查看“︁向量”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Physics
|G2 = Math
}}
[[File:Vector space illust.svg|thumb|许多的箭头代表了许多向量。]]
{{线性代数}}
'''向量'''（{{Lang|en|vector}}，在中国大陆物理、工程领域通称'''-{矢}-量'''<ref>物理学名词审定委员会．-{物理学名词}- [S/OL]．全国科学技术名词审定委员会, 公布. 3版．北京：科学出版社, 2019: 2. [https://book.sciencereading.cn/shop/book/Booksimple/show.do?id=B8305590F44964E92E053020B0A0A4FA7000 科学文库] {{Wayback|url=https://book.sciencereading.cn/shop/book/Booksimple/show.do?id=B8305590F44964E92E053020B0A0A4FA7000 |date=20240502182204 }}.</ref><ref>{{术语在线|term=矢量|access-date=2024-03-11}} </ref>{{notetag|矢量及标量的英语皆由[[威廉·哈密頓]]创造。矢量源于拉丁语 ''vector''（搬运人），汉语概念可想作是[[箭矢]]——箭头箭尾不同，两侧不一致，有特定指向。矢量的对应概念[[标量 (物理学)|标量]]源于英语 scale（标度），拉丁语 ''scāla''（梯子），相对于箭矢，汉语可想作是[[标枪]]——中间粗两端细，两侧一致，没有特定的指向。}}），{{cn|又称'''欧几里得向量'''（{{Lang|en|Euclidean vector}}）}}，是同时具有[[数值|大小]]和[[方向]]，且满足[[净力#平行四边形法则|平行四边形法则]]的[[几何]]對象。向量是[[数学]]、[[物理学]]和[[工程学|工程科学]]等多个[[自然科學]]中的基本概念。

[[理论数学]]中向量的定义为任何在稱為[[向量空间]]的代數結構中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量{{notetag|特别地，[[电流]]属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量。}}。

向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标-{}-量、纯-{}-量、数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（[[电流]]是特例）、不满足平行四边形法则的量。

==不同学科中的向量==
===数学===
在[[线性代数]]中，向量常常采用更为抽象的[[向量空间]]（也称为线性空间）来定义。向量是[[向量空间]]中的基本构成元素。

向量空间是基于[[物理学]]或[[几何学]]中的空间概念，抽象出其代數性質所形成的一个概念，是一個满足一系列法则的代數結構。向量空間相伴的純量未必是實數，可以是複數、有理數等[[域 (數學)|域]]。[[欧几里得空间]]便是[[线性空间]]的一种。向量空间中的元素就可以被称为向量，而[[欧几里得向量]]则是特指欧几里得空间中的向量。更一般的向量空間，例如所有次數不大於3的複係數多項式的集合；所有6×6實對稱矩陣的集合；區間[0, 1]上的所有實值連續函數的集合；所有收斂於0的複數數列的集合等。

===物理学与工程学===
矢量可以描述许多常见的物理量，如运动学中的[[位移]]、[[速度]]、[[加速度]]，力学中的[[力]]、[[力矩]]，电磁学中的[[电流密度]]、[[磁矩]]、[[电磁波]]等等。

[[物理学]]和一般的[[几何学]]中涉及的向量概念严格意义上应当被称为'''欧几里得向量'''或'''几何向量'''。定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了定义了[[范数]]和[[点积|内积]]的[[欧几里得空间]]。按照定义，欧几里得向量由大小和方向构成。

====固定向量====
在一些上下文中，尤其在物理学领域，有些向量会与起点有关（如一个力与其的作用点有关，[[质点]]运动速度与该质点的位置有关），因而假设向量有确定的起点和终点<ref>{{cite book | title =《高等数学 第六版 下册》 | url =https://archive.org/details/gaodengshuxuexia0002unse | author =同济大学数学系 | publisher =高等教育出版社 | year =2014 | isbn = 978-7-04-039662-1}}，第1页</ref>，当起点和终点改变后，构成的向量就不再是原来的向量。这样的向量也被称为'''固定向量'''。例子之一是[[运动学]]中常见的物理量[[位置矢量]]。

