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{{noteTA
|G1=Math
}}
{{about|向量域的数学理论中的一般概念|电磁学中的-{zh-tw:向量勢;zh-cn:矢势}-|磁矢势|流体力学中的-{zh-tw:向量勢;zh-cn:矢势}-|流量函数}}
[[向量微積分]]中，'''向量勢'''（{{lang-en|'''vector potential'''}}），或稱'''向量位'''，是一個[[向量場]]，其[[旋度]]為一給定向量場。這情形類比於[[純量勢]]為一純量場，其負值[[梯度]]為一給定向量場。

形式上，給定一向量場 '''v'''，則向量勢為一向量場 '''A''' 使得
:<math> \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}</math>。

若一向量場 '''v''' 具有向量勢 '''A'''，則從等式
:<math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0</math>（[[旋度]]的[[散度]]為零）
可以得到
:<math>\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,</math>
暗示了'''v'''必須是個[[螺線向量場]](solenoidal vector field)。

一個有意思的問題是：是否任何螺線向量場都具有一向量勢？答案是肯定的，只要向量勢滿足一些特定條件。

==定理==

设 
:<math>\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math>
为二次[[光滑函数|连续可微]]的[[螺线向量场]]。假设当 ||'''x'''||&rarr;&infin; 时，'''v'''('''x''') 下降得足够快。定义

:<math> \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}. </math>
那么，'''A''' 是 '''v''' 的一个向量势，也就是说：
:<math>\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}. </math>

这个定理的一个推广是[[亥姆霍兹分解]]，它表明任何一个向量场都可以分解为一个螺线向量场和一个[[无旋向量场]]的和。

==非唯一性==

螺线向量场所具有的向量势不是唯一的。如果 '''A''' 是 '''v''' 的一个向量势，那么：

:<math> \mathbf{A} + \nabla m </math>
也是一个向量势，其中''m''是任何一个连续可微的标量函数。这可以从梯度的旋度是零的事实推出。

==参见==
* [[向量分析基本定理]]
* [[磁矢势]]
* [[螺线管]]

==参考文献==

* ''Fundamentals of Engineering Electromagnetics'' by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.

[[Category:基本物理概念]]
[[Category:勢]]
[[Category:向量分析]]
[[Category:矢量物理量]]
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{{physics-stub}}