查看“︁向量丛”︁的源代码

{{noteTA|G1=Math}}
'''向量叢'''(vector bundle)也翻譯成'''向量-{束}-'''，是[[数学]]，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 ''X''（''X'' 可以是拓撲空間、[[流形]]或[[代数簇]]）的每一點指定(或"黏上")一個[[向量空间]](比如 <math>\mathbb{R}^n</math>)，而这些向量空间“粘起来”又构成一個新的拓扑空间（或流形，或代数簇）。
在 ''X'' 之上的向量叢最簡單的例子是，''X''×<math>\mathbb{R}^n</math>，另一個較複雜的典型的例子是[[微分流形]]的[[切丛]](tangent bundle)：对流形的每一点"黏"上流形在该点的切空间。
另一个例子是[[法丛]]：給定一个平面上的光滑曲线，可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。

向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間(<math>\mathbb{R}^n</math>)跟複空間(<math>\mathbb{C}^n</math>)，分別稱作'''實向量叢'''跟'''複向量叢'''。複向量丛可以视为一種帶有附加结构的实向量丛。

向量丛是[[纤维丛]]的一種。

==定义和直接的结果==

一个实向量丛要包含下列空間跟映射：

*''X''（基空间(base space)）和''E''（全空间(total space)）為拓撲空間(或是流形等其他空間)
*一个連續[[滿射]] π : ''E'' → ''X''（稱作投影）
* 对 ''X'' 中的每點 ''x''，π<sup>−1</sup>（{''x''}）是有限維的實向量空間(稱作'''纖維'''(fiber) )。

且這些空間跟映射要满足以下相容性条件：对 ''X'' 中的每一点有一个开邻域 <math>U\subseteq X</math> 包含這點，一个[[自然数]] ''n'',和一个[[同胚]]

:<math>\varphi\colon  U \times \mathbf{R}^{n} \to \pi^{-1}(U) </math>

使得對所有''x'' ∈ ''U'',:
*<math> (\pi \circ \varphi)(x,v) = x  </math>  对所有 ''v'' ∈  '''R'''<sup>''n''</sup>均成立
* 映射　<math> v \mapsto \varphi (x, v)</math>　是兩個向量空间 '''R'''<sup>''n''</sup> 和 π<sup>−1</sup>(''x'') 之間的線性同构。

开邻域''U''和同胚φ合起来叫做丛的'''局部平凡化'''。这表示映射π在局部看起来"像" ''U'' × '''R'''<sup>''n''</sup>到''U'' 上的投影.

向量丛 ''X'' × '''R'''<sup>''n''</sup> 称为'''平凡'''，如果賦予這空間一個投影映射　''X'' × '''R'''<sup>''n''</sup> → ''X''，也就是  ''E''=''X'' × '''R'''<sup>''n''</sup> 整體上是 ''X'' 的乘積空間 。

每个纤维π<sup>−1</sup>（''x''）是一个有限维实向量空间，所以有在點 ''x'' 有一个[[维数]]''d''<sub>''x''</sub>，由局部平凡化的性質可知函数　<math>\textstyle x\mapsto d_x</math> 在局部上是常數，也就是它在''X''　的每個[[連通空間|連通的部份]]上為常数。如果它在''X''上是常数的话，我们把这个维数叫做向量丛的''阶''。一阶向量丛也叫[[线丛]]。

== 向量丛态射 ==

一个从向量丛π<sub>1</sub> : ''E''<sub>1</sub> → ''X''<sub>1</sub>到向量丛π<sub>2</sub> : ''E''<sub>2</sub> → ''X''<sub>2</sub>的'''[[态射]]（morphism）'''是一对连续映射''f'' : ''E''<sub>1</sub> → ''E''<sub>2</sub>和''g'' : ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub>使得 
* ''g''π<sub>1</sub> = π<sub>2</sub>''f''

<div style="text-align: center;">[[File:BundleMorphism-01.png]]</div>

* 对于每个''X''<sub>1</sub>中的''x'',由''f''诱导的映射π<sub>1</sub><sup>−1</sup>({''x''}) → π<sub>2</sub><sup>−1</sup>({''g''(''x'')})是一个向量空间的[[线性变换]]。