====自由向量====
[[File:Vector-line.png|thumb|right|100px|<math >\overrightarrow{a}</math>的位置可自由移動]]
在另一些时候，由于向量的共性都具有大小和方向，会认为向量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的向量，只要大小相等，方向相同，就可以称为是同一个向量。这样的向量被称为'''自由向量'''。在数学中，一般只研究自由向量，并且数学中所指的向量就是指自由向量。也就是只要大小以及方向一樣，即可視為同一向量，與向量的起始點並無關係。一些文献中会提到向量空间带有一个特定的[[原点]]，这时可能会默认向量的起点是原点。<ref>{{cite book | title =《代数学引论》 | author =许以超 | publisher =上海科学技术出版社 | year =1966 | isbn = }}，第29至30页</ref>

==表示方法==
===形式表示===
使用符号的形式实际上只是对向量规定的一个概念化代号。向量在包括数学和物理等诸多领域均被广泛采用，优点是简洁明了，缺点是高度形式和抽象，既缺少几何形象性又缺少定量精确性。

====带箭头字母====
[[Image:vector from A to B.svg|thumb|right|220px|一从''A''指向''B''的向量]]
数学上的向量通常可用加向右箭头的小写字母表示，如<math>\vec{a}</math>, <math>\vec{i}</math>, <math>\vec{v}</math>。有时也有用加箭头的大写字母表示数学量，如[[微积分]]中的面积元<math>d\vec{S}</math>。给定两点<math>A</math>、<math>B</math>时，也可确定一固定向量：如确定一个始于点从<math>A</math>终于点<math>B</math>的向量，符号表示为：<math>\overrightarrow{AB}</math>

本方法被广泛用于手写。

在表示物理学上的矢量也可用加箭头的小写字母表示，如[[速度]]<math>\vec{v}</math>，[[摩擦力]]<math>\vec{f}</math>，[[动量]]<math>\vec{p}</math>。

物理学还有许多物理量用加箭头的大写字母表示，如[[电场强度]]<math>\vec{E}</math>，[[磁场强度]]<math>\vec{H}</math>,[[力]]<math>\vec{F}</math>。

====粗体字母====
向量也可用粗体小写字母表示，如<math>\mathbf{v}</math>，许多書本会采用此种记法，但缺点是區分粗體字有時不容易，例如 <math>\!\mathrm{D}</math>和 <math>\!\mathbf{D}</math>肉眼看易混淆。

===几何表示===
直观上，向量通常被标示为一个带箭头的有向线段。线段的'''长度'''表示向量的'''大小'''（或称'''模长'''），向量的'''方向'''即箭头所指的方向，可以記為<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>。该种表示的优点是具有强烈的几何直观形象性，缺点是在纸面上作图繁琐，不便定量分析。
[[File:Notation for vectors in or out of a plane.svg|thumb|right|150px|垂直于纸面的向量的表示方式]]
而遇到某些特殊情况（如表示[[磁场]]的[[磁感应强度]]）需要表示与记载纸面垂直的向量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（⊙）表示由纸下方指向纸上方的向量，而圆圈中带叉的记号（⊗）则表示由纸的上方指向纸下方的向量。由于这种记号不表示向量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。

===代数表示===
[[File:3D Vector.svg|thumb|right|240px|在三维[[笛卡尔坐标系]]中体现出的向量]]
代数表示指在指定了一个坐标系之后，用一个向量在该坐标系下的坐标来表示该向量，兼具了符号的抽象性和几何形象性，因而具有最高的实用性，被广泛采用于需要定量分析的情形。
对于自由向量，将向量的起点平移到坐标原点后，向量就可以用一个[[坐标系]]下的一个点来表示，该点的[[坐标|坐标值]]即向量的终点坐标。

设有一向量<math >\vec{a}</math>，有坐标系<math>S</math>。在<math>S</math>中定义好若干个特殊的基本向量（称为'''[[基向量]]'''，各个基向量共同组成该坐标系下的'''[[基底]]'''）<math>\vec{e_{1}}</math>，<math>\vec{e_{2}}</math>，...，<math>\vec{e_{n}}</math>之后，则向量在各个[[基向量|基方向]]的投影值即为对应的坐标值，各个投影值组成的'''有序[[数组]]'''，稱為该向量在坐标系<math>S</math>的'''[[坐标]]'''，是向量的唯一表示，即与向量的终点一一对应。换言之，其它的向量只需通过将这些基本向量拉伸后再按照平行四边形法则进行向量加法即可表示（通常被称为“用基底[[线性组合|线性表出]]一个向量”，即该向量是基向量的某种[[线性组合]]），即：
:<math>\vec{a} = a_{1}\vec{e_{1}}+...+a_{n}\vec{e_{n}},</math>

