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{{NoteTA
|G1=Math
}}
{{微积分学}}
'''向量分析'''，或称为'''向量微積分'''（{{lang-en|Vector calculus}}）是[[數學]]的一个分支，主要研究在3维[[欧几里得空间]]<math>\mathbb{R}^3</math>中[[向量場]]的[[微分]]和[[积分]]。「向量分析」有时也用作[[多元微积分]]的代名词，其中包括向量分析，以及[[偏微分]]和[[多重积分]]等更广泛的问题。

向量分析在[[微分几何]]与[[偏微分方程]]的研究中起着重要作用。它被广泛应用于[[物理学|物理]]和[[工程学|工程]]中，特别是[[电磁场]]、[[引力场]]和流体流动的描述中。

向量分析由[[约西亚·吉布斯]]和[[奧利弗·黑維塞]]於19世纪末从[[四元數]]分析发展而来，大多数符号和术语由吉布斯和{{le|愛德華·比德韋爾·威爾遜|Edwin Bidwell Wilson}}在《向量分析》（1901）中提出。向量演算的常规形式中使用[[外代数|外积]]，不能推广到更高维度，而另一种[[几何代数]]的方法运用了可推广的外积，下文将会讨论。

==基本对象==
===标量场===
{{Main|标量场}}
[[标量场]]将空间中的每点与[[标量 (数学)|标量]]值相关联。标量是代表[[标量 (物理学)|物理量]]的数字。标量场的应用如空间中的[[温度]]分布、流体中的[[压强]]分布、零旋量子场（称为[[标量玻色子]]）如[[希格斯场]]。这些场是[[标量场论]]的研究对象。

===向量场===
{{Main|向量场}}
[[向量场]]将[[向量]]分配给[[空间 (数学)|空间]]中的每一点。<ref name="Galbis-2012-p12">{{cite book|author1=Galbis, Antonio |author2=Maestre, Manuel |title=Vector Analysis Versus Vector Calculus|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1-4614-2199-3|page=12|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12}}</ref>例如，平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合，每个都有给定的[[量_(数学)#歐幾里得向量|大小]]与方向，并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向，或某种[[力]]（如[[磁场|磁力]]或[[引力]]）在点之间变化时的强度和方向。例如，这可用于计算在一条线上所做的[[功]]。

===向量和伪向量===
在更高级的处理中，进一步区分了[[伪向量]]场和[[赝标量]]场，它们只在反向映射下符号会变化：例如，向量场的[[旋度]]是伪向量场，若反射一个向量场，旋度会指向相反的方向。这种区别在[[几何代数]]中有阐述，下详。

==向量运算==
===代数运算===
{{main|向量}}
向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为'''向量代数'''，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，基本代数运算有：

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+向量分析基本代数运算
|-
!scope="col"|运算
!scope="col"|记作
!scope="col"|描述
|-
![[向量#加法与减法|向量加法]]
|<math>\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2</math>
|两个向量相加，产生向量。
|-
!scope="row"|[[标量乘法]]
|<math>a \mathbf{v}</math>
|标量和向量相乘，产生向量。
|-
!scope="row"|[[內積]] / [[点积]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2</math>
|两个向量相乘，产生标量。
|-
!scope="row"|[[向量積|外積]] / [[叉积]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2</math>
|<math>\mathbb R^3</math>中两向量相乘，产生（伪）向量。
|}

两种[[三重积]]也比较常见：
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+向量分析中的三重积
|-
!scope="col"|运算
!scope="col"|记作
!scope="col"|描述
|-
!scope="row"|[[三重积|标量三重积]]
|<math>\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|向量与两向量叉积的点积。
|-
!scope="row"|[[三重积|向量三重积]]
|<math>\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|向量与两向量叉积的叉积。
|}