所有向量丛的类和丛的射组成了一个[[范畴]]。限制到光滑流形和光滑丛射，我们就有了光滑向量丛的范畴。

我们可以考虑有一个固定基空间''X''的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间''X''上为[[恒等映射]]（identity map）的射作为在这个范畴中的射.
也就是说，丛射满足下面的[[交换图]]：

<div style="text-align: center;">[[File:BundleMorphism-02.png]]</div>

（注意这个范畴不是[[可交换]]的；向量丛的射的[[核 (代数)|核]]通常不能很自然的成为一个向量丛。）

== 截面和局部自由层 ==

给定一个向量丛 π : ''E'' → ''X''， 和 ''X'' 的開子集 ''U''，我们可以考虑這個向量叢 在 ''U'' 上的'''截面'''，也就是连续函数 ''s'' : ''U'' → ''E'' 满足 {{nowrap|1=(π∘''s'')=id<sub>''U''</sub>}}。本质上，截面在 ''U'' 的每一点指定一個向量，且這向量屬於在該點的''纖維''，即 {{nowrap|''s''(''x'') ∈ π<sup>−1</sup>（''x'') }}，並且要求這種指定要有连续性(或可微性，依討論空間而有所不同)。

例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场("微分"流形上一般會要求向量場可微)。

令 ''F''(''U'') 为''U''上所有截面的集合. ''F''(''U'')中至少有個元素 ''s''，稱作'''零截面'''(zero section)，這個截面函数 ''s'' 會把 ''U'' 的每一點 ''x'' 都映射到向量空間π<sup>−1</sup>（''x''）中的零向量。使用每点的加法和数乘，''F''(''U'')本身也構成了向量空间。这些向量空间的总和就是 ''X'' 上的向量空间的[[層 (數學)|層]](shelf)。

若 ''s'' 属于''F''(''U'') 而 α : ''U'' → '''R'''是 ''U'' 上的連續函數，则α''s'' 依然屬於集合 ''F''(''U'')。我们可以看到 ''F''(''U'') 是一個 ''U'' 上的连续实值函数的环上的[[模]]，进一步讲，若O<sub>''X''</sub>表示''X''上连续函数的层结构，则''F''是O<sub>''X''</sub>-模的一个层.

不是O<sub>''X''</sub>-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的：只有[[局部自由层]]可以从这种方法得到。（理由：局部的，我们要找一个投影''U'' × '''R'''<sup>''n''</sup> → ''U''的一个截面，这些恰好是连续函数''U'' → '''R'''<sup>''n''</sup>,并且这一函数是连续函数''U'' → '''R'''''n''-元组.）

更进一步讲：''X''上的实向量丛的范畴是[[等价]]于O<sub>''X''</sub>-模的局部自由和有限生成的层的。

所以我们可以将向量丛视为位于O<sub>''X''</sub>-模的层的范畴内；而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。

== 向量丛上的操作 ==

两个''X''上的在同一个域上的向量丛，有一个'''惠特尼和''',在每点的纤维为那两个丛的纤维的[[直积]]。同样，''纤维''[[向量积]]和[[对偶空间]]丛也可以这样引入。

== 变种和推广 ==

向量丛是[[纤维丛]]的特例。

'''光滑向量丛'''定义为满足''E''和''X''是[[光滑流形]]，π : ''E'' → ''X''是光滑映射，而局部平凡化映射φ是[[微分同胚]]的向量丛。

把实向量空间换成複向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間)，就得到了复向量丛(complex vector bundle)。这是[[结构群的约化]]的特例。也可以用其他[[拓扑域]]上的向量空间，但相对比较少见。

除了有限維的向量空間以外，如果''纖維''是某個[[巴拿赫空间]]（而不仅是'''R'''<sup>''n''</sup>），就可以得到'''巴拿赫丛'''.

==参考==
* [[约翰·米尔诺|Milnor, John W.]]; Stasheff, James D. ''Characteristic classes''. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.

[[Category:微分几何|X]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:复分析|X]]
[[Category:向量丛|*]]
[[Category:向量|X]]