其中<math>a_{1}</math>, ..., <math>a_{n}</math>分别为<math >\vec{a}</math>在<math>\vec{e_{1}}</math>，<math>\vec{e_{n}}</math>方向的投影。当基底已知，可直接省略各基向量的符号，类似于坐标系上的点，直接用'''坐标'''表示为：
:<math>\vec{a}= (a_1,a_2, ..., a_n)</math>

在[[矩阵]]运算中，更常將向量写成类似于[[矩阵]]的[[列向量]]或[[行向量]]。在[[线性代数]]中所指的向量，通常默认为'''列向量'''。如一个向量<math>\vec{a}= (a,b,c)</math>，可写成：
:<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{a} &=& \begin{bmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{bmatrix}, \\
\vec{a} &=& [ a\ b\ c ].
\end{array}</math>

其中，上者为列向量写法，下者为行向量写法；此处採[[中国大陆]]定义。

值得注意的是：
* <math>n</math>维列向量可视作<math>\mathbf{n} \times 1</math>矩阵，<math>n</math>维行向量可视作<math>1 \times \mathbf{n}</math>矩阵。
* 在[[中国大陆]]，横向的元素组称為「-{行}-」，纵向的称為「-{列}-」，而在[[臺灣]]則相反，横向称為「-{列}-」，纵向称為「-{行}-」<ref>{{cite book|author=周建華|title=《矩陣》|year=2002|publisher=中央圖書出版社|location=台湾|isbn=9789576374913|language=zh}}</ref>。详见[[矩阵#正式定义|矩阵]]。

对于由两个点确定的向量，同样可以用坐标进行表示，详见[[#向量運算|向量運算]]。

在常见的三维空间直角坐标系Oxyz里，基本向量就是以横轴（Ox）、竖轴（Oy）以及纵轴（Oz）为方向的三个长度为1的[[单位向量]]<math style="vertical-align:baseline;">\vec{i}</math>、<math style="vertical-align:text-bottom;">\vec{j}</math>、<math style="vertical-align:baseline;">\vec{k}</math>。这三个向量取好以后，其它的向量就可以透過三元[[数组]]来表示，因為他們可以表示成一定倍数的三個基本向量的總和。比如说一个标示为（''2'',''1'',''3''）的向量就是2个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{i}</math>加上1个向量<math style="vertical-align:text-bottom;">\vec{j}</math>加上3个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{k}</math>得到的向量，即：
:<math>(a, b, c) = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}</math>

==特殊向量==
类似于[[數字]]中的1（[[单位元]]）、相反数（加法逆元）、0（加法单位元），向量中有单位向量（单位元）、反向量（加法逆元）、零向量（加法单位元）、等概念量。此外，还有方向向量、相等向量等概念。

===单位向量===
对于任意向量<math>\vec{a}</math>，不论方向如何，若其[[#向量的大小|大小]]为单位长度，则称其为<math>\vec{a}</math>方向上的'''单位向量'''（{{Lang|en|Unit vector}}）。单位向量通常被记为<math>\vec{u}</math>。

特殊地，三维笛卡尔坐标系上的三个基向量<math>\vec{i} = (1, 0, 0)</math>，<math>\vec{j} = (0, 1, 0)</math>，<math>\vec{k} = (0, 0, 1)</math>都是单位向量。

===反向量===
一個向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>的'''反向量'''（{{Lang|en|Opposite vector}}）與它大小相等，但方向相反，一般記作<math style="vertical-align:baseline;"> -\vec{v} </math>。如果向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>是向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的反向量，那麼<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>也是<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>的反向量<ref name="yzg"/>。

另外，向量<math>\vec{a}</math>的反向量也可按如下定义：

{{Cquote|对于给定向量<math>\vec{a}</math>，若∃向量<math>\vec{b}</math>，使得<math>\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}</math>成立，则向量<math>\vec{b}</math>称为向量<math>\vec{a}</math>的'''反向量'''。}}

