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{{noteTA
|1=zh-hans:上同调;zh-hk:上同調;zh-tw:餘調;
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[[代數幾何]]中，[[代數簇]]的'''周環'''（得名於[[周煒良]]）是簇作為拓撲空間的[[上同調環]]的替代品：子簇（所謂[[代數圈]]）構成了它的元素，而其乘法結構來自子簇的相交。事實上，兩環間有一自然映射，它保持了二者都有的幾何概念（例如[[陳類]]、相交配對以及[[龐加萊對偶]]）。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且，使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後，某些兩環都有的構造在周環中更簡單。

==有理等價==

定義周環前，我們需先定義“有理等價”。如名字所暗示，它是一個等價關係。假定X是一代數簇，Y、Z是其子簇，若存在一包含於積族'''P'''<sup>1</sup>&times;X中，且以'''P'''<sup>1</sup>參數化的[[平坦態射|平坦族]]，使得Y和Z是它的兩個[[纖維_(數學)|纖維]]，我們就稱Y和Z有理等價。用古典語言來說，我們想要一個積族的子簇，Y和Z是其兩纖維，且其所有纖維有相同的[[希爾伯特多項式]]。若我們將'''P'''<sup>1</sup>當作一條線，則此概念就是[[配邊]]的代數模擬。

==周環的定義==

有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環，我們將採用余維數（X本身與子簇的維數差），這樣乘積才運行良好。對滿足<math>0 \leq k \leq \dim{X}</math>的整數''k''，我們定義群''A''<sup>''k''</sup>(X)為余維數k的子簇的形式和，再模掉有理等價。
周環自身是它們的直和，即：

: <math>A^*(X) = \bigoplus_{k = 0}^{\dim{X}} A^k(X)</math>

環的結構以簇的相交給出：如果兩個等價類<math>[Y]</math>和<math>[Z]</math>分別在''A''<sup>''k''</sup>(''X'')和''A''<sup>''l''</sup>(''X'')中，我們定義它們的積為

: <math>[Y] \cdot [Z] = [Y \cap Z]</math>

此定義有一系列技術細節，我們將在[[#構造的細節|下面]]討論。可以肯定地說，在最好的情形（在有理等價下總成立），此交有余維數''k'' + ''l''，因而在''A''<sup>''k'' + ''l''</sup>(''X'')中。這使得周環成為[[分次環]]。周環的元素常被稱為“圈”

==幾何解釋==

周環的幾何內涵混合了有理等價和相交積，這使得似乎形式的數字系數得以被解釋為子簇的度。例如，射影空間'''P'''<sup>''n''</sup>的周環是

: <math>A^*(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[\omega]/(\omega^{n + 1})</math>

<math>\omega</math>是超平面（單個線性函數的零點軌跡）的有理等價類。更進一步，任何度為d而余維數為k的子簇都有理等價於<math>d \omega^k</math>。這意味著，如果有兩個子簇有互補的維數（它們維數和為n）且度數分別為d、e，則它們的積就是

: <math>[Y] \cdot [Z] = de \; \omega^n</math>

<math>\omega^n</math>是單點的等價類。至少在''Y''和''Z''橫截相交時（參見[[#構造的細節|此處]]），這說明它們恰有de個交點。這實則是[[貝祖定理]]。類似於此的觀察被極大地推廣，產生了[[計數幾何]]。

==函子性==

圈的函子性，即定義在代數圈群''Z<sup>*</sup>(X)''層面上的平坦[[拉回]]和適當[[前推]]可擴展至周環，這給出群同態

:<math>f^* \colon A^k(X') \to A^k(X) \,\!</math>和<math>f_* \colon A_k(X) \to A_k(X') \,\!</math>

事實上,<math>f^*</math>給出在整個周環上的環同態（遵從相交積，至少在集合論層面上這是顯然的），但<math>f_*</math>不行（因為集合論層面上它就不行：我們並不總有<math>f_*</math>）。但是我們有所謂“投影公式”：對''X''的子簇''Y''和''X&prime;''的子簇''Y&prime;''，

