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{{NoteTA|G1=物理學}}

在[[量子力學]]裏，'''含時微擾理論'''研究一個量子系統的含時微擾所產生的效應。這理論由[[狄拉克]]首先發展成功。由於系統的含微擾[[哈密頓量]]含時間，伴隨的[[能級]]與[[本徵態]]也含時間。所以，不同於[[不含時微擾理論]]，含時微擾理論解析問題的目標為：
*給予初始[[量子態]]，求算某個[[可觀測量]] <math>A</math> 的含時間[[期望值]]。
*一個量子系統的含時間量子態，仍舊是這系統的不含時零微擾哈密頓量 <math>H_{0}</math> 的本徵態的[[線性組合]]。求算這系統的量子態處於某個本徵態的[[機率幅]]。

第一個結果的重要性是，它可以預測由實驗測量得到的答案。例如，思考一個[[氫原子]]的[[電子]]，其所在位置的 x-坐標的期望值 <math>\langle x\rangle</math> ，當乘以適當的係數後，給出這電子的含時間[[偏振]]。將一個恰當的微擾（例如，一個震盪的[[電位]]）作用於氫氣，應用含時微擾理論，我們可以計算出[[交流電]]的[[電容率]]。詳細內容，請參閱條目[[介電譜學]] ({{lang|en|dielectric spectroscopy}}) 。

第二個結果著眼於量子態處於每一個本徵態的[[機率]]。這機率與時間有關。在[[雷射]]物理學裏，假若我們知道這機率，我們就可以計算一個氣體，因為含時間[[電場]]的作用，處於某個量子態的[[機率密度函數]]。這機率也可以用來計算[[譜線]]的量子增寬 ({{lang|en|quantum broadening}}) 。

==導引==
讓我們簡略的解釋，含時微擾理論的狄拉克表述，其背後的點子。先為零微擾系統選擇一個能量本徵態的[[正交基]] <math>{|n\rangle}</math> 。這些本徵態與時間無關。

假若，在時間 <math>t = 0</math> ，零微擾系統處於本徵態 <math>|j\rangle</math> 。那麼，隨著時間流逝，這系統的量子態可以表達為（採用[[薛丁格繪景]]：量子態隨著時間流逝而演化，而對應於[[可觀察量]]的[[算符]]則與時間無關）
:<math> |j(t)\rang = e^{ - iE_j t /\hbar} |j\rang </math> ；

其中，<math>E_j</math> 是本徵態 <math>|j\rangle</math> 的能級，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]。

現在，添加一個含時間的哈密頓量微擾 <math>V(t)</math> 。包括微擾系統在內的哈密頓量 <math>H</math> 是
:<math> H = H_0 + V(t)</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(1)</span>

標記 <math>|\psi(t)\rang</math> 為含微擾系統在時間 <math>t</math> 的量子態。它遵守[[含時薛丁格方程式]]:
:<math> H |\psi(t)\rang = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rang</math> 。<span style="position:absolute;right:15%">(2)</span>

在任何時間，量子態可以表達為本徵態的[[線性組合]]：
:<math> |\psi(t)\rang = \sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang </math> ；<span style="position:absolute;right:15%">(3)</span>

其中，<math>c_{n}(t)</math> 是[[複函數]]，稱為'''幅度'''。在這裏，我們顯性地表示出公式右手邊的[[相位因子]] <math>e^{ - i E_n t / \hbar}</math> 。這只是為了便利因素。並不會因此而失去一般性。

假若系統的初始量子態是 <math>|j\rang</math> ，而又沒有微擾作用，則幅度會有很理想的性質：隨著時間的演化，
:<math>c_j(t)=1</math> ，
:<math>c_n(t)=0,\quad n\ne j</math> 。

回思公式 (3) ，幅度 <math>c_{n}(t)</math> 的絕對平方是 <math>|\psi(t)\rang</math> 在時間 <math>t</math> 處於本徵態 <math>|n\rang</math> 的[[機率]]：
:<math> \left|c_n(t)\right|^2 = \left|\lang n|\psi(t)\rang\right|^2</math> 。

將公式 (1) 與 (3) 代入含時薛丁格方程式 (2) ，可以得到
:<math>\begin{align}\left[H_0 + V(t)\right] \sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang
 & = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(\sum_n c_n(t) e^{ - i E_n t / \hbar} |n\rang\right) \\
 & =\sum_n \left( i\hbar \frac{\partial c_n(t) }{\partial t}+c_n(t) E_n\right) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang \\
\end{align}</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

