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[[數學]]分支[[線性代數]]中，'''向量空間的維數定理'''表明，[[向量空間]]的任意一組[[基 (線性代數)|基]]，都具有相同數量的元素。基的大小可能有限，也可能[[無窮]]（此時其大小為[[基數 (數學)|基數]]）。基的大小定義為向量空間的[[向量空间的维数|維數]]。<ref>{{cite book|first = Serge|last = Lang|author-link = Serge Lang|title = Algebra|edition = Revised Third Edition|publisher = [[Springer]]|series = [[數學研究生教材|GTM]]|volume = 211|pages = 140–141|doi = 10.1007/978-1-4613-0041-0|year = 2002|language = en}}</ref>

形式上，向量空間的維數定理指出：

{{block indent|em=1.5|text=設{{math|''V''}}為向量空間，<math>\mathcal {B_1, B_2}</math>為兩組基，則兩者[[等勢]]，即元素個數<math>|\mathcal B_1| = |\mathcal B_2|</math>。}}

由於基是[[線性獨立]]的[[线性生成空间|生成集]]，上述定理可由以下定理推出：

{{block indent|em=1.5|text=在一個向量空間{{math|''V''}}中，如果{{mvar|''G''}}是生成集，{{mvar|''I''}}是線性獨立集，那麼{{mvar|''I''}}的基數不大於{{mvar|''G''}}的基數。}}

特別地，如果{{math|''V''}}[[有限生成]]，則每一組[[基 (線性代數)|基]]皆為有限，並且具有相同數量的元素<ref>Howard, P., [[Jean E. Rubin|Rubin, J.]]: "Consequences of the axiom of choice" - Mathematical Surveys and Monographs, vol 59 (1998) {{issn|0076-5376}}.</ref>。在一般情況下，證明「任何向量空間都包含一組基」需要[[佐恩引理]]，並且實際上等價於[[選擇公理]]{{cn}}，但證明「基的大小唯一」只需要[[布尔素理想定理]]<ref>{{cite journal|language = en|first = James D.|last = Halpern|title = Bases in vector spaces and the axiom of choice|journal = Proceedings of the American Mathematical Society|volume = 17|year = 1966|pages = 670–673|url = http://www.ams.org/journals/proc/1966-017-03/S0002-9939-1966-0194340-1|doi = 10.2307/2035388|jstor = 2035388|mr = 0194340|access-date = 2023-03-24|archive-date = 2023-04-11|archive-url = https://web.archive.org/web/20230411180900/https://www.ams.org/journals/proc/1966-017-03/S0002-9939-1966-0194340-1/|dead-url = no}}</ref>。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:抽象代数定理]]