: <math>f_*([Y] \cdot f^*([Y'])) = f_*([Y]) \cdot [Y']</math>

==上同調聯繫==

周環非常像X上的整值上同調。事實上，有顯然的映射

: <math>f \colon A^*(X) \to H^{2*}(X)\,\!</math>

（以上記號代表在偶維數生成的上同調環）。它將每個有理等價類<math>[Y]</math>先送到由閉子簇''Y''決定的同調類，再送到它的龐加萊對偶（這解釋了偶維數：複代數簇總有偶實維數，因此決定了偶維數的同調類）。可以證明，同一個有理等價類被送到同一個上同調類。更進一步，龐加萊對偶性的一部分說明同調類的相交積對應於上同調類的[[杯積]]，因此這映射是環同態。

有不少事實對周環和上同調環有完全相同的形式。例如[[推拉公式]]在同調和上同調中都成立。進一步，一基本結果聲稱，'''P'''<sup>n</sup>的上同調環和以上給出的周環是一樣的，乃至<math>\omega</math>的解釋都一樣（這說明，對射影空間，實際上上一段定義的映射<math>\omega</math>是同構）。但是對此結果，上同調證明技巧性頗高。相反，對周環我們給出一個相當簡單的幾何證明：

首先，設H為一超平面，從而同構於'''P'''<sup>''n'' &minus; 1</sup>。任何另外的超平面''J''有理等價與它，因為若它們分別由線性形式''L''和''M''定義，我們可以把它們當成'''P'''<sup>n</sup>中的點（通過其系數），由此可得它們間唯一的線。線上的點都是線性形式，從而定義了一族超平面，且由構造''H''和''J''皆在其中。<math>H \cap J</math>是''H''中的超平面，且由定義它的等價類為<math>\omega^2</math>。這樣我們便有一族超平面，其中每個都嵌在前一個中，依次同構與對應的射影空間且等價於<math>\omega</math>的冪。

鑒於這些發現，我們考察任意余維數''k''度數''d''的子簇。如果''k''=0，那麼''Y''必須等於'''P'''<sup>''n''</sup>本身，因為射影空間不可約。如果''k''不是0，不妨假定H由令最後一個座標為0定義，且<math>P = [0 : \dots : 0 : 1]</math>不在''Y''中。對每個'''P'''<sup>1</sup>中不是<math>[0 : 1]</math>的點<math>t = [t_0 : t_1]</math>，定義映射

: <math> f_t \colon \mathbb{P}^n \setminus \{P\} \to \mathbb{P}^n \setminus \{P\}, f_t([a_0 : \dots : a_{n - 1}: a_n]) = [t_0 a_0 : \dots : t_0 a_{n - 1} : t_1 a_n] </math>

''Y''在這些映射下的像形成了一個在'''P'''<sup>1</sup>除去一點上的簇族。我們在 '''P'''<sup>1</sup> &times; '''P'''<sup>n</sup>中取閉包來得到''Y''的有理等價（這是一個等價關係得自一個非平凡但標準的事實：取閉包對應於取“平坦極限”）。如此，無窮遠點處的纖維就是''Y''到超平面''H''上的投影，因此有與''Y''相同的度和維數。因為''H''本身就是射影空間，我們可重複此過程直到''Y''維數過大不能繼續。由此可得''Y''有理等價與<math>d \omega^k</math>，而且我們已經找到了積結構。

一個類似的證明建立此定理的推廣，在上同調中以[[勒雷-赫希定理]]聞名。它用對應纖維叢的[[陳類]]和[[底空間]]的周環計算了[[射影空間叢]]的周環。上同調的證明則要用到[[譜序列]]。

某些事實在周環中不成立，但在上同調環中成立。尤其是[[Künneth公式]]不成立，儘管勒雷-赫希定理對射影空間的積重建了它。進一步，儘管周環在簇上有逆變函子性，但在代數拓撲的意義下它構不成上同調理論，因為沒有“相對周群”的概念。的確，在代數簇中，沒有邊界的概念，因此正面考慮替代品是無望的。