由於 <math>H_0 |n\rang=E_n|n\rang</math> ，這公式左手邊的 <math>H_0</math> 項目於右手邊的 <math>E_n</math> 項目相抵銷。所以，
:<math> \sum_n\left(i\hbar \frac{\partial c_n(t)}{\partial t}\right) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang =\sum_n c_n(t)V(t) e^{- i E_n t /\hbar}|n\rang</math> 。

將 <math>\langle m|</math> 內積於這公式兩邊，可以得到一組聯立的[[偏微分方程式]]：
:<math> \frac{\partial c_m}{\partial t} = \frac{ - i}{\hbar} \sum_n \lang m|V(t)|n\rang \,c_n(t)\, e^{ - i(E_n - E_m)t/\hbar} </math> 。

矩陣元素 <math>\lang m|V(t)|n\rang</math> 的角色，影響到量子態的幅度改變的速率 <math>\frac{\partial c_m}{\partial t}</math> 。可是，注意到這遷移內中含有一個相位因子。經過一段超久於 <math>\hbar/(E_n - E_m)</math> 的間隔時間，相位會轉繞很多圈次。

一直到此，我們尚未嘗試取近似值。所以，這一組偏微分方程式仍舊是精確的。通過給予初始值 <math>c_n(0)</math> ，原則上，我們可以找到（非微擾的）精確解。對於[[雙態系統]]，只有兩個能級 (<math>n=1,\,2</math>) 的量子系統，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系統，像[[氨|氨分子]]，[[氫分子離子]] ({{lang|en|Hydrogen molecular ion}}) ，[[苯|苯分子]]等等，都可以用雙態系統模型來分析<ref name="Feynman2006">{{cite book|last = 費曼|first = 理查|authorlink = 理查·費曼|last2 = 雷頓|first2 = 羅伯|last3 = 山德士|first3 = 馬修|title = 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用|publisher =天下文化書|location =台灣|date = 2006|pages = pp. 71-108|isbn = 986-417-672-2 }}</ref>。但是對於更多能級的系統，找到精確解是非常困難的。我們只好尋找微擾解。我們可以用積分式來表達幅度：
:<math> c_n(t) = c_n(0) + \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \,c_k(t')\, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} </math> 。

重覆的將 <math>c_n(t)</math> 的表達式代入這公式的右手邊，可以得到一個[[迭代|迭代解]]：
:<math>c_n(t) = c_n^{(0)} + c_n^{(1)} + c_n^{(2)} + \cdots</math> ；

其中，舉例而言，一階項目是
:<math>c_n^{(1)}(t) = \frac{-i}{\hbar} \sum_k \int_0^t dt' \;\lang n|V(t')|k\rang \, c_k(0) \, e^{-i(E_k - E_n)t'/\hbar} </math> 。

應用含時微擾理論，可以得到更多進一步的結果，像[[費米黃金定則|費米黃金律]] ({{lang|en|Fermi's golden rule}}) 或[[戴森級數]] ({{lang|en|Dyson series}}) 。費米黃金律計算，因為含時微擾，從某個能量本徵態發射至另外一個能量本徵態的[[躍遷|躍遷率]]。通過應用上述迭代法於[[時間演化算符]]，可以得到戴森級數。這是[[費曼圖]]方法的起點之一。

==參閱==
*[[雙態系統]]
*[[吸收]]
*[[自發射]] ({{lang|en|spontaneous emission}})
*[[受激發射]]  ({{lang|en|stimulated emission}})
*[[拉比問題]] ({{lang|en|Rabi problem}})

==參考文獻==
<references />

==外部連結==
*[https://web.archive.org/web/20100624233244/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/fall2003/physics130b/movies/2003-11-19_full.mov 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：含時微擾理論]

[[Category:量子力學|W]]
[[Category:微擾理論|W ]]

[[de:Störungstheorie]]
[[en:Perturbation theory (quantum mechanics)]]
[[es:Teoría perturbacional]]
[[fr:Théorie de la perturbation (mécanique quantique)]]
[[it:Teoria perturbativa]]
[[he:תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)]]
[[ms:Teori usikan (mekanik kuantum)]]
[[pl:Teoria perturbacji (mechanika kwantowa)]]
[[pt:Teoria perturbacional]]