html_books/3vw/ch02/ch02.html | dead-url = no }}, Ch.2</ref>。

共振的頻寬可以用下式表示

:<math>
\Delta f = \frac{f_0}{Q} \,
</math>,

其中<math>f_0</math>為[[共振頻率]]，<math>\Delta f</math>為[[頻寬]]，也就是能量超過峰值能量一半以上的頻率範圍。

Q因子、[[阻尼比]]ζ及[[衰减|衰減率]]α之間有以下的關係<ref name=Siebert>{{cite book | title = Circuits, Signals, and Systems | year = 1985 | url = https://archive.org/details/circuitssignalss0000will | author = William McC. Siebert | publisher = MIT Press }}</ref>

:<math>
\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_0 }.
</math>

因此Q因子可表示為

:<math>
Q = \frac{1}{2 \zeta} = { \omega_0 \over 2 \alpha },
</math>

而指數衰減率可表示為

:<math>
\alpha = \zeta \omega_0 = { \omega_0 \over 2 Q }.
</math>

二階低通濾波器的響應函數可以用下式來表示<ref name=Siebert/>

:<math>
H(s) = \frac{ \omega_0^2 }{ s^2 + \underbrace{ \frac{ \omega_0 }{Q} }_{2 \zeta \omega_0 = 2 \alpha }s + \omega_0^2 } \,
</math>

若此系統的<math>Q > 0.5</math>（欠阻尼系統），系統有二個[[共軛複數]]極點，其[[實部]]為<math>\alpha</math>。衰減參數<math>\alpha</math>表示其[[冲激响应]][[指數衰減]]的速率。Q因子大表示其衰減率較慢，因此Q因子很大的系統可以持續振盪較長的時間。例如高Q因子的鐘，用鎚子敲擊後，其輸出近似[[純音]]，且可以維持很長的時間。

== 電子系統 ==

[[Image:bandwidth.svg|right|350px|thumb|濾波器振幅增益的圖，其中標示頻寬為增益值為-3 dB的寬度，增益約為0.707倍，能量是峰值的一半。圖中的頻率軸可以是線性尺度或是對數尺度。]]

對電子共振系統而言，Q因子表示[[電阻]]的影響，若針對機電共振系統（例如[[石英晶体谐振器]]），也包括[[摩擦力]]的影響。

=== RLC電路 ===

理想串聯[[RLC電路]]的Q因子為：<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=iRQa6dfeaKIC&q=quality+factor|title=Electric Circuits|last1=U.A.Bakshi|last2=A.V.Bakshi|date=2008|publisher=Technical Publications|isbn=9788184314526|pages=2–79|language=en}}{{Dead link}}</ref>
:<math display="block">Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac {1} {\omega_0 R C}</math>
其中<math>R</math>、<math>L</math>及<math>C</math>分別是電路的[[電阻]]、[[電感]]和[[電容]]，若電阻值越大，Q因子越小。

並聯RLC電路的Q因子恰為對應串聯電路Q因子的倒數：<ref>{{Cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e84/lectures/ch3/node8.html |title=存档副本 |accessdate=2012-04-02 |archive-date=2012-01-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120110062257/http://fourier.eng.hmc.edu/e84/lectures/ch3/node8.html |dead-url=no }}</ref>
:<math display="block">
Q = R \sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 R C
</math>

若將電阻、電感和電容並聯形成一電路，並聯電阻值越小，其阻尼的效果越大，因此Q因子越小。

若是電感和電容並聯的電路，而主要損失是電感內，和電感串聯的電阻R，其Q因子和串聯RLC電路相同，此時降低寄生電阻R可以提昇Q因子，也使頻寬縮小到需要的範圍內。

=== 儲存元件 ===

個別儲存元件的Q因子和對應信號頻率有關，一般是電路的共振頻率。電感器的Q因子為<ref name="QSL">{{Cite web |url=http://www.qsl.net/va3iul/Impedance_Matching/Impedance_Matching.pdf |title=存档副本 |accessdate=2012-04-03 |archive-date=2020-11-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201125032136/https://www.qsl.net/va3iul/Impedance_Matching/Impedance_Matching.pdf |dead-url=no }}</ref>：

<math>Q=\frac{X_L}{R_L}=\frac{\omega L}{R_L}</math>

其中：
* <math>\omega</math>為頻率。
* <math>L</math>為電感。
* <math>X_L</math>為電感器的[[感抗]]。
* <math>R_L</math>為電感內的電阻。


電容器的Q因子為<ref name="QSL"/>：

<math>Q=\frac{X_C}{R_C}=\frac{1}{\omega C R_C}</math>

其中:
* <math>\omega</math>為頻率。
* <math>C</math>為電容。
* <math>X_C</math>為電容器的[[容抗]]。
* <math>R_C</math>為電容內的電阻。

==力學系統==
對於一個有阻尼的質量－彈簧系統，可以用Q因子表示簡化的[[黏度|黏滯]]阻尼或阻力對系統的影響，其中的阻尼力（或阻力）和速度成正比。此系統的Q因子可以用下式表示： 
:<math>
Q = \frac{\sqrt{M k}}{D}, \,
</math>

其中M是質量，k是[[弹簧常数]]，而D是阻力係數，可用下式來定義：
:<math>F_{\text{damping}}=-Dv</math>

其中<math>F_{\text{damping}}</math>是阻力，<math>v</math>是速度<ref>{{Cite web |url=http://units.physics.uwa.edu.au/__data/page/115450/lecture5_(amplifier_noise_etc).pdf |title=Methods of Experimental Physics – Lecture 5: Fourier Transforms and Differential Equations |accessdate=2012-03-27 |archive-date=2012-03-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120319163127/http://units.physics.uwa.edu.au/__data/page/115450/lecture5_(amplifier_noise_etc).pdf |dead-url=yes }}</ref>。

== 雷射系統 ==
雷射系統中，光學共振腔的Q因子可以用下式表示

:<math>
Q = \frac{2\pi f_o\,\mathcal{E}}{P}, \,
</math>

其中<math>f_o</math>為共振頻率，<math>\mathcal{E}</math>為共振腔中儲存的能量，<math>P=-\frac{dE}{dt}</math>為耗散的能量。光學共振腔的Q因子等於共振頻率和共振腔頻寬的比值。共振[[光子]]的平均壽命和Q因子成正比，若雷射共振腔中的Q因子突然地調高，共振腔會輸出雷射脈衝，其強度遠高於平常共振腔連結輸出的強度，此技術稱為為[[Q切換]]。

== 相關條目 ==
*[[阻尼比]]
*{{link-en|衰減率|Attenuation}}
*[[相位裕度]]
*[[頻寬]]
*{{link-en|品質因子表|Q meter}}
*{{link-en|散逸因数|Dissipation factor}}

==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:线性滤波器]]
[[Category:电量参数]]
[[Category:力學]]
[[Category:光學]]