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[[数学]]中，[[流形]] ''M'' 上一个'''向量值微分形式'''（{{lang|en|vector-valued differential form}}）是 ''M'' 上取值于一个[[向量空间]] ''V'' 的[[微分形式]]。更一般地，它是取值于 ''M'' 上某个[[向量丛]] ''E'' 的微分形式。通常的微分形式可以视为 '''R'''-值微分形式。向量值微分形式是微分几何中的自然对象并有广泛的应用。

==正式定义==
设Μ是一个[[光滑流形]]，<math>\Epsilon\to\Mu</math>是Μ上一个光滑[[向量场]]。我们记一个丛Ε[[截面 (纤维丛)|截面]]的空间为<math>\Gamma(\Epsilon)</math>。一个阶数为''ρ''的'''Ε-值微分形式'''是Ε与<math>\wedge^\rho(\Tau^*\Mu)</math>，Μ的[[余切丛]]的''ρ''-次[[外幂]]，的[[张量积]]丛的一个光滑截面。这样的形式的空间记作
:<math>\Omega^\rho(\Mu,\Epsilon) = \Gamma(\Epsilon\otimes\wedge^\rho\Tau^*\Mu).\,</math>
习惯上一个E-值 0-形式就是丛E的一个截面。即
:<math>\Omega^0(\Mu,\Epsilon) = \Gamma(\Epsilon).\,</math>
等价地，一个E-值微分形式可以定义为一个完全[[斜对称]]的[[向量丛态射|丛态射]]
:<math>\Tau\Mu\otimes\cdots\otimes\Tau\Mu\to\Epsilon.</math>

设''V''是一个给定的[[向量空间]]。一个阶数为''ρ''的''V''-值微分形式是一个取值于[[平凡丛]]<math>\Mu\times V</math>的微分形式。这样的形式的空间记作<math>\Omega^\rho(\Mu,V)</math>。当<math>V=\mathbf{R}</math>我们重新得到了通常的微分形式。

==向量值形式的运算==
===拉回===
与通常的形式一样，对向量值形式我们可以定义通过[[光滑映射]]的[[拉回 (微分几何)|拉回]]。''N'' 上 ''E''-值形式通过一个光滑映射 φ : ''M'' → ''N'' 的拉回是 ''M'' 上一个 (φ*''E'')-值形式，这里 form on ''M'', where φ*''E'' 是 ''E'' 通过 φ 的[[拉回丛]]。

公式和通常的情形一样。对 ''N'' 上任何一个 ''E''-值 ''p''-形式 ω， 拉回 φ*ω 由
:<math> (\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p))</math>
给出。

===楔积===
与通常微分形式一样，可以定义向量值形式的[[楔积]]。一个 ''E''<sub>1</sub>-值 ''p''-形式与一个 ''E''<sub>2</sub>-值 ''q''-形式的楔积是一个自然的 (''E''<sub>1</sub>{{unicode|&otimes;}}''E''<sub>2</sub>)-值 (''p''+''q'')-形式:
:<math>\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).</math>
定义就和通常的微分形式一样，只不过实数乘法为[[张量积]]取代：
:<math>(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p!q!}\sum_{\pi\in S_{p+q}}\sgn(\pi)\omega(v_{\pi(1)},\cdots,v_{\pi(p)})\otimes \eta(v_{\pi(p+1)},\cdots,v_{\pi(p+q)}).</math>
特别地，一个通常（'''R'''-值）''p''-形式与一个 ''E''-值 ''q''-形式的张量积自然是一个 ''E''-值 (''p''+''q'')-形式（因为 ''E'' 与平凡丛 ''M'' &times; '''R''' 的张量积[[同构|自然同构]]于 ''E''）。对 ''ω'' ∈ Ω<sup>''p''</sup>(''M'') 和 ''η'' ∈ Ω<sup>''q''</sup>(''M'', ''E'') 我们有通常的交换关系：
:<math>\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.</math>

一般地，两个 ''E''-值形式的楔积'''不是'''另一个 ''E''-值形式，而是一个 (''E''{{unicode|&otimes;}}''E'')-值形式。但是，如果 ''E'' 是一个{{tsl|en|algebra bundle|代数丛}}（也就是一个[[域上的代数|代数]]的丛而不仅仅是向量空间）则与 ''E'' 中的乘法复合得到一个 ''E''-值形式。如果 ''E'' 是一个[[交换代数|交换]][[结合代数]]，则在此修改后的楔积下，所有 ''E''-值微分形式的集合
:<math>\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)</math>
成为一个{{tsl|en|supercommutative algebra|分次交换}}结合代数。如果 ''E'' 的纤维不交换则 Ω(''M'',''E'') 不是分次交换的。