===零向量===
始點與終點重合，即大小为0的向量，被称为'''零向量'''（{{Lang|en|Zero vector}}），记以数字0上加箭头，即<math style="vertical-align:baseline;">\vec{0}</math>。有时亦可以用粗体的0表示，如<math>\mathbf{0}</math>。在坐标表示下，不论含有多少分量，不论指向任何方向，若所有的分量均为0的向量即为零向量。关于零向量有两点值得一提：

#零向量依旧具有'''方向性'''，但方向不定。<ref name="yzg"/>。因此，零向量與任一向量平行。<ref>{{cite book | title =《数学必修4 A版》 | author =人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编 | publisher =人民教育出版社| year =2007 | isbn =978-7-107-20334-3 }}，第76页</ref>
#零向量不等于数量0，它们是两种性质完全不同的对象，即<math> \vec{0} \neq 0</math>。

零向量可以如下进行形式化定义：
{{Cquote|给定一''n'' 维向量<math>\vec{z}</math>，若对于任意的同维向量<math>\vec{a}</math>，总有<math>\vec{a}+\vec{z}=\vec{a}</math>成立，则向量<math>\vec{z}</math>称为''n'' 维'''零向量'''，通常被记作<math style="vertical-align:baseline;" >\vec{0}</math>或<math>\mathbf{0}</math>。}}

===等向量===

不论起点终点，兩向量長度、方向相等，即為'''等向量'''或'''相等向量'''（{{Lang|en|Identical vector}}）。

对于任意向量<math>\vec{a}</math>，若其一个相等向量为<math>\vec{b}</math>，则对<math>\vec{b}</math>和数字-1进行[[标量乘法|数乘]]运算后得到的向量<math>-\vec{b}</math>即<math>\vec{a}</math>的反向量。

另外，类似于反向量的定义，向量<math>\vec{a}</math>等向量也可按如下定义：

{{Cquote|对于给定向量<math>\vec{a}</math>，若存在向量<math>\vec{b}</math>，使得<math>\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}</math>成立，则向量<math>\vec{b}</math>称为向量<math>\vec{a}</math>的'''相等向量'''。}}

===方向向量===
'''方向向量'''（{{Lang|en|Directional vector}}）的形式化定义如下：

{{Cquote|对于任意向量<math>\vec{a}</math>，若存在一个向量<math>\vec{b}</math>，两者的方向相同（大小可以不同），则<math>\vec{b}</math>是<math>\vec{a}</math>的一个'''方向向量'''。}}

一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。

==向量的性质==
=== 有向線段 ===
[[File:Vector_AB_from_A_to_B.svg|缩略图|right|250px|一个以点A為起點，B為終點的有向線段。]]
有向線段的概念建構於向量的方向與長度，差別在於多定義了'''始點'''與'''終點'''。在文字描述時，如果已知某'''有向線段'''的'''起點'''和'''終點'''分别是'''A'''和'''B'''，此線段的長度可以記為<math style="vertical-align:baseline;">|\overrightarrow{AB}|</math>，即<math style="vertical-align:baseline;">|\overrightarrow{AB}| = \overline{AB}</math>。

===大小===
{{main|范数}}
向量的'''大小'''（{{Lang|en|Magnitude}}）也称'''模长'''、'''长度'''。几何上，当确定了单位长度后作图所得的向量的长度，即为向量的大小，记作<math>\left| \vec{v} \right|</math>。在有限维[[赋范线性空间]]中，向量的模长也称为[[范数]]（{{Lang|en|Norm}}），记作<math>\left \| \vec{v}\right \|</math>。已知向量的坐标，就可以知道它的模长。

设向量<math>\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)</math>，其范数的计算表达式由[[弗罗贝尼乌斯范数]]（一种同时适用于向量和矩阵的范数计算方法）给出：
<math>\left \|\vec{v} \right \|= \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}</math><ref name="tongji"/>。

特殊地，对于''n'' 维[[欧几里得空间]] '''R'''<sup>n</sup>上的向量<math>\vec{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)</math>，其模长或范数为：
<math>\left|\vec{v} \right|= \left \|\vec{v} \right \| =\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}</math>。

更特殊地，对于三维[[笛卡尔坐标系]]下的向量<math>\vec{a}=(x,y,z)</math>，其模长为：
<math>\left \|\vec{a} \right \| =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>。

