查看“︁周期点”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，特别是在[[迭代函数]]和[[动态系统]]领域，'''周期点'''是指被多次迭代后又[[映射]]到自身的点。这里的迭代次数叫做[[周期]]。周期为1的周期点被称为[[不动点]]。

==迭代函数==
设<math>f</math>是[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>上的[[自同态函数]]
:<math>f: X \to X</math>
若存在<math>n</math>，使得
:<math>\ f^n(x) = x</math>
则<math>x</math>是周期为<math>n</math>的'''周期点'''。这里，<math>\ f^n</math>是<math>f</math>的<math>n</math>次[[迭代]]。使得上式成立的最小正整数被称为'''最小周期'''。

设<math>p</math>是函数<math>f(x)</math>的以<math>n</math>为周期的周期点，若
:<math>|(f^n)^\prime|\ne 1</math>
则<math>p</math>是'''双曲周期点'''。若
:<math>|(f^n)^\prime|< 1</math> 
则称'''周期点'''p为'''吸引子'''；若
:<math>|(f^n)^\prime|> 1</math>
则称'''周期点'''p为'''排斥子'''。

若该周期点的[[稳定流形]]的[[向量空间|维数]]为0，则称其为'''源点'''；若[[不稳定流形]]的维数为0，则称其为'''汇点'''；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为[[鞍点]]。

==动态系统==
给定一个连续时间[[动态系统]]<math> (\mathbb{R}, X, \Phi)</math>，其中<math>X</math>是[[相空间]]，<math> \Phi</math>是[[状态转移函数]]，
:<math>\Phi: \mathbb{R} \times X \to X</math>
若存在<math>t>=0</math>，<math>x\in X</math>，使得
:<math>\Phi(t, x) = x\,</math>
则<math>x</math>被称为以<math>t</math>为周期的'''周期点'''，使上式成立的最小正数<math>t</math>被称为'''最小周期'''。

===性质===
设<math>x</math>是以<math>t</math>为周期的周期点，则对于任意实数<math>s</math>，<math>\Phi(s, x) = \Phi(s + t, x)\,</math>都成立。
设轨迹<math>\gamma_x</math>经过周期点<math>x</math>，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与<math>x</math>的最小周期相等。

==参见==
*[[极限环]]
*[[极限集合]]
*[[稳定集合]]
*{{link-en|沙可夫斯基定理|Sharkovskii's theorem}}
*[[驻点]]
*[[不动点]]

[[Category:数学分析]]
[[Category:动力系统]]