三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

===微分运算===
{{main|梯度|旋度|散度|拉普拉斯算子}}
向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同[[微分算子]]，通常用的[[向量算子]]（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!算子!! 表示 !! 敘述 !! 界域
|- 
![[梯度]]
| <math> \operatorname{grad}(f) = \nabla f </math> || 純量場 <math> f </math> 於場中某點'''增加率最大'''的速率與方向 ||''' 純量場'''的梯度是'''向量場'''
|-
![[散度]]
| <math> \operatorname{div}(\vec{F}) = \nabla \cdot \vec{F} </math> || 向量場 <math> \vec{F} </math> 於場中某點附近'''發散'''或'''匯聚'''的程度 || '''向量場'''的散度是'''純量場'''
|-
![[旋度]]
| <math> \operatorname{curl}(\vec{F}) = \nabla \times \vec{F} </math> || 向量場 <math> \vec{F} </math> 於場中某點附近'''旋轉'''的程度|| '''向量場'''的旋度是'''向量場'''
|-
!{{Link-en|向量拉普拉斯算子|Vector Laplacian}}
|<math>\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})</math>
|均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度
|'''向量場'''的向量拉普拉斯是'''向量場'''
|-
! [[拉普拉斯算子]]
| <math> \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f </math> || 對純量場 <math> f </math> 作'''梯度'''運算後，再作'''散度'''運算 || '''純量場'''的拉普拉斯是'''純量場'''
|}

== 定理 ==
同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将[[微积分基本定理]]拓展到了更高维度：
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 定理 !! 表示 !! 註解
|-
! [[梯度定理]]
| <math>\int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)</math> || 梯度（向量）场中的[[曲线积分]]与它的标量场中两个端点的差。
|-
! [[格林定理]]
| <math> \int\!\!\!\!\int_{A\,\subset\mathbb R^2} \left  (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, d\mathbf{A}=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) </math> || 平面内向量场中区域的标量旋度，等於向量场沿逆时针方向的封閉曲線的線積分。
|-
! [[斯托克斯定理]]
| <math> \int\!\!\!\!\int_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math> || <math>\mathbb R^3</math> 内向量场的旋度的[[曲面]]积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
|-
! [[高斯散度定理]]
| {{oiint
| preintegral = <math>\int\!\!\!\!\int\!\!\!\!\int_{V\,\subset\mathbb R^3}\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)d\mathbf{V}=</math>
| intsubscpt = <math>\scriptstyle \partial V</math>
| integrand = <math>\mathbf F\;\cdot{d}\mathbf S </math>
}}
|| 向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面[[通量]]的积分。
|}

==应用==
===线性近似===
{{main|线性近似}}
线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数<math>f(x,\ y)</math>，对接近<math>(a,\ b)</math>的<math>(x,\ y)</math>，可以用下式近似<math>f(x,\ y)</math>
:<math>f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).</math>

右式是<math>z=f(x,\ y)</math>图形在<math>(a,\ b)</math>处切线的平面方程。

===最优化===
{{main|最优化}}
对连续可微[[多变量函数]]，若其所有[[偏导数]]在''P''点都为零（[[梯度]]为零），则''P''点是一个'''临界点'''。临界值是函数在临界点上的值。

若函数[[光滑函数|光滑]]，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部[[极值]]或[[鞍点]]。考虑二阶导的[[黑塞矩阵]]的[[特征值]]，可以区分不同情形。

由[[费马引理]]，可微函数的局部[[极值]]都出现在临界点上。因此，要找到局部极值，只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

===物理学与工程学===
向量分析尤其适于研究
*[[质心]]
*[[场_(物理)#場論|场论]]
*[[运动学]]
*[[麦克斯韦方程组]]

==推广==
向量分析还可推广到其他[[3-流形]]及高维空间。

===不同3-流形===
向量分析起初是在[[欧氏空间]]<math>\mathbb{R}^3</math>中，不仅是3维实向量空间，还具有额外结构，即：由[[内积]]定义[[范数]]（给出长度概念），又引出角度与[[可定向性|方向]]，方向又分左右手。这些结构产生了[[体积形式]]，以及在向量分析中常用的[[叉积]]。

梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑[[坐标轴]]的手性。

若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称[[退化雙線性形式#非退化双线性形式|非退化形式]]）核方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（[[正交群#实数域上的正交群|特殊正交群]]SO(3)）下不变的事实。

更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向[[黎曼流形]]，或更一般的[[伪黎曼流形]]上。这种结构就是每点的[[切空间]]都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化[[度量张量]]与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。

=== 其他维度 ===
大多数分析结果都可以通过[[微分几何]]机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生[[调和分析]]）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。