==構造的細節==

上面所給''A''<sup>k</sup>(''X'')的構造需要一些關於“模掉有理等價”的說明。相關的技術細節是，就像在計算射影空間周環時一樣，有時兩個並非簇對應的圈有理等價，儘管有理等價似乎僅僅與集合結構有關。解法是由[[概形]]理論而來，即一個由理想[[層]]定義的子簇可以被認為有重數''d''如果我們代理想<math>I</math>以<math>I^d</math>。這樣有理等價的古典陳述便不夠了，且我們必須密切關注平坦族的細節。最後，等價類的形式和，例如''aY'' + ''bZ''，應該被認為是“有度的簇”''aY''和''bZ''的不交並，一旦建立了這些約定，我們就可借有理等價為圈的自由阿貝爾群上的等價關係來得到周環。

[[相交積]]的定義有點更加複雜。主要問題是在相交中保持正確的維數。如果''Y''和''Z''是兩個余維數為''k''和''l''的子簇，它們的交並非總有余維數''k''+''l''。就如平凡的例子，兩簇可能完全相同。為了克服此難處，我們可以證明“移動引理”。它斷定在任何兩個有理等價類中，我們總可以找到一般橫截的兩代表元，此時它們的交表現良好。子簇的[[橫截性]]定義類似於流形的：先定義子簇的[[紮利斯基切空間]]，它們自然是''X''的切空間的子空間。如果這些子空間張成''X''的切空間，那麼此交是橫截的。如果橫截性在它的一個稠密子集上成立，那麼它是一般橫截的。

某種意義上，對於可對上同調環證明的事實，聲稱周環可給出更簡單的證明有些狡猾。特別是概形論的構造、平坦族和平坦極限，以及移動引理都解決了大量隱藏於周環下的技術困難。但是，這些技術細節大都是理論的基礎，一旦它們被建立，幾何上的優勢就很明顯了。

==發展==

周群被拓展至[[高階周群]]，這平行於從''K''<sub>0</sub> (零階[[K-理論|代數K-理論]])到高階代數K-理論的拓展。<ref>{{Harvard citations| last1=Bloch | year=1986 }}</ref>

[[算術周群]]是'''Q'''上代數簇的周群與記錄[[阿基洛夫理論]]信息——即有關複流形結構的信息——部分的混合。<ref>{{Harvard citations| first=H.|last= Gillet|first2=   C. |last2=Soulé|year=1992}}</ref>

==歷史==

有理等價和環A<sup>*</sup>在20世紀初由意大利代數幾何學派定義，且被Severi和他的學派使用(可參考Severi的論文<ref>F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5,
(1934), p. 239</ref><ref>F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7</ref>，他本質上研究了代數曲面S的群A<sub>0</sub>(S)；也可參閱[[戴維·芒福德|芒福德]]論文開頭的評論<ref>D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204</ref>）。
Serge在他1930年的論文<ref>B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)</ref>中用了對奇異曲線的環A<sub>0</sub>更精細的研究來描述P<sup>2</sup>中代數曲面的支線。在1956年周煒良寫了一篇重要的論文<ref>W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956</ref>後，環A<sup>*</sup>被稱作周環。有些幾何學家堅持是[[亞曆山大·格羅滕迪克|格羅滕迪克]]提出將此環命名為周環。

== 延伸阅读 ==
{{Wikisource further reading}} 

== 参考文献 ==

* {{Citation | last1=Bloch | first1=Spencer | title=Algebraic cycles and higher ''K''-theory | id={{MathSciNet | id = 852815}} | year=1986 | journal=Advances in Mathematics | issn=0001-8708 | volume=61 | issue=3 | pages=267–304}}
* {{Citation | last1=Chow | first1=Wei-Liang | author1-link=周煒良 | title=On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety | year=1956 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=64 | pages=450–479}}
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics | isbn=978-0-387-98549-7 | id={{MathSciNet | id = 1644323}} | year=1998 | volume=2}}
*{{citation|first=H.|last= Gillet|first2=   C. |last2=Soulé|title=An arithmetic Riemann–Roch Theorem|journal=  Invent. Math. |volume= 110  |year=1992|pages= 473–543|doi=10.1007/BF01231343}}

==注釋==
<references/>

[[Category:代数几何]]
[[Category:相交理论]]
[[Category:拓扑方法代数几何]]
[[Category:中国数学发现|Zhou, Weiliang]]