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在[[向量微积分]]和[[物理学]]中，'''向量場'''（{{lang-en|vector field}}）<ref>{{Cite web|url=http://case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/Files/speech/Ref/CS0099S2B02_ch15.pdf|title=第15章向量场(Vector Fields)|author=朱桦|date=2018年12月23日|publisher=[[国立台湾大学]]|accessdate=2020年6月15日|archive-date=2020年9月22日|archive-url=https://web.archive.org/web/20200922032356/http://case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/Files/speech/Ref/CS0099S2B02_ch15.pdf|dead-url=no}}</ref>是把[[空间_(数学)|空間]]中的每一[[点]]指派到一個[[向量]]的[[映射]]<ref name="Galbis-2012-p12">{{cite book|authors=Galbis, Antonio & Maestre, Manuel|title=Vector Analysis Versus Vector Calculus|publisher=Springer|year=2012|isbn=|page=12|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12|access-date=2020-06-15|archive-date=2016-04-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20160425125807/https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12|dead-url=no}}</ref>。[[物理學]]中的向量場有風場、[[引力場]]、[[電磁場]]、水流場等等。
== 定義 ==

設''X''是'''R'''<sup>''n''</sup>裡的一個连通開集，一個'''向量場'''就是一個向量函數

:<math> \mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n</math>

我們稱<math display="inline"> \mathbf{F}</math>為一個''C<sup>k</sup>''向量場，如果<math> \mathbf{F}</math>在''X''上是''k''次連續可微的。

在''X''內，一個點''x''被稱為'''固定的'''，若
:<math> \mathbf{F}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math>

向量場可以理解為一個''n''維空間，其中對X內每一個點都有個附著的''n''維向量。

給定兩個定義於''X''上的''C''<sup>''k''</sup>-向量場''F'',''G''以及一個定義於''X''上的''C''<sup>''k''</sup>-實值函數''f''，可以定義以下運算

:<math> (f \mathbf{F})(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) \mathbf{F}(\mathbf{x})</math>

:<math> \mathbf{(F+G)}(\mathbf{x}) = \mathbf{F}(\mathbf{x}) + \mathbf{G}(\mathbf{x})</math>

如此便可定義在''C''<sup>''k''</sup>函數的[[环_(代数)|環]]上的''C''<sup>''k''</sup>向量場的[[模]]。

== 参考资料 ==
{{reflist}}

{{mathstub}}

[[Category:向量分析|X]]
[[Category:微分拓扑学|X]]
[[Category:场论|X]]