===夹角===
[[File:Vector included angle. png.png|缩略图|右|<math >\overrightarrow{a}</math>与<math >\overrightarrow{b}</math>具有夹角<math >\theta</math>]]
'''向量的夹角'''（{{Lang|en|Included angle}}）是对于两个向量而言的概念。对于任意两个给定的向量<math>\vec{a}</math>和<math>\vec{b}</math>，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角<math>\theta</math>。由于夹角具有互补性，因此在不同的出发规定、不同的旋转方向下，所得夹角亦不同。

向量的夹角可由[[数量积]]的定义导出计算公式，即：
:<math> \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left \|\vec{a} \right \|\left \|\vec{b} \right \|}</math>

=== -{|zh-hant:線性相依性;zh-cn:线性相关性}- ===
====-{|zh-hant:線性相依;zh-cn:线性相关}-====
对于<math>m</math>个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}_1</math>，<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}_2</math>，…，<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}_m</math>，如果存在一组不全為零的<math>m</math>个数<math>a_1</math>、<math>a_2</math>、…、<math>a_m</math>，使得<math>\sum_{i=1}^m {a_i \vec{v}_i}=\vec{0}</math>，那么，称<math>m</math>个向量<math>\vec{v}_1</math>，<math>\vec{v}_2</math>，…，<math>\vec{v}_m</math> '''-{|zh-cn:[[线性相关]];zh-hant:[[線性相依]]}-'''或'''-{|zh-cn:线性相依;zh-hant:[[線性相關]]}-'''（{{Lang|en|Linearly dependent}}）。

====-{|zh-hant:線性獨立;zh-cn:线性无关}-====
如果这样不全為零的<math>m</math>个数不存在，即上述向量等式仅当<math>a_1</math> =<math>a_2</math> = … = <math>a_m</math> = 0时才能成立，就称向量<math>\vec{v}_1</math>，<math>\vec{v}_2</math>，…，<math>\vec{v}_m</math> '''-{|zh-cn:[[线性无关]];zh-hant:[[線性獨立]]}-'''或'''-{|zh-cn:[[线性独立]];zh-hant:[[線性無關]]}-'''（{{Lang|en|Linearly independent}}）。<ref>{{cite book | title =《线性代数（第4版）》 | author =同济大学应用数学系编 | publisher =高等教育出版社| year =2003 | isbn =978-7-040-11941-1 }}，第82页</ref>

== 向量運算 ==
向量的大小是相对的，在有需要时，会规定单位向量，以其长度作为1。每个方向上都有一个单位向量<ref name="yzg">{{cite book | title =《线性代数与解析几何》 | author =俞正光，李永乐 | publisher =清华大学出版社 | year =1998 | isbn =978-7-302-02854-3 }}，第112至116页</ref>。

向量之间可以如数字一样进行运算。常见的向量运算有：[[加法]]、[[减法]]、数与向量之间的[[乘法]]（[[数量积]]）以及向量与向量之间的乘法（[[向量积]]），但向量的[[除法]]沒有定義<ref>{{cite book|author=[[鄭鈞 (物理學家)|David K. Cheng]]|title=''Field and Wave Electromagnetics''|year=2014|publisher=|isbn=9781292026565|pages=第19頁}}</ref>。

=== 加法与减法 ===
向量的加法满足[[平行四边形恒等式|平行四边形法则]]和[[三角不等式#向量|三角形法则]]。具体地，两个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>的终点和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的起点重合后，从<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>的起点指向<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的终点的向量：
[[File:Vector addition.svg|250px|center|向量 '''a''' 加向量 '''b''']]

两个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的相减，则可以看成是向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>加上一个与<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>大小相等，方向相反的向量。又或者，<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的相减得到的向量可以表示为<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的起点重合后，从<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>的终点指向<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>的终点的向量：
[[File:Vector subtraction.svg|125px|center|向量 '''a''' 減向量 '''b''']]
当这两个向量数值、方向都不同，基本向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)</math>时，向量和计算为
:<math>\vec{a}+\vec{b}
=(a_1+b_1)\vec{e}_1
+(a_2+b_2)\vec{e}_2
+(a_3+b_3)\vec{e}_3</math>

