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:在這篇文章內，[[向量]]與其量值分別用[[Help:數學公式#字體#正粗體|粗體]]與[[Help:數學公式#斜體|斜體]]表示；例如，<math>\left| \mathbf{r} \right| = r\,\!</math> 。

這條目陳列一些常用的[[向量代數]]的[[恆等式]]。

==三重積==
{{main|三重積}}
*<math>\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})</math>
*<math>\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times \mathbf{C}) = \mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{A}) = \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})</math>

==其他乘積==
*<math>(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = A^2 B^2 - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{A})) </math>
*<math> \mathbf{\left(A\times B\right)\times}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times D})\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times C})\right)\mathbf{D} </math>

==乘積定則==
*<math>\mathbf{\nabla} (fg) = f(\mathbf{\nabla}g) + g(\mathbf{\nabla} f)</math>
*<math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B})+\mathbf{B} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{A} </math>
*<math>\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{B}+ (\mathbf{B} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{A}+\mathbf{A}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B})+\mathbf{B}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})</math>
*<math>\mathbf{\nabla} \cdot (f\mathbf{A})=f(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})+\mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} f) </math>
*<math>\mathbf{\nabla} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})=\mathbf{B} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) </math>
*<math>\nabla\times (f\mathbf{A})=f(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla f)\times\mathbf{A}</math>
*<math>\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= (\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla\cdot\mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})</math>
*<math>\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= \mathbf{A} \times (\nabla\times\mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla\times\mathbf{A}) - (\mathbf{A}\times\nabla) \times \mathbf{B} + (\mathbf{B}\times\nabla) \times \mathbf{A} </math>
*<math>\nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)= - \nabla'\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)
= - \ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \,\!</math> 
*<math>\nabla^2 \left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)
= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')</math>

==二次微分==
*<math>\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{A}) =0</math>
*<math>\nabla\times(\nabla f) =\mathbf{0}</math>
*<math>\nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A})=\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})</math>
*<math>\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}</math>
:: 這裏，<math>\nabla^2 \mathbf{A}</math> 應被理解爲對 <math>\mathbf{A}</math> 的每個分量取[[拉普拉斯算子]]，卽[[拉普拉斯算子#向量值函数的拉普拉斯算子|向量值函数的拉普拉斯算子]]。

==積分==
*<math>\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)\mathrm{d}V </math> （[[散度定理]]）
*<math>\oint_{\mathbb{S}}\psi\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\mathbb{V}} \nabla \psi\, \mathrm{d}V</math>
*<math>\oint_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)\cdot\mathrm{d}S=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\mathrm{d}V </math>
*<math>\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math> （[[斯托克斯定理]]）

*<math>\oint_{\mathbb{C}}\psi d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)\mathrm{d}S </math>

===格林恆等式===
*格林第一恆等式： <math>\int_\mathbb{U} (\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S</math> 
*格林第二恆等式：<math> \int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S</math> 
*格林第三恆等式：<math>\psi(\mathbf{x} )  - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'=  \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'}  -  G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right]  \, \mathrm{d}S'</math> 

==參閱==
*[[格林恆等式]]
*[[數學恆等式列表]] ({{lang|en|List of mathematical identities}})
*[[向量微積分恆等式]] ({{lang|en|Vector calculus identities}})

[[Category:初等代数|X]]
[[Category:數學恆等式|X]]

[[en:List of vector identities]]