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'''向量球諧函數'''(Vector spherical harmonics)是應用於[[球座標系|球坐標系]]的[[拉普拉斯方程|拉普拉斯方程式]]的向量解，是[[球谐函数|球諧函數]]的向量衍伸形式。在必須計算[[向量場]]的[[经典电磁学|電動力學]]等領域中被廣泛應用。

== 定義 ==

在球坐標系下，[[拉普拉斯算子|拉普拉斯算符]]作用在一[[向量場|三維向量場]]上可以寫為
: <math>\nabla^2 \vec{A}(r,\theta,\phi) = 0 </math>

利用[[分離變數法]]可以將此一方程式的解分解為一系列[[本徵函數]]的[[线性组合|線性組合]]
: <math> \vec{A} = R_l (r) \mathbf{Y}_{m,l}^{(n)} (\theta,\phi), n = 1,2,3 </math>

其中的徑向解<math>R_l</math>與[[球諧函數|純量球諧函數]]相同，而<math>\mathbf{Y}_{m,l}^{(n)}</math>為一與角度相關的向量解，也就是'''向量球諧函數'''。


向量球諧函數依用途有很多定義方式<ref>R.G. Barrera, G.A. Estévez and J. Giraldo, ''Vector spherical harmonics and their application to magnetostatics'', Eur. J. Phys. '''6''' 287-294 (1985)</ref><ref>B. Carrascal, G.A. Estevez, P. Lee and V. Lorenzo '' Vector spherical harmonics and their application to classical electrodynamics'', Eur. J. Phys., '''12''', 184-191 (1991)</ref><ref>E. L. Hill, ''The theory of Vector Spherical Harmonics'', Am. J. Phys. '''22''', 211-214 (1954)</ref><ref>E. J. Weinberg, ''Monopole vector spherical harmonics'', Phys. Rev. D. '''49''', 1086-1092 (1994)</ref><ref>P.M. Morse and H. Feshbach, ''Methods of Theoretical Physics, Part II'', New York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)</ref>。這邊我們依照 Barrera 等人的定義，以對[[球谐函数|球諧函數]]{{math|''Y<sub>ℓm</sub>''(''θ'', ''φ'')}}為基礎，將三個向量球諧函數表示為

* <math>\mathbf{Y}_{lm} = Y_{lm}\hat{\mathbf{r}}</math>
* <math>\mathbf{\Psi}_{lm} = r\nabla Y_{lm}</math>
* <math>\mathbf{\Phi}_{lm} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{lm}</math>

這邊 <math>\mathbf{r}</math> 是對應球座標 {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} 的向量，而 <math>\hat{\mathbf{r}}</math> 則為其[[单位向量|單位向量]]。

== 主要特性 ==
依照上述 Barrera 的定義，向量球諧函數有以下特性：

=== 對稱性 ===
與球諧函數相同，向量球諧函數有對稱性

: <math>\mathbf{Y}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{Y}^*_{lm}\qquad\mathbf{\Psi}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{lm}\qquad\mathbf{\Phi}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{lm}</math>

星號 * 代表[[共轭复数|共軛函數]]。

=== 正交性 ===

三種向量球諧函數彼此兩兩[[正交]]

: <math>\mathbf{Y}_{lm}\cdot\mathbf{\Psi}_{lm}=0\qquad\mathbf{Y}_{lm}\cdot\mathbf{\Phi}_{lm}=0\qquad\mathbf{\Psi}_{lm}\cdot\mathbf{\Phi}_{lm}=0</math>
另外同種類的球諧函數的內積為：
: <math>\int\mathbf{Y}_{lm}\cdot  \mathbf{Y}^*_{l'm'}\,\mathrm{d}\Omega  = \delta_{ll'}\delta_{mm'}</math>
: <math>\int\mathbf{\Psi}_{lm}\cdot  \mathbf{\Psi}^*_{l'm'}\,\mathrm{d}\Omega  = l(l+1)\delta_{ll'}\delta_{mm'}</math>
: <math>\int\mathbf{\Phi}_{lm}\cdot  \mathbf{\Phi}^*_{l'm'}\,\mathrm{d}\Omega  = l(l+1)\delta_{ll'}\delta_{mm'}</math>

=== 純量場的梯度 ===
對一個純量場 <math>\phi</math>，若其[[多極展開]]可表示為：
: <math>\phi = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \phi_{lm}(r) Y_{lm}(\theta,\phi)</math>

則其[[梯度]]可以向量球諧函數表示為：

: <math>\nabla\phi = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l\left(\frac{\mathrm{d}\phi_{lm}}{\mathrm{d}r} \mathbf{Y}_{lm}+
\frac{\phi_{lm}}{r}\mathbf{\Psi}_{lm}\right)</math>

=== 散度 ===
三種向量球諧函數之[[散度]]分別為：

: <math>\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{lm}\right) = \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{2}{r}f\right)Y_{lm}</math>
: <math>\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{lm}\right) = -\frac{l(l+1)}{r}fY_{lm}</math>
: <math>\nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{lm}\right) = 0</math>

其中 <math display="inline">f(r)</math> 為球諧函數之徑向分布， <math>Y_{lm}</math> 為[[球谐函数|球諧函數]]。

=== 旋度 ===
三種向量球諧函數之[[旋度]]分別為：

: <math>\nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{lm}\right) =-\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{lm}</math>

: <math>\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{lm}\right) = \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{lm}</math>

: <math>\nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{lm}\right) = -\frac{l(l+1)}{r}f\mathbf{Y}_{lm}-\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Psi}_{lm}</math>
其中 <math display="inline">f(r)</math> 為球諧函數之徑向分布

== 運用 ==

=== 電動力學 ===
在沒有源的空間中，[[馬克士威方程組]]可以被簡化為{{請求來源}}
: <math>\triangledown^2 \mathbf{E} + k_m^2 \mathbf{E} = 0</math>
: <math>\triangledown^2 \mathbf{H} + k_m^2 \mathbf{H} = 0</math>
此處 <math>\mathbf{E}</math>是[[電場]]，<math>\mathbf{H}</math>是[[磁場|H場]]，<math>k_m</math>是介質中的[[波數]]。


因為向量球諧函數可以很正確的描述簡化後的電磁場方程式，所以在電動力學中，向量球諧函數獲得廣泛的利用。常見的應用如多極輻射或[[米氏散射]]等。

== 參見 ==

* [[球谐函数|球諧函數]]
* [[电磁辐射|電磁輻射]]

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/VectorSphericalHarmonic.html ''Vector Spherical Harmonics'' at Eric Weisstein's Mathworld]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/VectorSphericalHarmonic.html |date=20140714164931 }}
[[Category:特殊函数]]