并且有如下的[[不等]]关系：
:<math>\left |\vec{a}  \right | +\left |\vec{b}  \right | \ge \left |\vec{a}+\vec{b} \right | \ge \left |\vec{a}  \right | - \left |\vec{b}  \right |</math>

此外，向量的加法也满足[[交换律]]和[[结合律]]。<ref name="yzg"/>

=== 向量与積===
向量空间分为有限[[维度|维]]向量空间与无限维向量空间。在有限维向量空间中，可以找到一组（有限个）向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{e}_1, \vec{e}_2, \cdots , \vec{e}_n</math>，使得任意一个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>都可以唯一地表示成这组向量的线性组合：
:<math>\vec{v} =v_1 \vec{e}_1 + v_2 \vec{e}_2 + \cdots + v_n \vec{e}_n</math>
其中的标量<math>v_1, v_2, \cdots , v_n</math>是随着向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>而确定的。这样的一组向量称为向量空间的基。给定了向量空间以及一组基后，每个向量就可以用一个数组来表示了<ref>{{cite book | title =《线性代数（第4版）》 | author =同济大学应用数学系编 | publisher =高等教育出版社| year =2003 | isbn =978-7-040-11941-1 }}，第144至145页</ref>。两个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{w}</math>相同，当且仅当表示它们的数组一样。
:<math>
\begin{array}{lcl}
v_1 &=& w_1 \\
v_2 &=& w_2 \\
\vdots \ && \vdots \\
v_n &=& w_n
\end{array}
</math>
两个向量<math>\vec{v}</math>和  <math>\vec{w}</math>的和：
:<math>\vec{v} + \vec{w} =(v_1 + w_1)\vec{e}_1 +(v_2 + w_2 ) \vec{e}_2 + \cdots +(v_n + w_n ) \vec{e}_n</math>
它们的数量积为：
:<math>\vec{v} \cdot \vec{w} =  v_1 \cdot  w_1  + v_2 \cdot w_2 + \cdots + v_n \cdot  w_n </math><ref name="tongji"/>
而标量''k''与向量'''v'''的乘积则为：
:<math>k \cdot \vec{v} =(k \cdot v_1)\vec{e}_1 +(k \cdot v_2) \vec{e}_2 + \cdots +(k \cdot v_n) \vec{e}_n</math><ref name="tongji"/>

===-{|zh-hant:純量乘法;zh-cn:标量乘法}-===
{{main|純量乘法}}
一个标量''k''和一个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>之间可以做乘法，得出的结果是另一个与<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>方向相同或相反，大小为<math style="vertical-align:baseline;">\vec{v}</math>的大小之｜''k''｜倍的向量，可以记成<math style="vertical-align:baseline;">k\vec{v}</math> <ref name="yzg"/>。该种运算被称为'''-{|zh-hant:純量乘法;zh-cn:标量乘法}-'''或'''数乘'''。-1乘以任意向量会得到它的反向量，0乘以任何向量都会得到零向量  <math style="vertical-align:baseline;">\vec{0}</math>。

=== -{|zh-hant:內積;zh-cn:数量积}- ===
{{Main|点积|内积空间}}
[[数量积]]也叫点积，它是向量与向量的乘积，其结果為一個純量（非向量）。几何上，-{|zh-hant:內積;zh-cn:数量积}-可以定义如下：

设 <math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>、<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math> 为两个任意向量，它们的夹角为 <math style="vertical-align:baseline;">\theta</math>，则他们的-{|zh-hant:內積;zh-cn:数量积}-为：

:<math>\vec{a} \cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos {\theta}</math><ref name="tongji">{{cite book | title =《线性代数（第4版）》 | author =同济大学应用数学系编 | publisher =高等教育出版社 | year =2003 | isbn =978-7-040-11941-1 }}，第113页</ref>
即 <math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math> 向量在 <math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math> 向量方向上的投影長度（同方向為正反方向為負號），與 <math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math> 向量長度的乘積。
-{|zh-hant:內積;zh-cn:数量积}-被广泛应用于物理中，如做功就是用力的向量乘位移的向量，即 <math style="vertical-align:baseline;"> W=\vec{F} \cdot \vec{s}</math>。

