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|G1=物理學
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'''吸引子'''（'''Attractor'''）是[[微积分]]和[[系统科学]]论中的一个概念。一个系统有朝某个[[稳态]]发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。

吸引子分为[[平庸吸引子]]和[[奇异吸引子]]（Strange Attractor）。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。

对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于[[混沌理论|混沌系统]]的研究意义重大。

== 定義 ==
設<math>t</math>代表時間、<math>f(t,\cdot)</math>是用來確定[[動態系統]]狀態的函數。也就是說，如果<math>a</math>是<math>n</math>維[[相空間]]的一個點，代表系統的初始狀態，則<math>f(0,a)=a</math>且對每個正實數<math>t</math>有<math>f(t,a)</math>代表經過<math>t</math>單位時間後的狀態。舉例來說，如果一系統描述一維上某不受力粒子的演進，此時[[相空間]]是平面<math>\mathbb{R}^2</math>，其[[座標|坐標]]<math>(x,v)</math>中的<math>x</math>是粒子的[[位置向量|位置]]，<math>v</math>是粒子的[[速度]]。那麼就有

:<math> f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ </math>

而'''吸子'''是[[相空間]]中的[[子集]]<math>A</math>，並有以下幾個特徵：

* <math>A</math>在<math>f</math>下不隨時間變化，從而如果<math>a\in A</math>就有<math>f(t,a)\in A</math>對所有正實數<math>t</math>。
* 存在<math>A</math>的[[鄰域|鄰域]]<math>B(A)</math>（英文是basin of attraction），使得該域中任何點在時間趨於無限時都會趨近<math>A</math>，或者更精準的是滿足以下敘述：

:: 對任何<math>A</math>的鄰域<math>N</math>和<math>b\in B(A)</math>，存在正實數<math>T</math>使得<math>f(t,b)\in N</math>對所有<math>t>T</math>。
* 不存在<math>A</math>的[[非空集合|非空]]子集可以取代<math>A</math>滿足前面兩點性質。

吸子還有許多其它種的定義，例如有些作者要求吸子有正的[[测度|測度]]（以避免吸子中只有一個點），但其他作者只要求<math>B(A)</math>是鄰域<ref>Milnor, J. (1985). "On the Concept of Attractor." Comm. Math. Phys 99: 177–195.</ref>。

==種類==
吸子是[[動態系統]]中[[相空間]]的[[子集]]。在西元1960年代前，吸子仍被認為有「簡單的」幾何形狀，例如點、直線、平面等。但吸子的形狀事實上可能相當複雜， [[Stephen Smale|斯梅爾]]證明其[[马蹄映射|馬蹄映射]]的吸子有[[康托尔集]]的結構。

兩種簡單的吸子是不動點和極限環。也有的吸子無法使用基本的幾何物件的組合來描述，那麼他就被稱作奇異吸子。

=== 不動點 ===

=== 有限個點 ===

=== 極限環 ===
{{main|极限环|l1=極限環}}

=== 極限環面 ===

===奇異吸子===
[[File:Lorenz attractor yb.svg|thumb|200px|right|勞侖次奇異吸子的圖，其中用到參數ρ=28, σ = 10, β = 8/3。]]一個吸子被稱為'''奇異'''（'''strange'''）如果他具有[[碎形]]結構<ref name="Boeing2016Systems2">{{cite journal|title=Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction|author=Boeing, G.|url=http://geoffboeing.com/publications/nonlinear-chaos-fractals-prediction/|date=2016|journal=Systems|accessdate=2016-12-02|issue=4|doi=10.3390/systems4040037|volume=4|pages=37|arxiv=1608.04416|archive-date=2016-12-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20161203123841/http://geoffboeing.com/publications/nonlinear-chaos-fractals-prediction/|dead-url=no}}</ref>，這常常出現在[[動態系統]]是[[混沌理论|混亂的]]時，但奇異非混亂吸子也是存在的。
若一奇異吸子是混沌的，則其對[[初始條件]]敏感。也就是任意兩個極為接近的初始點，在一定數量的[[疊代]]運算後，兩者可以相距甚遠；也可以再經過一定數量的疊代運算後又變得極為靠近。也因此，一個具有混沌吸子的動態系統在局域是不穩定的，然而廣域來看卻可以是穩定的，因為這些動態點再怎麼彼此分離，也都不會離開吸子。

'''奇異吸子'''這個詞最早是由[[David Ruelle|呂埃勒]]與{{Link-en|Floris Takens|Floris Takens}}所命名，用以描述流體系統經一連串[[分岔理論|分岔]]所產生的吸子結果。<ref>{{cite journal|title=On the nature of turbulence|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186|last=Ruelle|first=David|last2=Takens|first2=Floris|date=1971|journal=Communications in Mathematical Physics|issue=3|doi=10.1007/bf01646553|volume=20|pages=167–192|access-date=2019-07-22|archive-date=2015-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20150623142848/http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857186|dead-url=no}}</ref> 

奇異吸子在一些方向上常是[[可微]]的，但一些例子則如同[[康托塵]]則不可微。奇異吸子亦可出現在有[[雜訊]]的場合。<ref name="Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures">{{cite journal|title=Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures|author=Chekroun M. D., Simonnet E., and Ghil M.|journal=Physica D.|issue=21|doi=10.1016/j.physd.2011.06.005|year=2011|volume=240|pages=1685–1700}}</ref>

奇異吸子的例子包括[[多卷波混沌吸引子]]、[[艾儂映射|艾儂吸子]]、[[熱斯勒吸子]]，以及[[勞侖次吸子]]。

==參考資料==
{{Reflist|30em}}

{{Wikibooks|Maple/混沌|吸引子}}
{{吸引子}}
{{分形}}
{{平衡}}
{{Authority control}}
 
[[Category:吸子|*]]
[[Category:稳态]]