从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作''k''向量场：标量场是0-向量场，向量场是1-向量场，伪向量场是2-向量场，伪标量场是3-向量场。在更高维度中，还有更多类似的场（标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因此不能只用（伪）标量和（伪）向量。

在任意维度中，假定一个非退化形式，标量函数的梯度是向量场，而向量场的散度是标量函数，但只有3维、7维<ref>Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", ''Approximation Theory and Its Applications'' 15(3): 66 to 80 {{doi|10.1007/BF02837124}}</ref>（1维、0维是平凡的）中，才能定义叉积（其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量，或要用[[李代数]]代替，即更一般的反对称双线性积）。总之，向量场的旋度是[[二重向量]]场，可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数；但这不能视作向量场，因为维数不同——3维旋转有3维，但4维旋转有6维（''n''维中的旋转有<math>\textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}</math>维）。

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是[[几何代数]]，用[[多重矢量|''k''向量]]场（3维及以下时，''k''向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。[[外积]]取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的[[克利福德代数]]（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。

第二个运用[[微分形式]]（''k''余向量场），在数学中有广泛应用，尤常见于[[微分几何]]、[[几何拓扑]]、[[调和分析]]等领域，在有向伪黎曼流形上产生了[[霍奇理论]]。从这个角度看，梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的[[外导数]]，而向量分析的关键定理都是[[斯托克斯定理]]一般形式的特例。

从这两种推广来看，向量分析隐式地标识了不同的数学对象，使表述更简单，但底层的数学结构与推广却不那么清晰。从几何代数的角度来看，向量分析隐式地将''k''向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将''k''形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式作为输出（因此是伪向量场），然后将其解释为向量场，而非直接从向量场映射到向量场，这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。

==参见==
{{Div col | colwidth = 20em}}
* [[实函数]]
* [[向量恒等式]]
* [[在圆柱和球坐标系中的del]]
* [[方向导数]]
* [[保守矢量场]]
* [[螺线矢量场]]
* [[拉普拉斯矢量场]]
* [[亥姆霍兹分解]]
* [[正交坐标]]
* [[偏斜坐标]]
* [[曲线坐标]]
* [[张量]]
{{Div col end}}

== 参考文献 ==
=== 脚注 ===
{{Reflist}}

=== 参考资料 ===
{{refbegin}}
* Sandro Caparrini (2002) "[https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs004070200001?LI=true The discovery of the vector representation of moments and angular velocity] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs004070200001?LI=true |date=20210417135737 }}", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
* {{cite book | first = Michael J. |last = Crowe  | title = A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System | publisher = Dover Publications |edition = reprint | year= 1967 | isbn = 978-0-486-67910-5 | title-link = A History of Vector Analysis }}
* {{cite book | first = J. E. |last = Marsden | title = Vector Calculus | url = https://archive.org/details/vectorcalculus0000mars_e1l4 | publisher = W. H. Freeman & Company | year = 1976 | isbn = 978-0-7167-0462-1}}
* {{cite book | first = H. M. |last = Schey | title = Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus | publisher = W. W. Norton & Company | year= 2005 | isbn = 978-0-393-92516-6}}
* Barry Spain (1965) [https://archive.org/details/VectorAnalysis Vector Analysis], 2nd edition, link from [[Internet Archive]].
* Chen-To Tai (1995). ''[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 A historical study of vector analysis] {{Wayback|url=http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 |date=20080925012441 }}''. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
{{refend}}

==外部链接==
* [https://feynmanlectures.caltech.edu/II_02.html The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields]
* {{springer|title=Vector analysis|id=p/v096360}}
* {{springer|title=Vector algebra|id=p/v096350}}
* [https://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7869 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis] {{Wayback|url=https://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7869 |date=20240706125318 }} (1994) Tai, Chen-To
* [https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ Vector Analysis:] A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of [[Willard Gibbs]]) by [[Edwin Bidwell Wilson]], published 1902.

== 延伸阅读 ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/A_History_of_Vector_Analysis A History of Vector Analysis]{{Wayback|url=http://en.wikipedia.org/wiki/A_History_of_Vector_Analysis |date=20201127013554 }}
{{应用数学}}
{{Authority control}}
[[Category:数学分析]]
[[Category:向量分析]]