===外导数===

对任何向量空间 ''V''，''V''-值微分形式上有一个自然的[[外导数]]。这只不过是通常的外导数作用在关于 ''V'' 的任何一个[[基 (线性代数)|基]]的分量上。具体地说，如果 {''e''<sub>α</sub>} 是 ''V'' 的一个基，则 ''V''-值 ''p''-形式 ω = ω<sup>α</sup>''e''<sub>α</sub> 的微分为：
:<math>d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,</math>
''V''-值形式的外导数完全由通常的关系刻画：
:<math>\begin{align}
&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\
&d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\
&d(d\omega) = 0.
\end{align}</math>
更一般地，上面的注可应用于 ''M'' 上任何[[平坦向量丛]]（即一个转移函数是常数的向量丛） ''E'' 之 ''E''-值形式。上面定义的外微分是 ''E'' 的任何[[局部平凡化]]。

如果 ''E'' 不是平坦的则 ''E''-值形式上没有自然的外微分。需要在 ''E'' 上选取一个[[联络 (向量丛)|联络]]。''E'' 上一个联络是一个将 ''E'' 的界面变为 ''E''-形式的线性[[微分算子]]：
:<math>\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).</math>
如果 ''E'' 装备有一个联络 ∇，则有惟一的一个[[共变外微分]]延拓了 ∇
:<math>d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E).\,</math>
共变外微分由[[线性]]与等式
:<math>d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta</math>
刻画，这里 ω 是一个 ''E''-值 ''p''-形式而η 是一个通常的 ''q''-形式。一般地，不一定有 ''d''<sub>∇</sub><sup>2</sup> = 0。事实上，这当且仅当联络 ∇ 平坦（即曲率消失）。

==李代数值形式==

向量值形式一个重要的特例是'''李代数值形式'''。设 <math>\mathfrak g</math> 是一个[[李代数]]，则有 <math>\mathfrak g</math>-值形式。这样的形式在[[主丛]]的[[联络 (主丛)|联络]]以及[[嘉当联络]]的理论中有重要应用。

因为任何李代数有一个双线性[[李括号]]运算，两个李代数值形式的楔积可与李括号运算复合得到另一个李代数值形式。这个运算通常记为 [ω∧η]，表明涉及两个运算。例如如果  ω 和 η 是李代数值 [[1-形式]]，则有

:<math>[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1),\eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)].</math>
在此运算下一个流形 ''M'' 上所有李代数值形式成为一个[[分次李超代数]]。

==主丛上的基本或张量性形式==

设 ''E'' → ''M'' 是 ''M'' 上一个秩 ''k'' 光滑向量丛，''π'' : F(''E'') → ''M'' 是 ''E''（[[伴随丛|相伴]]的）[[标架丛]]。''E'' 通过 ''π'' 的[[拉回丛|拉回]]同构于平凡丛 F(''E'') &times; '''R'''<sup>''k''</sup>。从而，''M'' 上一个 ''E''-值形式的拉回决定了 F(''E'') 上一个 '''R'''<sup>''k''</sup>-值形式。不难检验这个拉回形式关于 GL<sub>''k''</sub>('''R''') 在 F(''E'') &times; '''R'''<sup>''k''</sup> 上的自然[[群作用|作用]][[等变|左等变]]，且在[[铅直丛|铅直向量]]取值上为零（F(''E'') 位于核 d''π'' 中的切向量）。F(''E'') 上这样的向量值形式之重要足以获得一个特别的名字：他们被称为 F(''E'') 上的'''基本'''或'''张量性形式'''。

设 ''π'' : ''P'' → ''M'' 是一个（光滑）[[主丛|主 ''G''-丛]]，令 ''V'' 是一个固定的向量空间以及[[群表示|表示]] ''ρ'' : ''G'' → GL(''V'')。''P'' 上一个 ρ 型'''基本'''或'''张量性形式'''是'''水平'''且'''等变'''的，如果：
#<math>(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,</math> 对所有 ''g'' ∈ ''G''，且
#<math>\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0</math> 其中至少有一个 ''v''<sub>''i''</sub> 是铅直的（即 d''π''(''v''<sub>''i''</sub>) = 0）。
这里 ''R''<sub>''g''</sub> 表示通过 ''g'' ∈ ''G'' 的左平移。注意这对 0-形式第二个条件是{{tsl|en|vacuously true|空虚的真}}。

给定 ''P'' 和 ''ρ'' 如上，我们定义构造[[相伴丛]] ''E'' = ''P'' &times;<sub>''ρ''</sub> ''V''。''P'' 上的张量性形式一一对应于 ''M'' 上的 ''E''-值形式。与主丛 F(''E'') 的情形一样，''M'' 上 ''E''-值形式拉回到 ''P'' 上的 ''V''-值形式，这正好是 ''P'' 上的 ρ 型基本或张量性形式。反之给定 ''P'' 上任何一个 ρ 型张量性形式我们直接地可以构造 ''M'' 上的相应的 ''E''-值形式。

==参考文献==
*{{citation|first1=Shoshichi|last1=Kobayashi|first2=Katsumi|last2=Nomizu|title=Foundations of differential geometry, Vol. I|publisher=Wiley Interscience|year=1963|id=ISBN 0470496487}}
*{{citation|first1=Shoshichi|last1=Kobayashi|first2=Katsumi|last2=Nomizu|title=Foundations of differential geometry, Vol. II|publisher=Wiley Interscience|year=1969|id=ISBN 0470496487}}

[[Category:微分形式]]
[[Category:向量丛]]