=== 向量积 ===
{{Main|向量积}}
[[向量积]]也叫[[叉积]]，[[叉积|外积]]，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量張成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。舉例來說 <math style="vertical-align:baseline;">(1,0,0)\times (0,1,0)=(0,0,1)</math> 但是 <math  style="vertical-align:baseline;">(0,1,0)\times (1,0,0)=(0,0,-1)</math>。

设有向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}</math>、<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}=b_x\vec{i}+b_y\vec{j}+b_z\vec{k}</math>，

则其向量积的矩阵表达式可用下列符號表示：
:<math>\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
  a_x & a_y & a_z \\
  b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}</math>

=== 混合积 ===
{{Main|混合积}}
三个向量<math style="vertical-align:baseline;">\vec{a}</math>、<math style="vertical-align:baseline;">\vec{b}</math>和<math style="vertical-align:baseline;">\vec{c}</math>的混合积定义为，物理意義為三向量始於同點時所構成的體積：

:<math>\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})=
\vec{b}\cdot(\vec{c}\times \vec{a})=
\vec{c}\cdot(\vec{a}\times \vec{b})</math>

===线性组合===
若<math>
\vec{OA}

</math>、<math>
\vec{OB}
</math>為平面上兩個不平行的非零向量，則平面上的每一個向量<math>
\vec{OP}
</math>都可以'''唯一表示'''為<math>
\vec{OP} = x \vec{OA} + y \vec{OB}
</math>的形式。這種表示方式，稱為向量的'''線性組合'''。<ref>{{Cite web|title=向量的線性組合|url=https://resource.learnmode.net/upload/file_2/2d61eebbcd152af95f55f0827cd0f0091b5e568e|website=LearnMode 學習吧|language=zh-tw|author=成功高中 陳冠宏 老師|url-status=live|access-date=2024.09.19}}</ref>

==关于向量运算的定理==

===向量与定比分点、中点公式===
在实际应用中，向量运算时常会运用到定比分点定理。

[[File:Vector - The coordinate of midpoint.png|thumb|平面直角坐标系Oxy]]

设平面直角坐标系<math>Oxy</math>原点<math>O(0,0)</math>，内有点<math>A(x_1,y_1)</math>，点<math>B(x_2,y_2)</math>，点<math>P(x_0,y_0)</math>，点<math>P</math>在点<math>A</math>、<math>B</math>之间，且

<math>\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n</math>，则：<br />

<math>\overrightarrow{O P}\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n}\right)</math>

特殊地，当<math>n=1</math>，<br />

<math>\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)</math><br />

相应的有中点<math>P</math>坐标：
<math>\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)</math><br />

实际上，上述结论可以推广到空间向量中。<br />
设空间直角坐标系<math>Oxyz</math>内原点为<math>O(0,0,0)</math>，有点<math>A(x_1,y_1,z_1)</math>，<math>B(x_2,y_2,z_2)</math>，<math>A</math>、<math>B</math>点间有一点<math>P</math>，且

<math>\left|\overrightarrow{A P}\right|:\left|\overrightarrow{P B}\right|=n</math>，<br />

则：<math>\overrightarrow{O P}=\left(\frac{x_1+nx_2}{1+n},\frac{y_1+ny_2}{1+n},\frac{z_1+nz_2}{1+n}\right)</math><br />

中点<math>P</math>坐标：<br />

<math>\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)</math><br /><br />

==== 附：平面几何中定比分点定理的证明 ====
设平面直角坐标系<math>Oxy</math>内原点<math>O(0,0)</math>，有点<math>A(x_1,y_1)</math>，点<math>B(x_2,y_2)</math>，点<math>P(x_0,y_0)</math>，点<math>P</math>在点<math>A</math>、<math>B</math>之间，且<math>\left|AP\right|:\left|PB\right|=n</math>，则：<br />

<math>\frac{x_0-x_1}{x_2-x_0}=n \Rightarrow x_0=\frac{x_1+nx_2}{1+n}</math>，<br />
<math>\frac{y_0-y_1}{y_2-y_0}=n \Rightarrow y_0=\frac{y_1+ny_2}{1+n}</math><br />

==注释==
{{notefoot}}
== 参见 ==
* [[向量空间]]
* [[向量分析]]
* [[向量场]]
* [[標量]]
* [[張量]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:向量| ]]
[[Category:向量分析]]
[[Category:基本物理概念|Z]]
[[Category:物理量]]