查看“︁向量空间的维数”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
[[File:Zero-dimension.GIF|thumb|零维空间只是一个点]]
[[数学]]中, [[向量空间]] ''V'' 的'''维数'''是 ''V'' 的基底的[[势 (数学) |势]]，即基底中向量的个数。向量空间的维数有时也称作'''哈梅尔维数'''（Hamel basis）或'''代数维数'''以便与其他类型的[[维数]]相区别。 向量空间中的所有基底具有相等的势（参阅[[向量空间的维数定理]]）。所以向量空间的维数是唯一并确定的. 若''F''为[[体 (数学)|域]]， ''F''上的向量空间 ''V'' 的维数可记为 dim<sub>''F''</sub>(''V'') 或 [V : F], 读作 " ''V'' 在 ''F'' 上的维数"。 当上下文中给出明确的''F'' 时, 通常记为 dim(''V'') .

== 例子 ==

向量空间 '''R'''<sup>3</sup> 的[[基底]]为

:<math>\left \{  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}  , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}</math>  

因此 dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>3</sup>) = 3。 广泛来讲, dim<sub>'''R'''</sub>('''R'''<sup>''n''</sup>) = ''n''。更加广泛而言, 对任何的[[体 (数学)|域]] ''F''，dim<sub>''F''</sub>(''F''<sup>''n''</sup>) = ''n'' .

[[复数 (数学)|复数系]] '''C''' 既是实向量空间又是复向量空间;  dim<sub>'''R'''</sub>('''C''') = 2 以及 dim<sub>'''C'''</sub>('''C''') = 1. 所以向量空间的维数取决于构成向量空间的域.

只有一个零向量构成的向量空间 {0} 的维数是 0.

== 维数的性质 ==

如果 ''W'' 是 ''V'' 的[[线性子空间]], 那么 dim(''W'') ≤ dim(''V'').

为证明两个有限维向量空间相等, 通常使用以下公理: 如果 ''V'' 是有限维向量空间, ''W'' 是 ''V'' 的线性子空间, 并且 dim(''W'') = dim(''V''), 那么 ''W'' = ''V''.

'''R'''<sup>''n''</sup> 的标准基底是 {'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}, 其中 '''e'''<sub>''i''</sub> 是[[单位矩阵]]的第 ''i'' 列.

域 ''F'' 上的任何两个向量空间是[[同构]]的. 任何他们基底之间的[[双射]]能够唯一的扩展到整个向量空间上的线性[[双射]]. 

== 参阅 ==
*[[基底]]
*[[拓扑维数]]，也被称为勒贝格覆盖维数
*[[分形维数]]，也被称为豪斯多夫维数
*[[克鲁尔维数]]

== 参考资料 ==
{{reflist}}
{{refbegin}}
*{{Citation | first = Terry | last = Gannon | title = Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics | year = 2006 | isbn = 0-521-83531-3}}
{{refend}}

==外部链接==
* [http://video.google.com/videoplay?docid=-7254479149869222300 MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension]{{Wayback|url=http://video.google.com/videoplay?docid=-7254479149869222300 |date=20081208202228 }} at Google Video, from MIT OpenCourseWare

[[Category:线性代数]]
[[Category:维度]]
[[Category:向量]]